«Свойства функции м. отелбаева» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ….3

I. МЕТОД ТАУБЕРОВЫХ ТЕОРЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ АСИМПТОТИКИ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ….5

II. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ М. ОТЕЛБАЕВА…17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ….20

ЛИТЕРАТУРА…21

Введение

Оператором Штурма-Лиувилля называется обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка, порожденный дифференциальным выражением

Ly=-y’’+q(x)y, a x b

и краевыми условиями, например, у(а)=0, у(b)=0.

Если q(x) непрерывна на [a,b], то оператор назовем регулярным. Если [а,b)-бесконечный интервал, то назовем оператор сингулярным. Мы будем рассматривать сингулярный оператор L:

Ly=-y’’+q(x)y, y(0)=0, y(x) L2(0,+ .

Собственным значением оператора L называется число λ, для которого существует у 0, y L2(0, , удовлетворяющая краевым условиям y(0)=0, y(x) L2(0,+ и такая, что Ly=λу. В отличие от конечномерного случая, когда у матрицы конечное число собственных значений, дифференциальные операторы, как правило, имеют бесконечное число собственных значений λn, n=1,2,… . Известно, что если q(x) , то оператор L имеет счетную последовательность собственных значений λn + .

Рассмотрим функцию N(λ)= - число собственных значений оператора L, меньших λ. Задача, изученния поведения функции N(λ), является одной из основных в спектральной теории операторов. Решить эту задачу только при условии q(x) не удается. Поэтому на функцию q(x) приходиться накладывать дополнительные довольно жесткие условия.

В главе I дипломной работы подробно разобран метод тауберовых теорем. Показано, что функция q(x) не может быть колеблющейся, например, вида , <1.

В 1997 году М. Отелбаев ввел в рассмотрение функцию , которая определяется по функции неявным образом:

1= , .

Функция является усреднением функции . Оказалось, что для плохих может оказаться хорошей. В дипломной работе изучены свойства функции на примере колеблющейся функции

. Показано, что

2. Если q(x)=xα, то ~αxα-1.

3. Если α>0, то =α .

4. А(х)= , если β>1- , то =о(

Если M(λ) любая строго монотонная неотрицательная функция, которая при больших положительных λ совпадает с функцией

М (λ)= dx,

а F(λ) – функция, обратная ( в смысле преобразования) к функции М (λ), то при q(x) 1 и q(x) K спектр оператора L дискретен и справедлива асимптотическая формула

λn= F(n) (1+o(1)),

где λn ,n=1,2,…-собственные числа оператора L.

Выдержка из текста работы

I. МЕТОД ТАУБЕРОВЫХ ТЕОРЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ АСИМПТОТИКИ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

1.На примере оператора Штурма-Лиувилля Ly=-y’’+q(x)y (1.1) продемонстрируем метод тауберовых теорем (или метод Карлемана) для вычисления асимптотики распределения собственных чисел. Наиболее обстоятельно этот вопрос рассмотрен Б.М. Левитаном и И.С. Саргсяном [1], А. Г. Костюченко и И.С. Саргсяном [2].

2.Рассмотрим L2(I) оператор (1.1). Условие inf{q(x): x }>-∞ (1.2) заменим более удобным условием q(x) (2.1)

которое не является менее общим, чем (1.2), так как из (1.2), не ограничивая общности, можно прийти к (2.1), совершив сдвиг по спектру, т.е. рассматривая вместо оператора -y’’+q(x)y оператор -y’’+(q(x)- 0+I)y, где 0 – нижняя грань q(x).

Помимо условия (2.1) предположим что =+ (2.2)

Таким образом, согласно теоремам 1.1 и 1.2, будем иметь самосопряженный оператор с дискретным спектром с единственной предельной точкой в + .

Через λ1, λ2,…, λn,…обозначим собственные числа оператора, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а через N(λ) –функцию их распределения N(λ ) (2.3)

Метод тауберовых теорем исследования асимптотики N(λ) (λ→∞) состоит из двух частей: первая (главная) заключается в оценке резольвенты R(λ,L) -1 оператор L при λ→∞, а вторая – в использование тауберовых теорем .

По этой причине условия, налагаемые на потенциал q(x), при исследовании функции N(λ) подразделяются на условия, обеспечивающие получение хороших оценок R(λ,L), и условия обеспечивающие применимость тауберовых теорем. В монографиях [1,2] в группу условий первого типа включено условие, ограничивающее рост потенциала, так как считалось, что оно необходимо.

Для получения оценок функции Грина (или резольвенты) оператора Штурма-Лиувилля условие, ограничивающее рост потенциала, не нужно [3].

Помимо (2.1) и (2.2) на потенциал q(x) наложим следующие ограничения:

sup {q-α(x) -1 }< , (2.4)

где 0 . Условие (2.4)- типичное условие регулярности потенциала. Оно может быть ослаблено [3]. Приведем его в простой форме для упрощения выкладок. Пользуясь им, изложим способ оценки резольвенты оператора (1.1).

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.1), (2.2) и (2.4). Тогда при достаточно больших положительных λ имеет место равенство

-1= (λ)(E- - (λ))-1.

Причем -ε)), где ε>0, ( ) при λ→∞. Здесь Mi(λ) (i=1,2,3)-интегральные операторы:

(Mi(λ)f)( )= ,

ядра которых определяются формулами:

= M (q(x)-q(η)) r (η-x),

= M r (η-x),

= -2 (η-x)-M (η-x), где

M = (q(x)+λ)-1/2exp(- )

и, наконец, r(t)- бесконечно гладкая функция, равная 1 при

В теореме 1.2.1 дается полезное представление резольвенты. При ее использовании важно, что ядро при обращается в нуль. Формулы, имеющие такие качественные свойства, верны для широкого класса эллиптических дифференциальных или псевдодифференциальных операторов.

Для дальнейших рассмотрений нам потребуется следующая лемма, позволяющая оценивать нормы интегральных операторов.

Лемма 2.1. Пусть К- интегральный оператор из L2( ) в L2( ) с ядром К(x,η), где Ω- произвольный интервал Ω I=(-∞,∞). Тогда справедливо неравенство

dη)+ ( dx). (2.5)

Отметим без доказательства, что если Ω=I, а ядро зависит только от разности х-η и неотрицательно (или неположительно), то неравенство (2.5) превращается в равенство.

Заключение

Спектральная теория оператора Штурма-Лиувилля играет важную роль в различных задачах естествознания. Исследования в этой области проводятся около двух сот лет. Как правило, на потенциальную функцию q(x) накладывались условия правильности роста, что запрещало этой функции быть, например, колеблющейся. Мы исследовали случай колеблющейся функции q(x).

Список литературы

1. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

2. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

3. Отелбаев М.О. К методу Титчмарша оценки резольвенты //Доклады АН СССР.- Т. 211, №4.-стр. 153-157. 1973.

4. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

5. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

6. Отелбаев М.О. Оценки собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Матем. Заметки.-Т.-20, №6.-стр. 859-867. 1976.

Примечания

К работе прилагается презентация.