«Аффинные преобразования плоскости и их применение к решению задач» - Дипломная работа

Актуальность темы данной дипломной работы заключается в

углублении знаний по теме аффинные преобразования плоскости, которое позволяет с большей легкостью решать задачи на преобразования и их свойства.

Изучаются понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований плоскости.

Задачами дипломной работы в связи с указанной целью являются:

1)Изучение теоретического материала;

2)Исследование свойств различных видов аффинных преобразований (в том числе и групповых);

3) Решение задач.

При раскрытии темы применяются методы исследования: теоретический и практический.

Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, основной теоретической части и заключения.

Введение раскрывает актуальность, объект, предмет, цель, задачи и методы исследования, раскрывает теоретическую и практическую значимость работы.

В теоретической части рассматриваются теория аффинного преобразования, изучаются свойства (групповые свойства). В практической части представлены задачи на аффинные преобразования и их свойства.

Глава 1 . Аффинные преобразования плоскости

Определение. Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, при котором точка по закону:

где

т.е. это – линейное и невырожденное преобразование плоскости.

Свойства аффинных преобразований плоскости.

Свойство 1.

При аффинном преобразовании плоскости прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Доказательство.

Рассмотрим прямую l, определяемую уравнением Ax + By + C = 0 (2).

Т.к. аффинное преобразование – невырожденное, то существует обратное преобразование

т.е. . Подставляя в уравнение (2) вместо x, y выражения из (3),

получим:

где ,

,

.

Итак, мы доказали что при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую( ).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть и - параллельные прямые, а и - их образы. Т.е. и .

Пусть прямые и имеют общую точку . Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, - образ только одной точки M, причем М должна принадлежать и и , что невозможно, поскольку и параллельны. Следовательно, и не имеют общих точек, т. е. параллельны.

Свойство 2.

При аффинном преобразовании репер (т.е. аффинный репер переходит в аффинный репер) и точка (точка с координатами в репере переходит в точку с такими же координатами в репере ).

Доказательство:

Сначала докажем первую часть: т.к. , это означает, что , ,

При аффинном преобразовании .

Возьмем вектор . При аффинном преобразовании точки .

{ },

.

Подставляя в формулу

f:

вместо значения и находим:

отсюда следует:

Аналогично подставляем вместо значения :

Тогда путем вычитания из соотношений (*) получаем:

Получили:

Координаты вектора преобразуются линейно и однородно:

При аффинном преобразовании .

векторы линейно не зависимы.

Пусть точка имеет координаты относительно репера , тогда , тогда относительно репера и вектор и точка