«Методическое обеспечение по курсу «математика» (задачник по математическому анализу) для направления «информационные системы и технологии»» - Дипломная работа

Содержание

Оглавление 2

Введение. 4

Глава1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 6

1.1. Основы дифференциального исчисления 6

1.2. Производная сложной функции 9

1.3. Логарифмическое дифференцирование 11

1.4. Производная обратных функций 14

1.5. Неявная функция и ее дифференцирование 15

1.6. Дифференцирование параметрически заданных функций 17

1.7. Дифференциал функции 20

1.7.1. Понятие дифференциала функции 20

1.7.2. Приближенное вычисление значения функции с помощью дифференциала 21

1.8. Исследование функций при помощи производной 24

1.8.1. Монотонность функции 24

1.8.2. Экстремум функции. 26

1.8.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 29

1.8.4. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба 30

1.8.5. Асимптоты графика функции 32

1.8.6. Схема исследования функции и построения графиков 34

Глава 2. Первообразная функция и неопределенный интеграл 37

2.1. Неопределенный интеграл 37

2.1.1. Понятие неопределенного интеграла 37

2.1.2 Простейшие свойства неопределенных интегралов 37

2.1.3. Таблица основных интегралов 38

2.2. Интегрирование при помощи метода замены переменной 41

2.3. Интегрирование по частям. 44

2.4. Интегрирование дробно-рациональных выражений. 54

2.5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 59

2.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 63

2.7. Интегрирование биноминальных дифференциалов. 65

2.8. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции. 71

Глава 3. Определенный интеграл и его приложение. 72

3.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 72

3.1.1. Площадь криволинейной трапеции 72

3.1.3. Масса линейного неоднородного стержня 73

3.1.5. Работа переменной силы на прямолинейном участке пути 74

3.2. Интегральная сумма. Определенный интеграл. 76

3.3. Свойства определенного интеграла 78

3.4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница 80

3.5. Замена переменной в определенном интеграле 82

3.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле 85

3.7. Несобственные интегралы 87

3.8. Признаки сходимости несобственных интегралов. 95

3.9. Геометрические приложения определенного интеграла 97

3.9.1. Вычисление площади плоской фигуры 97

3.9.2. Вычисление объема тела вращения 103

3.9.3. Вычисление длины дуги 108

3.10. Вычисление поверхности тел вращения 110

3.11. Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной полярным уравнением и двумя радиусами-векторами 111

3.12. Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой, уравнения которой заданы в параметрическом виде. 115

Заключение 117

Список использованной литературы 118

Введение

Актуальность данной работы состоит в разработке методического пособия на основе лекций и практических занятий по курсу «Математический анализ» проведенных для студентов первого курса направления «Информационные системы и технологии».

Цель работы заключается в разработке учебно-методического обеспечения по курсу «Математика» (задачник по математическому анализу) для направления «Информационные системы и технологии».

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать три главы в соответствии с предметом исследования.

2. Структура должна состоять из теоретического материала с примерами решения и задачами для самостоятельного решения.

Предметом исследования является дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, а также определенный интеграл и его приложения.

Объектом исследования является курс математического анализа.

Данное учебно-методическое пособие разработано на основе лекций и практических занятий по курсу «Математический анализ».

Пособие состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются вопросы дифференциального исчисления функции одной переменной.

Вторая глава посвящена интегральному исчислению функции одной переменной.

Третья глава посвящена определённому интегралу и его приложениям.

В начале каждой главы помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач.

Пособие предназначено для студентов направления «Информационные системы и технологии», а также при организации практических занятий в форме дистанционного обучения.

Выдержка из текста работы

Глава1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.1. Основы дифференциального исчисления

Определение. Функция называется производной функции если при любом значении независимой переменной х равна следующему пределу:

или

Данный процесс называется дифференцированием.

Пример. Найти производную

Решение.

1. Для значения даем приращение .

2.

3.

4. Теперь найдем предел данного отношения:

5.

Производная разности, суммы, произведения и частного функций.

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Производная суммы (разности):

Производная произведения и частного:

Формулы дифференцирования:

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции:

1.2. Производная сложной функции

Определение. Пусть и . В таком случае - сложная функция переменной x, а - промежуточный аргумент.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Пример 1. Найти производную .

Решение. Для этого введем промежуточный аргумент . Следовательно . Тогда .

Пример 2. Найти производную .

Решение. .

Пример 3. Найти производную .

Решение. Обозначим через . Тогда . Отсюда следует

Пример 4. Найти производную .

Решение. Разобьем на простые функции: где , где где . По правилам получаем :

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции.

.

1.3. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnx)= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким. В практике приходиться работать с функциями, производный которых находят логарифмическим дифференцированием. Одна из них – это степенно-показательная функция

Найдем производную:

Пример. Найти производную

Решение. Сначала прологарифмируем функцию:

Продифференцируем данное равенство по х:

Или

Пример. Найти производную

Решение. Воспользуемся полученной ранее формулой:

.

Замечание. Лучше всего не пользоваться готовой формулой, а повторить всю процедуру логарифмирования и дифференцирования.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти производную функции:

Заключение

Цель настоящей работы заключалась в разработке учебно-методического обеспечения по курсу «Математика» (задачник по математическому анализу) для направления «Информационные системы и технологии».

Для достижения указанной цели перед работой были поставлен ряд задач.

1. Разработать три главы в соответствии с предметом исследования.

2. Структура должна состоять из теоретического материала с примерами решения и задачами для самостоятельного решения.

При решении задачи разработка глав в соответствии с предметом исследования, проведена работа по изучению теоретического и практического материал и их синтезирование в отдельные главы.

При решении задачи структурирования глав из теоретического материала с примерами решения и задачами для самостоятельного решения были сделаны следующие моменты:

1. Для теоретической части проанализирована литература и выбраны наиболее подходящие теоремы и определения, позволяющие понять содержание темы.

2. Для практической части проанализированы задачи и представлены примеры решения типовых задач, а также составлены задачи для самостоятельного решения.

Практическая значимость: ВКР может использована в качестве методического пособия для подготовки к практическим занятиям по математическому анализу для студентов направления «Информационные системы и технологии».

Таким образом, задачи решены в полном объеме, цель достигнута – разработано методическое обеспечение по курсу «Математика» (задачник по математическому анализу) для направления «Информационные системы и технологии».

Список литературы

1. Гайнуллин М.Н., Ясавиев Ф.З. Сборник конкурсных задач и упражнений по математике, изд. – 3-е: Книга для студентов вузов, учителей математики средних учебных заведений и учащихся старших классов, специализированных школ. – Уфа, 1999.

2. Гайнуллин М.Н. Элементарная математика: учебно-методическое пособие. – Уфа: Изд-во БГПУ, 2010. – 172с.

3. Сборник задач по математике для втузов/ Под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Изд-во Наука, 1981.

4. Завьялов А.М. Конспект лекций по высшей математике: Учебное пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, 2005. - 98 с.

5. Руководство к решению задач по математическому анализу. Изд-во «ВЫСШАЯ ШКОЛА» - Москва — 1966. Г. И. Запорожец.

6. Киреева Ю.Г., Петров В.В. Интегрирование функции одной переменной (неопределенный интеграл): Учебное пособие. – . Изд-во «ВЫСШАЯ ШКОЛА» - Н. Новгород, 2004. – 68 с.

7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Изд-во Наука, 1971.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1. – М.: Изд-во Наука, 1978 – 1996

9. Пискунов, Н.С Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Изд-во Наука, 1978 – 1996. -Т.1.

10. Рекомендации по оформлению выпускной квалификационной работы. Уфа – Изд-во БГПУ, 2010. – 24с.

11. Титаренко А.М. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике: Практикум 5770 задач: Учебное пособие. – М.: Изд-во Эксмо, 2005.

12. Щипачев, В.С. Курс высшей математики/В.С. Щипачев. – М.: Изд-во МГУ, 1981. -Т.1.