«Методика применения компьютерного моделирования для решения дифференциальных уравнений и в школьном курсе информатики» - ВКР

Содержание

Введение 3

1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6

1.1 Линейные дифференциальные уравнения 6

1.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11

1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15

1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18

1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22

1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24

Выводы по первой главе 25

2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26

2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26

2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28

Выводы по второй главе 31

3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32

3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32

3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37

3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40

Выводы по третьей главе 55

Заключение 57

Список использованной литературы 59

Приложения 62

Введение

В настоящее время ни одна область производства и науки не может обойтись без дифференциальных уравнений. Класс дифференциальных уравнений, решение которых можно найти аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому часто при решении практических задач не удается избежать численного моделирования. Кроме того, очень часто, при нахождении аналитического решения уравнения, если оно существует, требуется большой объем алгебраических выкладок, в таком случае компьютерные методы также оказываются предпочтительнее традиционных [8, с.3].

Асимптотические методы - являются неотъемлемой частью современной математики. Они широко распространены в механике, физике и других точных науках. Эти методы весьма полезны при анализе задачи даже в тех случаях, когда результаты получаются численно. Они применимы в области экстремальных параметров - то есть там, где численные методы вообще не работают или встречают большие трудности.

К. Маклорен, Л. Эйлер, Д. Стокс, У. Кельвин, Д. Стирлинг и многие другие авторы дали частные случаи асимптотических разложений. Но только в 1886 году А.Пуанкаре определил понятие асимптотического ряда. В курсах математического анализа появились разделы, посвящённые асимптотическим разложениям. Несмотря на это стремительный рост литературы по асимптотике начинается только в 60-х годах 20 века. В последние годы стала понятна важность асимптотических рядов для определения структуры решений дифференциальных уравнений.

Значительный вклад в развитие асимптотических методов внес российский ученый А.М.Ляпунов: теория устойчивости является теорией асимптотического исследования систем дифференциальных уравнений. В трудах П.Лапласа, связанных с задачами небесной механики, асимптотические методы создавались и применялись как способ приближенного вычисления значений функции в окрестности ее особых точек.

Важность асимптотических рядов в теории дифференциальных уравнений была ясно осознана математиками во второй половине девятнадцатого столетия, и значительная часть современной асимптотической теории была создана именно тогда. Но только в последнее время стала ясна важность асимптотических рядов для понимания структуры решений обыкновенных дифференциальных уравнений и что они неминуемо возникают во многих вопросах прикладной математики не только в науке, но и при изучении школьных дисциплин, таких как математика и информатика [7, с.9].

Развитие ЭВМ весьма способствует и развитию асимптотических методов. Одним из самых трудных этапов их применения является построение высших приближений. Для сложных задач «вручную» удаётся построить два, от силы три приближения. Благодаря развитию электронных вычислительных машин эта рутинная работа ложится на «плечи» компьютеров [2, с.5, 31-32].

Цель исследования - разработать методику применения компьютерного моделирования в научных исследованиях на примере решения дифференциальных уравнений и школьном курсе информатики.

Задачи исследования:

1) исследовать дифференциальное уравнение:

u - x2 u - LI.F (и) = 0 (1)

и найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

и(0) = 1, и(x) = О(1), x >'-; (2)

2) рассмотреть основные понятия о линейных и нелинейных

дифференциальных уравнениях;

3) изучить асимптотические разложения решений дифференциальных

уравнений;

4) построить формальное асимптотическое разложение решения уравнения;

5) создать компьютерную модель в виде программы для нахождения

численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

6) проанализировать курсы по компьютерному моделированию в

школьном курсе;

7) разработать курс по компьютерному моделированию с использованием программы Maple.

Объект исследования - методика изучения компьютерного моделирования на примере решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений и в элективных курсах по информатике.

Предмет исследования - процесс обучения компьютерному моделированию на примере асимптотических и численных методов моделирования решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Гипотеза исследования - существование компьютерной модели построения решений для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Существование оптимального курса по компьютерному моделированию.

Теоретическая значимость исследования: в данной работе

рассматривается диапазон изменения параметра ранее не изученный.

Методы исследования:

Теоретические: изучение асимптотических свойств решений

дифференциальных уравнений, применение асимптотических разложений для решения краевой задачи.

Практические:

1) выполнение символьных вычислений с использованием асимптотических разложений.

2) анализ элективных курсов по компьютерному моделированию и разработка нового курса с использование программы Maple.

Выдержка из текста работы

1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений

1.1 Линейные дифференциальные уравнения

Если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение линейно, тогда дифференциальное уравнение называется линейным. Линейное дифференциальное уравнение порядка n выглядит следующим образом:

yn + ai(x)y (n '" +. + an(x)y = f (x). (1)

Здесь y(x) - неизвестная, a (x),., an (x), f (x) - известные функции. Если обозначить 1 (y) левую часть уравнения (1), тогда оно принимает вид

L (y) =f(x). (2)

Линейный дифференциальный оператор порядка n определяется следующим образом:

L (У) = Уп + ai(x) У(n-1) +.+an(x) У ■ (3)

Уравнение (1) называют неоднородным, если правая часть f(x) тождественно не равна нулю. Если f(x)=0, то уравнение называют однородным и оно имеет вид:

L (y) =0. (4)

Теорема 1.

i0 . Принцип суперпозиции. Если У (x), У (x) - решения одного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = ayr(x)+a2y2(x) при любых постоянных a ,a - это решение однородного уравнения.

20 . Если y (x), y (x)- решение неоднородного уравнения (2), то их разность y (x) = y (x) - y2 (x), есть решение однородного уравнения (4).

30 . Всякое решение неоднородного уравнения (1) есть сумма частного (т.е. фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения [25, с. 34-35].

Теорема 2. Уравнение y — Ay = Pm(x)e":' имеет частное решение вида y = Qm (x)e"', если р * A , и вида y = xQm (x)ex , если ц = A . Здесь Qm (x)- многочлен степени m.

Определение. Квазимногочленом называется функция вида:

f (x) = eA P ( x) + e' xP2 (x) +. + ekXPk ( x),

где A,.,A - это постоянные, P(x),., P (x)- многочлены.

Исходя из определения, комплекснозначная функция f (x) называется непрерывной в точке x , если в этой точке непрерывны функции u(x), v(x) .

Функция называется дифференцируемой (дважды дифференцируемой и т.д.) в точке x , если в этой точке дифференцируемы (дважды дифференцируемы и т.д.) функции u(x) , v(x) . Производные функции f (x) определяются так:

f(n)(x) = u(n)(x) + iv(n)(x)[14, с. 37-38].

Перед формулированием основной теоремы существования, поясним используемые термины: функцию называют голоморфной в точке, если она является регулярной аналитической в окрестности этой точки.

Пусть U- открытое подмножество в С и f: U ^ C -комплекснозначная функция на U.

1) Функцию называют комплексно дифференцируемой в точке zQ G U, если существует предел

f' (z0) = Lim f (z)— f (zo).

z ^ z 0 z — zo

2) Функцию f называют голоморфной в U, если она комплексно дифференцируема в каждой точке U.

3) Функцию f называют голоморфной в zQ G U, если она голоморфна в окрестностях некоторой точки z .

Заключение

В первой главе нашего исследования были рассмотрены классификации дифференциальных уравнений, виды дифференциальных уравнений, фундаментальные системы решений линейных

дифференциальных уравнений, асимптотические оценки и их свойства, асимптотические ряды и их свойства, метод Рунге-Кутта для нахождения численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Во второй главе нашей работы было рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

u - x2u - pF(u) = 0, удовлетворяющее условиям u(0) = 1, u(x) = О(1), x > да.

Построено формальное асимптотическое разложение решения данного уравнения при х > г/. вида

с1 с2 с3 с4

u 0~( c 0 + — + ~ + — + -40 хх х х

Затем исходное уравнение сводится к системе уравнений вида:

u( t ) = V( x)

v (x) = x2 V (x) + pF (u )

Приближения для с0 можно найти методом половинного деления, где c0 e (a, b). Затем задачу решаем численно, методом Рунге -Кутта.

Создана компьютерная модель решений краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения полученной системы составляются программы для численного решения и определения константы с0. Таким образом используя асимптотические и численные методы моделируется решение краевой задачи. Это значит, что построена компьютерная модель решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка.

В главе 3 данной работы излагаются основы компьютерного моделирования, проведен анализ учебных курсов по компьютерному моделированию и на основе полученных результатов, разработан курс по моделированию с использованием программы Maple.

По моему мнению, следует продолжить работу по данной тематике, дать обоснование полученному разложению и было бы интересно приступить к рассмотрению более сложных задач. Асимптотические и численные методы взаимодополняют друг друга. Без асимптотического разложения часто невозможно найти численное решение уравнения.

Математика требует точности. Любое ограничение в математике - недостаток. Математические науки с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они получают еще больший интерес по своему влиянию на искусство и промышленность.

Я полагаю, что назрела пора рассматривать асимптотическую математику как мощный инструмент количественного описания нашей динамической реальности.

Список литературы

1. Антонов А.В. Системный анализ. - М.: Высшая школа, 2004.- с. 454

2. Андрианов И.В., Маневич Л.В. Асимптология: идеи, методы, результаты.- М.:Аслан, 1994 .-с. 160

3. Айвазян С. А., Енюков И.Е., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработка данных: Справочное издание.- М.: Финансы и статистика, 1983 .-с. 487

4. Ахметов Р.Г. Асимптотика решений одного класса квазилинейных уравнений второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений /Ахметов Р.Г.//Дифференциальные уравнения -2010 г., - Т. 46, № 2., с. 155-162

5. Ахметов Р.Г. Асимптотика решений задачи конвективной диффузии около цилиндра с учетом химической реакции //XVIII Международная

конференция «Математика. Экономика. Образование». VI Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Междисциплинарный семинар «Информационно-коммуникационные технологии». Труды. Ростов-на-Дону, «ЮФУ», 2010 г, Секция V, «Математические модели в естественных науках, технике, экономике и экологии, с. 79-84

+ еще 24 источника

Примечания

оригинал в pdf формате