«Интерполяция многочленов методами Ньютона и Лагранжа» - Курсовая работа

Постановка задачи интерполяции и общие идеи её решения.

Одной из важнейших задач численного анализа является задача интерполяции функции: требуется восстановить функцию f(x) для всех значений x [a, b] если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти известные значения, как правило, находятся в результате наблюдений или измерений в каком – то эксперименте либо в результате каких – то вычислений.

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями. Укажем некоторые из этих задач. Обработка физического эксперимента – построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений, на основе интегральных тождеств.

Часто требуется восстановить функцию f (x) на отрезке a ≤ x ≤ b, если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Например, пусть на отрезке a ≤ x ≤ b задана сетка:

= и в её узлах заданы значения функции у (x), равные у ( ) = , . . . , у ( ) = , . . . , у ( ) = . Требуется построить интерполянту – функцию f(x), совпадающую с функцией у (x) в узлах сетки:

f( ) = i = 0, 1, . . . , n.

Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f (x) для значений x, не содержащихся в таблице данных. Интерполирующие функции строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

f(x) = ,

где { } – фиксированные линейно независимые функции, - не определённые пока коэффициенты. В качестве линейно- независимых функций можно выбрать степенные полиномы, что и делается в интерполяционных методах Ньютона и Лагранжа.

Описание интерполирования методом Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа:

L (x) = , где L (x) - многочлен n-й степени. x - абсцисса k-го узла функции, а f(x ) - его ордината. Подставляя вместо x в формулу многочлена конкретное значение, мы можем найти значение многочлена для этой точки.

Текст программы

Program KursF;

uses crt, graph;

const

Men=4;

Menu:ARRAY [1.Men] of string = ('Metod Logranzha',

'Metod Nyutona',

'O programme',

'Exit (ESC)');

var

NM,DF,CIM,DK :CHAR;

K,K1,MAX,I,N :INTEGER;

REZ :BOOLEAN;

O :TEXT;

{---------------------------------------------}

Procedure Oprog;

BEGIN

textbackground(0);

textcolor(2);

ASSIGN (O,'a:\O_PROG.txt');

RESET (O);

WHILE NOT EOF (O) DO

BEGIN

READ (O,CIM);

WRITE (CIM);

DELAY (12000)

END;

CLOSE (O);

READLN;

END;

{---------------------------------------------}

Procedure lograng;

var

g, a, H, J1, b: real;

k, i, n, n1, j, Gd, Gm, ii, e1, f1: integer;

Y, X, z, z1: array [1.50] of real;

begin

repeat

clrscr;

write('Vvedite kolichestvo tochek: ');

readln(n);

if n<=0 then

begin

writeln;

write('Vvodit nado polozhitelnoe chislo! Nazhmite Enter');

readln;

end;

until n>0;

writeln;

for i:=1 to n do

begin

Write('vvedite x',i,': '); Readln(X[i]);

Write('vvedite y',i,': '); Readln(Y[i]);

writeln;

end;

.

.