«Методическое обеспечение по курсу «математика» (задачник по математическому анализу) для направления «информационные системы и технологии»» - Дипломная работа

Актуальность данной работы состоит в разработке методического пособия на основе лекций и практических занятий по курсу «Математический анализ» проведенных для студентов первого курса направления «Информационные системы и технологии».

Цель работы заключается в разработке учебно-методического обеспечения по курсу «Математика» (задачник по математическому анализу) для направления «Информационные системы и технологии».

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать три главы в соответствии с предметом исследования.

2. Структура должна состоять из теоретического материала с примерами решения и задачами для самостоятельного решения.

Предметом исследования является дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, а также определенный интеграл и его приложения.

Объектом исследования является курс математического анализа.

Данное учебно-методическое пособие разработано на основе лекций и практических занятий по курсу «Математический анализ».

Пособие состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются вопросы дифференциального исчисления функции одной переменной.

Вторая глава посвящена интегральному исчислению функции одной переменной.

Третья глава посвящена определённому интегралу и его приложениям.

В начале каждой главы помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач.

Пособие предназначено для студентов направления «Информационные системы и технологии», а также при организации практических занятий в форме дистанционного обучения.

Глава1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.1. Основы дифференциального исчисления

Определение. Функция называется производной функции если при любом значении независимой переменной х равна следующему пределу:

или

Данный процесс называется дифференцированием.

Пример. Найти производную

Решение.

1. Для значения даем приращение .

2.

3.

4. Теперь найдем предел данного отношения:

5.

Производная разности, суммы, произведения и частного функций.

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Производная суммы (разности):

Производная произведения и частного:

Формулы дифференцирования:

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции:

1.2. Производная сложной функции

Определение. Пусть и . В таком случае - сложная функция переменной x, а - промежуточный аргумент.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Пример 1. Найти производную .

Решение. Для этого введем промежуточный аргумент . Следовательно . Тогда .

Пример 2. Найти производную .

Решение. .

Пример 3. Найти производную .

Решение. Обозначим через . Тогда . Отсюда следует

Пример 4. Найти производную .

Решение. Разобьем на простые функции: где , где где . По правилам получаем :

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции.

.

1.3. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnx)= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким. В практике приходиться работать с функциями, производный которых находят логарифмическим дифференцированием. Одна из них – это степенно-показательная функция

Найдем производную:

Пример. Найти производную

Решение. Сначала прологарифмируем функцию:

Продифференцируем данное равенство по х:

Или

Пример. Найти производную

Решение. Воспользуемся полученной ранее формулой:

.

Замечание. Лучше всего не пользоваться готовой формулой, а повторить всю процедуру логарифмирования и дифференцирования.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции: