«Методическое обеспечение курса «математический анализ»» - Дипломная работа

Содержание

Введение 1

Глава I. Введение в анализ. 2

§1. Множества. Действительные числа 2

1.1. Основные понятия 2

1.2. Числовые множества. Множество действительных чисел 3

1.3. Числовые промежутки. Окрестность точки 6

§2. Функция 7

2.1. Понятие функции 7

2.2. Числовые функции. График функции.

Способы задания функции 8

2.3. Основные характеристики функции 9

2.4. Обратная функция 11

2.5. Сложная функция 13

2.6. Основные элементарные функции и их графики 13

§3. Последовательности. 16

3.1. Числовая последовательность 16

3.2. Предел числовой последовательности 17

3.3. Предельный переход в неравенствах 19

3.4. Предел монотонной ограниченной последовательности.

Число . Натуральные логарифмы 20

§4. Предел функции. 22

4.1. Предел функции в точке 23

4.2. Односторонние пределы 24

4.3. Предел функции при 25

4.4. Бесконечно большая функция (б. б. ф.) 26

§5. Бесконечно малые функции (Б.М.Ф.) 27

5.1. Определения и основные теоремы 27

5.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно

малой функцией 31

5.3. Основные теоремы о пределах 32

5.4. Признаки существования пределов 34

5.5. Первый замечательный предел 35

5.6. Второй замечательный предел 37

§6. Эквивалентные бесконечно малые функции. 38

6.1. Сравнение бесконечно малых функций 38

6.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них 39

6.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций 41

§7. Непрерывность функций 41

7.1. Непрерывность функции в точке 42

7.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке 43

7.3. Точки разрыва и их классификация 44

7.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций 46

7.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке 47

§8. Производная функции 48

8.1. Задачи, приводящие к понятию производной 48

8.2. Определение производной; ее 52

механический и геометрический смысл. Уравнение

касательной и нормали к кривой. 53

8.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

функции 55

8.4. Производная суммы, разности, произведения и

частного функций 56

8.5. Производная сложной и обратной функции 58

8.6. Производные основных элементарных функций 61

8.7. Гиперболические функции и их производные 67

8.8. Таблица производных 68

§9. Дифференцирование неявных и параметрически

заданных функций. 71

9.1. Неявно заданная функция 71

9.2. Функция, заданная параметрически 72

§10. Логарифмическое дифференцирование 73

§11. Производные высших порядков. 74

11.1. Производные высших порядков явно заданной функции 74

11.2. Механический смысл производной второго порядка 75

11.3. Производные высших порядков неявно заданной функции 76

11.4. Производные высших порядков от функций, заданных

параметрически 76

§12. Дифференциал функции. 77

12.1. Понятие дифференциала функции 77

12.2. Геометрический смысл дифференциала функции 79

12.3. Основные теоремы о дифференциалах 80

12.4. Таблица дифференциалов 81

12.5. Применение дифференциала к приближенным

вычислениям 83

12.6. Дифференциалы высших порядков 84

§13. Исследование функций при помощи производных.

Дифференциал функции. 86

13.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 86

13.2. Правила Лопиталя 90

13.3. Возрастание и убывание функций 93

13.4. Максимум и минимум функций 95

13.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 99

13.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 102

13.7. Асимптоты графика функции 105

13.8. Общая схема исследования функции и

построения графика 108

§14. Формула Тейлора. 110

14.1. Формула Тейлора для многочлена 111

14.2. Формула Тейлора для произвольной функции 113

Глава II. Неопределенный интеграл. 116

§15. Неопределенный интеграл. 116

15.1. Понятие неопределенного интеграла 116

15.2. Свойства неопределенного интеграла 117

15.3. Таблица основных неопределенных интегралов 120

§16. Основные методы интегрирования. 122

16.1. Метод непосредственного интегрирования 122

16.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) 125

16.3. Метод интегрирования по частям 127

§17. Интегрирование рациональных функций. 129

17.1. Понятие о рациональных функциях 129

17.2. Интегрирование простейших рациональных дробей 135

17.3. Интегрирование рациональных дробей 137

§18. Интегрирование тригонометрических функций. 139

18.1. Универсальная тригонометрическая подстановка 139

18.2. Интегралы типа 141

18.3. Использование тригонометрических преобразований 142

§19. Интегрирование иррациональных функций. 142

19.1. Квадратичные иррациональности 142

19.2. Дробно – линейная подстановка 144

19.3. Тригонометрическая подстановка 145

19.4. Интегралы типа 146

19.5. Интегрирование дифференциального бинома 147

§20. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы 148

Глава III. Определенный интеграл. 150

§21. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 150

§22. Геометрический и физический смысл

определенного интеграла 152

§23. Формула Ньютона – Лейбница 154

§24. Основные свойства определенного интеграла 156

§25. Вычисления определенного интеграла 160

25.1. Формула Ньютона – Лейбница 160

25.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) 160

25.3. Интегрирование по частям 162

25.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах 163

§26. Несобственные интегралы. 164

26.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) 164

26.2. Интеграл от разрывной функции

(несобственный интеграл II рода) 166

§27. Геометрические и физические

определенного интеграла 168

Глава IV. Обыкновенные дифференциальные

уравнения 180

§28. Обыкновенные дифференциальные уравнения 180

28.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 180

28.2. Основные понятия 180

28.3. Уравнения с разделяющимися переменными 183

28.4. Однородные дифференциальные уравнения 185

28.5. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли 188

28.6. Уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель 193

28.7. Уравнения Лагранжа и Клеро 198

§29. Дифференциальные уравнения высших порядков 200

29.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 200

29.2. Основные понятия 203

29.3. Дифференциальное уравнение вида 203

29.4. Некоторые дифференциальные уравнения, допускающие

понижение порядка 205

29.5. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка 211

29.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 212

29.7. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 214

29.8. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с

постоянными коэффициентами 216

29.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го

порядка с постоянными коэффициентами 221

Заключение 227

Литература 228

Введение

Данная выпускная квалификационная работа «Методическое обеспечение курса «Математический анализ» для студентов 1-го курса направления «Информационные системы и технологии»» представляет собой курс лекций по дисциплине «Математический анализ» и может быть использована студентами при подготовке к занятиям. В работе изложены основные понятия, определения, свойства, примеры, теоремы и доказательства перечисленных ниже разделов.

Для создания дипломной работы используется текстовый редактор MicrosoftOfficeWord 2007, преимуществами которого являются быстрое форматирование документов и эффективное представление информации в документе, в том числе и математических формул, которые отлично выводятся на печати вне зависимости от размера и сложности.

Данный курс лекций включает четыре главы, объем которых рассчитан на изучение в течениеодного семестра. Каждая глава включает в себя теоретический материал, который группируется по определениям, свойствам, теоремам, замечаниям, примерам разбора решений некоторых из них и пр.

В первой главе рассматриваются основные определения, понятия, теоремы математического анализа, такие как: множества, функция, последовательности, предел последовательности, предел функции, непрерывность фкнкции, призводная, дифференциал функции, исследование функции при помощи производной. Во второй главе рассматриваются основные понятия неопределенного интеграла, методы интегрирования. В третьей главе рассматриваюся основные понятия определенного интеграла, его основные свойства, вычисление определенного интеграла. В четвертой главе рассматриваются основные определения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выдержка из текста работы

Глава I. Введение в анализ.

§1. Множества. Действительные числа.

1.1. Основные понятия.

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому – либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения , о множестве всех натуральных чисел т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита , , …, , ,…, а их элементы – малыми буквами , , …, , , ….

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись обозначает, что элемент не принадлежит множеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать и .

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

- означает «из предложения следует предложение »;

- «предложения и равносильны», т. е. из следует и из следует ;

- означает «для любого», «для всякого»;

- «существует», «найдется»;

- «имеет место», «такое что»;

- «соответствие».

Например:

1) запись означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) или ; эта запись определяет объединение множеств и .

1.2. Числовые множества. Множество действительных чисел.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

- множество натуральных чисел;

- множество целых неотрицательных чисел;

- множество целых чисел;

- множество рациональных чисел.

- множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение .

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, -рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема 1.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Доказательство:

Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем: , т. е. .

Отсюда следует, что (а значит, и ) – четное число, т. е. . Подставив в равенство , получим , т. е. . Отсюда следует, что число - четное, т. е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, …, … - иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать , где .

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет

место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами

и содержится бесконечное множество действительных чисел , т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству .

Так, если , то одним из них является число ( и ).

3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два

непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству . Оно отделяет числа класса от чисел класса . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно – однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Заключение

Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций и семинаров по высшей математике. Данная работа была набрана и отредактирована с помощью текстового редактора MicrosoftOfficeWord 2007. В результате этой работы был составлен обзор по курсу математический анализ, содержащий необходимый теоретический и практический материал в виде основных понятий, теорем, примеров, объем которых рассчитан на изучение в течение двух семестров.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве основной части методического пособия по курсу «Математический анализ» для студентов-первокурсников направления «Информационные системы и технологии».

Список литературы

1. Акимов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа.- М.:Наука,1980.

2. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Академия, 2001.

3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах.-М.: Высшая школа, 2000.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.-М.: Наука, 1990.

5. Никольский С.М. Курс математического анализа: в 2 т. Учебник для физ. и мех.-мат. спец. вузов.-М.: Наука, 1990.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 т.-М.: Рольф «Айрис Пресс», 2001.

7. Романовский П.И. Общий курс математического анализа в сжатом изложении.- М.: Физматгиз, 1962.

8. Рудин У. Основы математического анализа.- М.: «Мир», 1966.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: в 2 т.-СПб.: Издательство «Лань», 2001.

Примечания

К работе прилагается презентация.