СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Аппроксимация табличных данных алгебраическими полиномами методом наименьших квадратов (Pascal) - Курсовая работа №21606

«Аппроксимация табличных данных алгебраическими полиномами методом наименьших квадратов (Pascal)» - Курсовая работа

  • 23 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: Dmitriy12

Содержание

Введение

1 Описание метода решения

2 Схема алгоритма

3 Описание программы

3.1 Общие сведения и функциональное назначение

3.2 Описание логической структуры программы

3.3 Вызов и загрузка, входные и выходные данные

4 Описание применения

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г


Введение

Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В нашем случае, аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(y) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны).

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. Также очень важно уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции.


Выдержка из текста работы

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает \\\"выбросы\\\", возможные за счет погрешности эксперимента.

Обозначим узлы исходной таблицы данных через хi, где 0<=i<=n - номер узла. Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках f(xi)=fi. Введем непрерывную функцию φ(х) для аппроксимации дискретной зависимости f(xi). В узлах функции φ(х) и f(x) будут отличаться на величину еi=φ(хi)-f(xi). Отклонения еi могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам:

.

Метод построения аппроксимирующей функции φ(х) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции φ(х) в виде линейной комбинации:

.

Математически условия минимума суммы квадратов отклонений Q запишем, приравнивая нулю частные производные от Q по коэффициентам сk, 0<=k<=n:

.

Из системы линейных алгебраических уравнений (3) определяются все коэффициенты сk. Система (3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид:

.

и называется матрицей Грама. Элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций:

.

Расширенная матрица системы уравнений (3) получится добавлением справа к матрице Грама столбца свободных членов:

.

где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (5):

.

Стоит отметить основные свойства матрицы Грама, полезные при программной реализации алгоритмов МНК:

1) матрица симметрична, т.е. аi,j=аj,i, что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции φk(х), при этом система (3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью e в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией φ(x), представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов ck вычисляют величину Q по формуле (1). Если получится, что корень(Q)>e , то необходимо расширить базис добавлением новых функций φk(х). Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие корень(Q)~=е.

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие асимптотики и т.д. На практике чаще всего используется решение, показанное далее.


Заключение

В курсовой работе была выполнена поставленная задача:

- был изучен метод решения поставленной задачи;

- разработать алгоритм, реализующий данный метод;

- написана программа на языке Pascal по разработанному алгоритму;

- приведены результаты аппроксимации функции, представленной таблично, алгебраическим полиномом с помощью метода наименьших квадратов, используя написанную программу.


Список литературы

1. Березин И.С., Жидков Н.А. Методы вычислений. Т.2. – М.: Наука, 1966.

2. Решетникова Г.Н., Краснов И.Ю. Локально – оптимальное управление темпом производства продукции //Материалы Всероссийской научно-практической конференции \\\"Информационные технологии и математическое моделирование\\\". Анжеро-Судженск. 15 ноября 2002. - Томск: \\\"Твердыня\\\", 2002. – С. 278 - 280.

3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука, 1976

4. Лапчик М.П. Вычисление. Алгоритмизация. Программирование.- М.:Просвещение,1988.

5. Верлань А.Ф.,Касаткин В.Н. Основы информатики и вычислительной техники.- Киев: Рад. шк.,1987

6. h**t://vtit.kuzstu.r*/books/shelf/book2/doc/%F7%E0%F1%F2%FC%B97.html

7. h**t://ad.cctpu.edu.r*/APPLIED_MATHEMATICS1/reference/unit7/unit7.html

8. h**t://pers.narod.r*/study/methods/index.html


Тема: «Аппроксимация табличных данных алгебраическими полиномами методом наименьших квадратов (Pascal)»
Раздел: Информатика
Тип: Курсовая работа
Страниц: 23
Цена: 800 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Лабораторная работа:

    Аппроксимация методом наименьших квадратов функции заданной таблицей на Паскале (Pascal)

    9 страниц(ы) 


    1. Постановка задачи 3
    2. Схема алгоритма. 4
    3. Текст программы на Паскале 5
    4. Результаты расчёта 8
    5. Вывод 8
    6. Список литературы 9
  • Контрольная работа:

    Высшая математика 5 вариант

    32 страниц(ы) 

    Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
    Элементы линейной алгебры
    Введение в математический анализ
    Производная и её приложения
    Приложения дифференциального исчисления
    Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
    Неопределённый и определённый интегралы
    Теория вероятностей и математическая статистика
  • Задача/Задачи:

    Задание № 1. Подбор формул по данным опыта методом наименьших квадратов. Задание № 2. Обработка экспериментальных данных.

    11 страниц(ы) 

    Задача 1
    Задача 2
  • Задача/Задачи:

    Задача (решение). Используя метод наименьших квадратов, определить наилучшую зависимость y(x) и найти параметры этой функции.

    4 страниц(ы) 

    Задача 1
    Используя метод наименьших квадратов, определить наилучшую зависимость y(x) и найти параметры этой функции.
    Найти линейное уравнение регрессии y относительно z и z относительно y . Определить эмпирический корреляционный момент, дисперсию, коэффициент корреляции и эмпирические коэффициенты регрессии.
    xi 0 1 2 3 4 5
    yi 0,1 1,2 2,4 2,9 3,8 5
    zi 0 1,1 2,3 2,8 4 5,1
  • Шпаргалка:

    Вопросы ГАК

    138 страниц(ы) 

    1. Понятие одномерной и многомерной оптимизации. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума. 4
    2. Условный экстремум: Функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа. 4
    3. Симплекс-метод. Преобразование симплекс  таблиц на языке Pascal. 5
    4. Двойственные задачи: симметричные и несимметричные. Двойственность в линейном программировании. 6
    5. 5.Основные комбинаторные объекты и числа. 7
    6. 6.Метод производящих функций. Бином Ньютона. Основные тождества с биномиальными коэффициентами. 9
    7. Рекуррентные соотношения. Способы решения рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи. 11
    8. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связные графы. Деревья. Представление графа на ЭВМ(динамические структуры данных, стеки, очереди, двоичные деревья) 14
    9. Теория множеств: множества и операции над множествами, основные проблемы. 18
    10. Алгебра и алгебраические системы. 19
    11. Группы (подгруппы), поля и кольца. 20
    12. Основы теории экспертных систем. Общая характеристика ЭС. Виды ЭС и типы решаемых задач. Структура и режимы использования ЭС. Перспективы развития экспертных систем. 25
    13. Основы теории распознавания образов. Общая постановка проблемы. Детерминированные, вероятностные, логические и структурные методы 33
    14. Основы нейросетевых технологий. Нейроклетка - разработка формальной модели. Классы нейронных сетей. Методы обучения. 36
    15. Базовые конструкции языка программирования Pascal 39
    16. Основные типы данных языка программирования Pascal и их производные. 41
    17. Описание процедур и функции языка программирования pascal. 43
    18. Delphi – cреда разработки приложений для ОС Windows. Компонентная разработка приложений в среде Delphi. 45
    19. Разработка мультимедийных приложений в среде Delphi. 48
    20. Архитектура ЭВМ. Классическая архитектура ЭВМ и принцип Фон Неймана 49
    21. Язык программирования Ассемблер. Базовые элементы. Основные операции над регистрами 52
    22. Аппаратные и программные прерывания. Адресное пространство и смещение. 61
    23. Аппаратные и программные средства обработки информации 62
    24. Понятие об информационных технологиях, принципы организации. Основные задачи системного программирования. 63
    25. Информационная емкость. Формула информационной емкости 65
    26. Понятие о системах программирования, ее основные функции и компоненты. 66
    27. Прикладные инструментальные пакеты для решения математических задач. Обзор пакетов символьных вычислений, обработки статистической информации и графические пакеты. 71
    28. Алгебра высказываний как модель алгебры Буля, ее аксиоматическое задание. Принцип двойственности и теорема двойственности. 73
    29. Проблема разрешимости (разрешения) для класса однотипных задач. Проблема разрешимости в алгебре высказываний и способы их разрешения. 77
    30. Высказывательные формы (предикаты). Способы их задания. Логические операции над предикатами. 78
    31. Рекурсивные функции, рекурсивные множества. Тезис Черча. Итерация одноместных функций и доказательная база к ней. 83
    32. Система счисления с произвольным основанием. Перевод из одной системы счисления в другую. Операции над числами в системах счисления с произвольным основанием. 86
    33. Основные понятия теории кодирования. Оптимальный код Шеннона-Фано 89
    34. Понятие о компьютерных сетях. Типы сетей. Топология. Классификация 93
    35. Архитектура компьютерных сетей. Семиуровневая модель OSI. Модель TCP/IP 97
    36. Адресация в сети Internet. Понятие сокета, как способ программного доступа к сетевым функциям. 99
    37. Технология «Клиент-Сервер». Одноранговые и распределенные сети 101
    38. Протоколы и службы Internet. 107
    39. Метод простой итерации при решении уравнения с одной переменной 116
    40. Метод трапеций для численного нахождения определенного интеграла: вывод формулы, оценка погрешности, геометрический смысл 118
    41. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений 119
    42. Метод наименьших квадратов 119
    43. Моделирование как метод познания. Понятие «модель». Виды моделирования в естественных и технических науках. Компьютерная модель. Информационные модели. Объекты и их связи. Основные структуры в информационном моделировании. Примеры информационных моделей. Поля, методы и свойства. Абстрактные, виртуальные, динамические и перегружаемые методы. 120
    44. Графическое моделирование. Траектории движения тел и графики функций. Изолинии. Основы трехмерной графики. Преобразования координат. Перенос и повороты в трехмерном пространстве. 126
    45. Понятие математического моделирования. Этапы и цели математического моделирования. Различные подходы к классификации математических моделей. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые модели 130
    46. Имитационные модели и системы. Этапы построения имитационной модели. Анализ и оценка адекватности имитационной модели. Примеры имитационных моделей 134
    47. Моделирование стохастических систем. Общие и частные стохастические методы. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины 136
  • Контрольная работа:

    Эконометрика, вар. 1

    24 страниц(ы) 

    ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ:
    1. Содержание и область исследования эконометрики. Регрессионный анализ как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений. Модели эконометрики. Типы данных. Этапы эконометрического исследования.
    2. Модели адаптивного сглаживания. Экспоненциальное сглаживание. Теорема Брауна.
    Задание 1. Двумерная линейная модель. Имеются сведения о доходности на акцию и значениях доходности на фондовый индекс за 10 месяцев текущего года:
    Вариант , %
    2,5 2,9 3,8 4,7 6,2 7,7 8,1 7,1 5,4 4,9
    1 акции J, %
    -1,2 -0,2 0,3 1,2 1,9 2,3 3,4 2,5 1,4 0,6
    С помощью модели двумерной линейной регрессии построить рыночную линию ценной бумаги , исследовав зависимости доходности на акцию от доходности на фондовый индекс . Проверить значимость параметров регрессии и соответствие модели выборочным данным. Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при 5% уровне значимости.
    Отобразить на графиках фактические данные и результаты расчета. Сделать выводы.
    Задание 2. Множественная линейная модель. Имеются сведения о величине располагаемого личного дохода и различных потребительских расходах населения США с 1980 по 1999 годы (в ценах 1996 года). Оцените зависимость потребительских расходов (переменная ) от личного располагаемого дохода (переменная ) и индекса соответствующей относительной цены (ИОЦ) (переменная ) с помощью модели множественной линейной регрессии. Проверить значимость параметров регрессии и соответствие модели выборочным данным. Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при 5% уровне значимости.
    С помощью построенной модели найти точечный и интервальный прогнозы на 2000 год при 5% уровне значимости, определить отклонение точечного прогноза от реального значения (в процентах).
    Примечание. Индекс относительной цены (ИОЦ) получается путем деления соответствующего индекса цены на индекс общих расходов (PCE) и умножения на 100.
    Задание 3. Множественная мультипликативная модель. Исследуйте зависимости потребительских расходов от личного располагаемого дохода и индекса соответствующей относительной цены с помощью модели множественной мультипликативной регрессии, используя данные задания 2. Сравните линейную и мультипликативную регрессии.
    Задание 4. Временные ряды. Исследуйте валовой внутренний продукт ВВП России или его компоненты (согласно варианту) на наличие тренда. Постройте линейную модель , параметры которой оценить методом наименьших квадратов, и адаптивную модель Брауна с параметрами сглаживания =0,3 и =0,6, выберете лучшее значение .
    № вари-
    анта Показатель 2000 год (млрд. рублей) 2001 (млрд. рублей)
    I II III IV I II III IV
    квартал квартал квартал квартал квартал квартал квартал квартал
    1. ВВП в основных ценах 1337,9 1497,4 1833,1 1858,9 1687,30 1892,00 2290,70 2190,00
    Оценить адекватность построенных моделей, используя условия Гаусса - Маркова. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед. Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования во всем моделям.
    Задание 5. Гетероскедастичность и автокорреляция. Проведите проверку построенной в задании № 2 модели на гетероскедастичность и автокорреляцию. Все вычисления проведите для модели множественной линейной регрессии при 5%-ном уровне значимости.

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня