«Методика изучения колеблющихся решений разностных уравнений» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава 1. Понятие разностного уравнения, его решения и колеблемости его решений 5

1.1 Некоторые обозначения и определения 5

1.2 Уравнения в конечных разностях 6

1.3 Линейные уравнения первого порядка 10

1.3.1 Однородные линейные уравнения 10

1.3.2 Неоднородные линейные уравнения 11

1.4 Понятие колеблемости решений разностного уравнения 13

Глава 2. Колеблющиеся свойства решений уравнения 19

Вспомогательные предложения 19

Некоторые вопросы колеблемости решений уравнения

22

Основные результаты 22

Заключение 33

Литература 34

Введение

Актуальность темы. Разностные уравнения являются наиболее простыми представителями класса функциональных уравнений с отклоняющимся аргументом. Имеется обширная литература, посвящённая разностным уравнениям.

Разностные уравнения применяются во всех ветвях современной науки, в том числе биологии и экологии, строительной механике, экономике, психологии и социологии, физике, химии, в теории электрических цепей, автоматического регулирования, в теории вероятностей, в теории импульсивных цепей и др. В связи с развитием компьютерной техники, многие задачи вышеуказанных отраслей науки решаются моделированием.

Об этом более подробно написано в работе [4], которая является основой для наших исследований. Кроме того, рассмотрены и другие работы.

Объект данного исследования. Объектом являются уравнения в конечных разностях и колеблемость решений этого уравнения.

Предмет изучения данной темы. Предметом являются условия колеблемости, асимптотические поведения уравнения и методика их изучения.

Цель данной работы. Целью является методика изучения понятия «Разностные уравнения», решения разностных уравнений и качественное исследование решения разностных уравнений.

Структура работы. В данной работе рассмотрена методика изучения колеблющихся свойств решений разностного уравнения

Настоящая работа состоит из введения по исследуемой теме, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе даётся понятие разностного уравнения, его решения, колеблемости его решений, рассматриваются однородные и неоднородные разностные уравнения.

Во второй главе проводится исследование колеблющихся свойств решений разностного уравнения пятого порядка.

Выдержка из текста работы

Глава1. ПОНЯТИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ, ЕГО РЕШЕНИЯ И КОЛЕБЛЕМОСТИ ЕГО РЕШЕНИЙ

1.1 Некоторые обозначения и определения

Введем некоторые определения и обозначения, которые пригодятся нам в дальнейшей работе:

N={1,2,…,n,…}-множество натуральных чисел.

{ +1, +2,…}, где N

-пустое множество.

N – множество неотрицательных чисел.

Z={0, 1, – множество целых чисел.

R=(- - множество действительных (вещественных) чисел.

- для любого, для всякого (любой, каждый и т. п.).

- существует, найдётся.

принадлежит.

N,(i Z); m N, i= означает i=1,2,…,n.

R_=(- ,0) – множество отрицательных действительных чисел.

=(0,+ ) – множество положительных действительных чисел.

=(- ,0] – множество неположительных действительных чисел.

=[0,+ ) – множество неотрицательных действительных чисел.

, , ,

Под понимается обобщённая степень:

…(x-k+1), где k Z.

Под понимается конечная разность:

где i N,

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»).

Под решением разностного уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) будем понимать решение, продолжаемое вправо. Исключаются из рассмотрения тривиальное решение и решения, слипающиеся с тривиальным.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовём колеблющимся (осциллирующим), если оно меняет знак на [k, + ) В противном случае решение назовём неколеблющимся (неосциллирующим).

1.2 Уравнения в конечных разностях

Суммирование функций и уравнения в конечных разностях.

Задача суммирования заключается в следующем: функция задана для целых значений переменного некоторым аналитическим выражением, найти в конечном виде точно или приближенно сумму

Многие частные случаи этой задачи хорошо известны в анализе. Действительно, формулы

есть не что иное, как решение задачи суммирования для функций

Задача суммирования тесно связана с задачей решения уравнений в конечных разностях.

Сначала необходимо ввести понятие конечной разности.

Пусть функция определена для всех значений вида

Можно образовать некоторый аналог производной :

Это выражение равно тангенсу угла наклонна прямой, соединяющей точки .

Выражение мы будем обозначать и называть конечной разностью первого порядка функции в точке . Конечные разности первого порядка могут служить для образования конечных разностей второго порядка и т.д.:

Найти решение уравнения в конечных разностях можно следующим образом:

Дано соотношение

найти функцию , обращающую это уравнение в тождество.

Можно привести простейший пример уравнения в конечных разностях

где может принимать значение 0, 1, 2, …

Формально решением этого уравнения служит функция т.е. решение этого уравнения эквивалентно решению задачи о суммировании функции .

Соотношение

F [n; f(n), f(n),. , f(n)] = 0, (1.1)

где функция F задана, функция f — искомая, называется разностным уравнением с одной неизвестной функцией f притом порядка m, если соотношение (1.1) после замены приращений их выражениями через f явно содержит как f (n+ m), так и f (n).

Если уравнение (1.1) после упрощений не содержит f (n+ m),то его естественно считать порядка ниже m. Если же оно не содержит f (n), но содержит, скажем, f (n+ 1), то замена независимого переменного n + 1 на n приведет это уравнение к уравнению порядка m-1. Здесь лежит глубокая разница между уравнениями в конечных разностях и уравнениями дифференциальными, где замена независимого переменного порядка уравнения не понижает.

Приведем пример: рассмотрев разностное уравнение

2 f(n)+ 3 f(n)— f(n)= n,

при помощи формул

f(n) = f (n+ 1)- f(n)

f(n) = f (n+ 3)-3 f (n+ 2)+3 f (n+ 1)- f(n)

приведем его к следующему: 3 f (n+ 2)- f (n+ 3) = x и, заменяя x+2 на x, получим уравнение

3 f (n) - f (n+ 1) = n - 2

первого порядка. Соответственно этому и уравнение ( ) мы будем считать уравнением первого порядка.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция f (n), которая обращает левую часть в нуль тождественно (т. е. для всех значений n).

Соотношение F [n; f(n), f(n),. , f(n)] = 0, если представить все f(n) через f(n),… f(n+k), может быть переписано в виде

Ф[n, f(n), …, f(n+k)] = 0. (1.1’)

Это соотношение связывает k + 1 значение нашей функции. Если это уравнение записать в форме

f (n+k)= [n, f(n), …, f(n+k-1)] , (1.1")

то задав начальные значения при n = n , f(n )= f , f(n +1)= f ,…, f(n +k-1)= f , получаем значение, f(n +k) и вообще f(n +n) = при любом целом n.

При этом достаточно считать Ф (n , y ,…,y ) функцией конечной и определенной при n=n +m, где m любое целое число, и y , пробегающих все значения.

Поэтому решение нашего уравнения запишем в виде

f(n) = P(n, f , f ,…, f )

т. е. оно зависит от k начальных значений f , f ,…, f .

Обратно, если у нас есть семейство функций

f(n) = P(C, C ,C , C ,…, C )

определенных на последовательности точек n=n +m, где т целое число, то, исключая из уравнений

f(n) = P(n, C ,…, C )

f(n+1) = P(n+1, C ,…, C )

…

f (n+k) = P(n+k, C ,…, C )

константы C ,C , …, C , мы получим разностное уравнение, вообще говоря, k-го порядка для f(n).

Также можно считать величины C ,C , …, C не константами, а произвольными периодическими функциями периода единица. Тогда по-прежнему эти функции можно исключить из системы. Если допустить, что n пробегает последовательность n +m, то предположения, что C — постоянная или периодическая функция, эквивалентны.

Заключение

В данной работе было рассмотрено разностное уравнение, вида

,

и исследованы колеблющиеся свойства решений, рассмотрено и доказано три вспомогательных предложений в форме леммы, и семь теорем для данного уравнения, построена схема методики изучения данного уравнения.

Результаты получены для уравнения m-1 порядка в работе [4], проверены для уравнения пятого порядка и эти результаты сравнены с результатами других авторов.

В последние годы начали рассматривать колеблемость решений разностных уравнений с отклоняющимися аргументами, с запаздывающими аргументами, с переменными коэффициентами и с непрерывными коэффициентами, которые расширяют качественные исследования колеблемости решений разностных уравнений.

Список литературы

1. Быков Я. В., Белокопытова И.В. Об асимптотах решений уравнений в конечных разностях.//Дифференц. уравнения. 1974.10.№5

2. Быков Я. В., Живоглядова Л.В. Об осцилляторности решений нелинейных конечно-разностных уравнений. //Дифференц. уравнения.1973.9.№11

3. Воробьев А.А. Оценка ограниченности решений разностных уравнений. – Вестник ВГУ. Сер.Физ.Мат 2010. №2

4. Гайнуллин М.Н. Осцилляция решений некоторых разностных уравнений высшего порядка.- Уфа: Башгоспединститут, 1999.

5. Гайнуллин М.Н. Осцилляционные и асимптотические свойства решений разных уравнений третьего и четвёртого порядков. –Современные физико-математические проблемы в педагогических вузах. Материалы IV Уральской региональной научно-практической конференции. –Уфа: Издательство БГПУ, 2003.

6. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Об осцилляционных свойствах уравнений высшего порядка в конечных разностях . Башгоспединститут. Уфа. 1986- 17 с. Библиогр. 9 назв.-Рус.-Деп. В ВИНИТИ 05.02.86.№864-В86.

7. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. О поведении решений разностного уравнения высшего порядка. //Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы научно-практической конференции. –Екатеринбург: УрГПУ, 2000.

8. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. К теории осцилляции решений разностного уравнения II. – Численные методы в задачах математической физики //Сб.научн.тр. – М.: Изд-во УДН, 1985.

9. Гайнуллин М.Н. Осцилляционные свойства решений нелинейных уравнений высшего порядка. Алгебра и анализ: Тез. Докладов меңдународной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Ч. II. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994.

10. Гайнуллин М. Н. Об осцилляции решений разностного уравнения высшего порядка: Тез. XXVII итоговой научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов Башгоспединститута. – Уфа: Башгоспединститут, 1996.

11. Гайнуллин М.Н. О решениях разностного уравнения высшего порядка: Тез. докладовVII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» - Казань: Изд-во Казанского гос техн. ун-та, 1997.

12. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Некоторые вопросы осцилляции решений нелинейных разностных уравнений. Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сб.научн тр. Ч. 1 Междунар. Научн. Конф. – Стерлитамак: 1998.

13. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. -Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1967.

14. Громова Т.С., Шарифова Т. О колеблемости решений разностных уравнений //Тр. Семинара по теории дифференц.уравнений с отклоняющимся аргументом при Университете дружбы народов им. П. Лумумбы. – М.: 1975. Т.9.

15. Закиров Ф.К., Гайнуллин М.Н. Об осцилляционных свойствах решений разностного уравнения. Управление, надежность и навигация: Межвуз. сб. научн. Работ. – Саранск: Мордовский государственный ун-т, 1976. В.З.

16. Закиров Ф.К., Гайнуллин М.Н. Об осцилляции решений нелинейных разностных уравнений высшего порядка. Управление, надежность и навигация: Межвуз. сб. научн. Работ. – Саранск: Мордовский государственный ун-т, 1976. В.З.

17. Кудинов А. Ф. Некоторые методы решений разностных уравнений 2-го порядка.//ПММ. Воронеж. 2009, №7

18. Матакаев А.И. Осциллируемость решений разностных уравнений//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2001,5,№2

19. Матакаев А.И. Осцилляция решений разностного уравнения первого порядка//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2000,5,№1

20. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. – Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1986.

21. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Государственное издательство технико-теоретической литературы. –Москва.-Ленинград.-1951.

22. Худжина И. В. Классификация знакопостоянных решений системы разностных уравнений и условия их отсутствия.// Актуальные проблемы современной науки. 2006. №3

23. Шевело В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев, Наук. Думка, 1978.

24. Agarwal Ravi P., Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order //Math.Inegual.and Appl.-1998.-1, №3.

25. Budincevic M. Oscillation of nonlinear neutral difference equations //Acad. Serbe scl. Et auts.-1997. - № 22.

26. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong Complete characteristic oscillation of neutral difference equations// J.Math.Anal.and Appl.-1998.-221, №1.

27. Dai Binxiang, Tu Xiaojie Oscilliation for a class of nonlinear neutral difference equations//Hunan daxue xuebao. Zuran kexue ban=J.Hunan Univ.Natur.Sci.-1997.-24, №1.

28. Graef J.R., Jaros J., Miciano A. Oscillation and not oscillation results of nonlinear difference equations // Proc.Pyn.Syst.and Appl.Vol.2.Proc.Second Int. Conf. Dyn. Syst. and Appl., Atlanta, Ga, May 24-27, 1995.-Atlanta (Ga),1996.

29. Jiang Jianchu, Li Xiaoping, Tang Xianhua. Новые критерии осцилляторности разностных уравнений первого порядка с запаздыванием. New oscillation criteria for first-order delay difference equations//Comput. and Math.Appl.2004,47,№12

30. Liu Jindo, Liu Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations// Sluixue lilin yu yingyong-Math.-Theor. and Appl.-1999.-19,№1.

31. Miroya Yoshiaki, Ishiwata Emiko.Stability for a class of difference equations.// J. Comput. and Appl. Math. 2009. №2

32. Parhi N. Осцилляция решения разностных уравнений первого порядка. Oscillations of first order difference equations.//Proc.Indian Acad. Sci. Math.Sci.2000,110,№2

33. Popendia Jerzy On the oscillation of solutions of difference equations//Demonstr. Math.-1995.-28, №3.

34. Rath R. N., Padhy L.N. Необходимые и достаточные условия колеблемости решений нелинейного разностного уравнения первого порядка с несколькими запаздываниями. Necessary and sufficient conditions for oscilliation of solutions of a first order forced nonlinear difference equation with several delays//Facs.math.2005,№35

35. Samir H. Cheng Sui Sun. Критерии осцилляции типа Каменева для нелинейных разностных уравнений. Kamenev type oscillation criteria for nonlinear difference equations.//Chehosl.Math.J.2004.54,№4

36. Selvaraj B., Jafffer I., Mohammed Ali. Oscillation behavior of certain third order non-linear difference equations. Осциляционное поведение некоторых нелинейных разностных уравнений 3-го порядка. 2007.

37. Shamanda Blazei .Oscillatory and asymptotic behaviour of higher order difference equations//Matematiche.-1997.-52, №1.

38. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. О некотором критерии осцилляции для разностных уравнений. Some oscillation criteria for difference equations.//Comput.and Math.Appl.2000.40, №6-7

39. Szafranski Zdzislaw, Szmanda Blazej. Theorem on the oscillation for some nonlinear difference equations// Appl.Math.and Comput.-1997.-83, №1.

40. Yang Jun, Guan Xinping, Li Ronglu. Oscillatory and asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of neutral type//J.Harbin Inst. Techn.-1999.-6, №1.

41. Yang Jiashan. Колеблемость решений разностных уравнений с запаздыванием и с переменными коэффициентами. Oscillation of delay difference equations with variable coefficients.//Zhongnan minzu daxue xuebao. Ziran kexue ban.-J.South-Cent.Univ.Nat.Natur.Sci.2004.23,№4

42. Zhang B.G., Lian Fu Yun. Критерии осцилляции некоторых разностных уравнений с непрерывными коэффициентами. Oscillation criteria for certain difference equations with continuous variables.//Indian J.Pure and Application Math.2006.37,№6

Примечания

К работе прилагается презентация.