«Аффинные преобразования плоскости и их применение к решению задач» - Дипломная работа

Содержание

Введение….….3

Глава 1 . Аффинные преобразования плоскости …. 4

Определение и формулы аффинного преобразования плоскости….….…4

Свойства аффинных преобразований плоскости….…5

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы…10

Глава 2 . Приложение аффинных преобразований плоскости к решению задач….14

Задачи на аффинные преобразования плоскости….14

Заключение….…20

Литература….21

Введение

Актуальность темы данной дипломной работы заключается в

углублении знаний по теме аффинные преобразования плоскости, которое позволяет с большей легкостью решать задачи на преобразования и их свойства.

Изучаются понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований плоскости.

Задачами дипломной работы в связи с указанной целью являются:

1)Изучение теоретического материала;

2)Исследование свойств различных видов аффинных преобразований (в том числе и групповых);

3) Решение задач.

При раскрытии темы применяются методы исследования: теоретический и практический.

Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, основной теоретической части и заключения.

Введение раскрывает актуальность, объект, предмет, цель, задачи и методы исследования, раскрывает теоретическую и практическую значимость работы.

В теоретической части рассматриваются теория аффинного преобразования, изучаются свойства (групповые свойства). В практической части представлены задачи на аффинные преобразования и их свойства.

Выдержка из текста работы

Глава 1 . Аффинные преобразования плоскости

Определение. Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, при котором точка по закону:

где

т.е. это – линейное и невырожденное преобразование плоскости.

Свойства аффинных преобразований плоскости.

Свойство 1.

При аффинном преобразовании плоскости прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Доказательство.

Рассмотрим прямую l, определяемую уравнением Ax + By + C = 0 (2).

Т.к. аффинное преобразование – невырожденное, то существует обратное преобразование

т.е. . Подставляя в уравнение (2) вместо x, y выражения из (3),

получим:

где ,

,

.

Итак, мы доказали что при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую( ).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть и - параллельные прямые, а и - их образы. Т.е. и .

Пусть прямые и имеют общую точку . Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, - образ только одной точки M, причем М должна принадлежать и и , что невозможно, поскольку и параллельны. Следовательно, и не имеют общих точек, т. е. параллельны.

Свойство 2.

При аффинном преобразовании репер (т.е. аффинный репер переходит в аффинный репер) и точка (точка с координатами в репере переходит в точку с такими же координатами в репере ).

Доказательство:

Сначала докажем первую часть: т.к. , это означает, что , ,

При аффинном преобразовании .

Возьмем вектор . При аффинном преобразовании точки .

{ },

.

Подставляя в формулу

f:

вместо значения и находим:

отсюда следует:

Аналогично подставляем вместо значения :

Тогда путем вычитания из соотношений (*) получаем:

Получили:

Координаты вектора преобразуются линейно и однородно:

При аффинном преобразовании .

векторы линейно не зависимы.

Пусть точка имеет координаты относительно репера , тогда , тогда относительно репера и вектор и точка

Заключение

Целью данной работы было рассмотрение и изучение аффинных преобразований плоскости, и их применение при решении задач.

Для достижения указанной цели перед работой были поставлены ряд задач. При решении задач был исследован теоретический материал по аффинным преобразованиям плоскости и свойства различных видов аффинных преобразований (в том числе и групповых).

Первая глава состоит из 3 параграфов. В основной части первой главы изучаются определение и формулы аффинного преобразования плоскости, если не оговорено иное. На основании определения и формул, отражаются свойства аффинных преобразований плоскости, их доказательства.

Вторая глава полностью посвящена задачам на аффинные преобразования и их свойства.

При написании данной работы во многом использовался учебник Л. С. Атанасяна «Геометрия». В ней дается систематическое и углубленное изложение теории аффинных преобразований плоскости, рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений. Анализируются задачи на вычисление и доказательство, рационально решаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Также большую помощь при написании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Аффинная и проективная геометрия». Здесь содержится теоретический и практический материал по теме аффинных преобразований, рассмотрены свойства, группы и подгруппы аффинных преобразований плоскости. Изложение сопровождается образцами решения задач.

В итоге цель работы была достигнута, и поставленные задачи были решены в полном объеме.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия: в 2 ч. – Ч.1:учебное пособие/Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – 2-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2011. – 400 с.

2. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов – М.: Наука, 1968. – 567 с.

3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебное пособие/ Н. В. Ефимов – М.: физматлит., 2005. – 326 с.

4. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов – М.: Наука, 1968. – 567 с.

5. Базылев В. Т. Геометрия. Учебное пособие для студентов I курса/В. Т. Базылев–М.: Просвещение, 1974. – 353 с.

6. Певзнер С.Л., Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1980.– 128 с.

7. Понарин Я.П. Аффинная и проективная геометрия. М.:МЦНМО, 2009. – 288 с.

8. Атанасян Л.С., Базылев. В.Т. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 1973. – 336 с.