«10 заданий (решение)» - Контрольная работа

Содержание

Вариант № 1

1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Лапласа.

2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

Найти надежность системы - вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности блоков Р(ак) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(c) = 0.99, P(d) = 0.95.

3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3. Надежность работы первого блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7. Надежность работы второго блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.

4. Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p= 0.2 независимо от других искажается. Случайная величина Х - число искаженных сообщений. Построить ее законы распределения, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.

Задана плотность распределения f(x)случайной величины Х:

f(x)={■(2A cos⁡2x,&если |x|≤π/4@0,&если |x|≥π/4)┤

Требуется найти коэффициент А, построить график плотности распределения f(x),найти функцию распределения F(x)и построить ее график, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.

6. По выборке объема n = 100 построен рядраспределения:

Xi 1 3 5 7 9 11 13

Pi 0.07 0.09 0.14 0.21 0.25 0.18 0.06

Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию рас-пределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.

Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n= 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s= 4.

8. По результатам эксперимента получена таблица наблюденийсистемы случайных величин (X,Y):

Y X

1 2 3 4 5 6

-1 0.02 0.025 0.03 0.02 0.0 0.0

-2 0.0 0.10 0.06 0.12 0.02 0.0

-3 0.0 0.0 0.05 0.09 0.13 0.03

-4 0.0 0.0 0.01 0.05 0.065 0.09

-5 0.0 0.0 0.0 0.02 0.04 0.03

Оценить данную матрицу распределения (X, Y)на регрессию видовf(x) = А0 + A1xи f(x)=А0 + A1x + A2x2.

По двум независимым выборкам объемов nx=12 и ny=8нормальных распределений найдены выборочные значениями математических ожиданий x ̅=15.3 и y ̅=16.5и исправленные выборочные дисперсии s_x^2=0.47 и s_y^2=0.54. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_0:m_X=m_y при конкурирующей гипотезе H_1:m_X По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 проверить гипотезу о распределении случайной величины Х по показательному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):

Qk 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12

nk 60 25 7 5 2 1

Выдержка из текста работы

По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 проверить гипотезу о распределении случайной величины Х по показательному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):

Qk 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12

nk 60 25 7 5 2 1

Решение: n=100.

Показательный закон распределения имеет функцию распределения:

F(x)=1-e^(-λx) (x≥0)

Для оценки параметра λ воспользуемсяметодом моментовx ̅=1/λ.

λ=100/((1∙60+3∙25+5∙7+7∙5+9∙2+11) )≈0.42735

Вычислим статистику критерия Пирсона (критерий «хи-квадрат»):

,

где, n= 100 – размер выборки, P_i=F(b_i )-F(a_i )=e^(-λa_i )- e^(-λb_i ).

0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - +∞ Суммы

n_i 60 25 7 5 2 1 100

P_i 0,575 0,244 0,104 0,044 0,019 0,014 1,000

〖nP〗_i 57,459 24,444 10,399 4,424 1,882 1,374 99,981

0,112 0,013 1,111 0,075 0,007 0,102 1,420

В нашем случаеχ_набл^2=1.420.