«Аппроксимация табличных данных алгебраическими полиномами методом наименьших квадратов (Pascal)» - Курсовая работа

Содержание

Введение

1 Описание метода решения

2 Схема алгоритма

3 Описание программы

3.1 Общие сведения и функциональное назначение

3.2 Описание логической структуры программы

3.3 Вызов и загрузка, входные и выходные данные

4 Описание применения

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Введение

Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В нашем случае, аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(y) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны).

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. Также очень важно уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции.

Выдержка из текста работы

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает \\\"выбросы\\\", возможные за счет погрешности эксперимента.

Обозначим узлы исходной таблицы данных через хi, где 0<=i<=n - номер узла. Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках f(xi)=fi. Введем непрерывную функцию φ(х) для аппроксимации дискретной зависимости f(xi). В узлах функции φ(х) и f(x) будут отличаться на величину еi=φ(хi)-f(xi). Отклонения еi могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам:

.

Метод построения аппроксимирующей функции φ(х) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции φ(х) в виде линейной комбинации:

.

Математически условия минимума суммы квадратов отклонений Q запишем, приравнивая нулю частные производные от Q по коэффициентам сk, 0<=k<=n:

.

Из системы линейных алгебраических уравнений (3) определяются все коэффициенты сk. Система (3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид:

.

и называется матрицей Грама. Элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций:

.

Расширенная матрица системы уравнений (3) получится добавлением справа к матрице Грама столбца свободных членов:

.

где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (5):

.

Стоит отметить основные свойства матрицы Грама, полезные при программной реализации алгоритмов МНК:

1) матрица симметрична, т.е. аi,j=аj,i, что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции φk(х), при этом система (3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью e в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией φ(x), представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов ck вычисляют величину Q по формуле (1). Если получится, что корень(Q)>e , то необходимо расширить базис добавлением новых функций φk(х). Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие корень(Q)~=е.

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие асимптотики и т.д. На практике чаще всего используется решение, показанное далее.

Заключение

В курсовой работе была выполнена поставленная задача:

- был изучен метод решения поставленной задачи;

- разработать алгоритм, реализующий данный метод;

- написана программа на языке Pascal по разработанному алгоритму;

- приведены результаты аппроксимации функции, представленной таблично, алгебраическим полиномом с помощью метода наименьших квадратов, используя написанную программу.

Список литературы

1. Березин И.С., Жидков Н.А. Методы вычислений. Т.2. – М.: Наука, 1966.

2. Решетникова Г.Н., Краснов И.Ю. Локально – оптимальное управление темпом производства продукции //Материалы Всероссийской научно-практической конференции \\\"Информационные технологии и математическое моделирование\\\". Анжеро-Судженск. 15 ноября 2002. - Томск: \\\"Твердыня\\\", 2002. – С. 278 - 280.

3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука, 1976

4. Лапчик М.П. Вычисление. Алгоритмизация. Программирование.- М.:Просвещение,1988.

5. Верлань А.Ф.,Касаткин В.Н. Основы информатики и вычислительной техники.- Киев: Рад. шк.,1987

6. h**t://vtit.kuzstu.r*/books/shelf/book2/doc/%F7%E0%F1%F2%FC%B97.html

7. h**t://ad.cctpu.edu.r*/APPLIED_MATHEMATICS1/reference/unit7/unit7.html

8. h**t://pers.narod.r*/study/methods/index.html