«Методика исследования внутренней геометрии гиперповерхности симплектического пространства» - Курсовая работа

В настоящее время симплектическая геометрия все более находит свои многочисленные приложения в геометрии и физики. Поэтому изучение геометрии симплектических пространств, а также дифференциальных свойств поверхностей, погруженных в эти пространства, являются актуальной проблемой.

В данной работе исследована внутренняя геометрия гиперповерхности в симплектическом пространстве :

1) Произведена нормализация гиперповерхности в смысле А.П. Нордена;

2) Получены деривационные уравнения этой поверхности и найдены их условия интегрируемости;

3) Получены и доказаны теоремы 3- 4 из §4.

§1.Некоторые факты дифференциальной геометрии и тензорного анализа

Пусть V – векторное пространство n+1 измерений над полем R вещественных чисел, а V – множество всех ненулевых векторов этого пространства.

Определение. Непустое множество Р называется проективным пространством n измерений (порожденным векторным пространством V), если задано отображение f: V'→P, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного пространства):

Отображение Р сюръективно, т.е любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз.

Равенство f( )=f( ) выполняется тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Элементы множества Р называются точками проективного пространства и обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A,B,C,…,X,Y,… Если f( )=Х, то говорят, что вектор порождает точку Х. Из аксиомы 2 следует, что множество всех векторов векторного пространства V, порождающих одну точку, есть одномерное векторное подпространство без нулевого вектора.

Так как неколлинеарные векторы порождают различные точки, то проективное пространство n измерений содержит бесконечное множество точек.

Пусть Р – проективное пространство трех измерений, а V – четырехмерное векторное пространство, которое порождает проективное пространство Р. Рассмотрим векторное пространство L k измерений пространства V, где k=2,3. Множество всех точек из Р, которые порождаются ненулевыми векторами пространства L, называется прямой, если К=2, и плоскостью, если k=3. Говорят, что подпространство L порождает прямую (плоскость). Прямые будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: a,b,c,…, а плоскости – малыми буквами греческого алфавита: π, σ, τ,…

Так как подпространство L содержит бесконечное множество попарно неколлинеарных векторов, а неколлинеарные векторы порождают различные точки, то каждая прямая или плоскость является бесконечным множеством точек.

Поверхность r измерений проективного пространства есть множество точек этого пространства, зависящих от r параметров или криволинейных координат , ,…, . Эта зависимость

= ( , ,… )

есть параметрическое уравнение поверхности; здесь дифференцируемая функция параметров , ,… .

Криволинейными координатами точек назовем криволинейные координаты соответствующих точек в отображающем пространстве. Введение криволинейных координат устанавливает однозначное соответствие между точками и системами независимых переменных , ,… . Для того, чтобы переменные могли считаться криволинейными координатами, необходимо и достаточно, чтобы функция r=r( , ,… ), где r – радиус-вектор точки отображающего пространства, была дифференцируемой. Касательной плоскостью поверхности проективного пространства есть множество касательных прямых всех линий, принадлежащих и проходящих через неособую точку прикосновения к .