«Методика преподавания элементов математического анализа в курсе средней школы» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава I. Методика обучения математики в средней школе 6

1. Цели и содержание обучения математике в средней школе 6

2 Содержание математического образования 9

3. Формирования понятий 11

3.1 Типы определений 11

3.2 Классификация понятий 12

3.3 Методика формирования понятий 13

Глава II. Изучение функции в средней школе 19

2.1. Постоянные и переменные величины 19

2.2. Понятие функции 20

2.3 Геометрическое изображение функций 24

2.4.Различные способы задания функции. 25

2.5.Изучение функции у = кх + m 34

2.6. Изучение функции у = x2 37

2.7. Изучение функции 40

2.8. Изучение функции 43

2.9. Изучение тригонометрических функций 44

2.10. Изучение показательной и логарифмической функции 47

Глава III Изучение предела и непрерывности функции в средней школе. 53

1.1. Понятие числовой последовательности. 53

1.2. Понятие о пределе числовой последовательности 54

1.3. Определение геометрической и арифметической прогрессии 55

1.4. Предел функции 59

1.5. Приращение аргумента и функции 60

1.6. Понятие непрерывности функции 61

Глава IV Изучение производной и его применение к исследованию функции в средней школе. 67

4.1. Задача о скорости прямолинейного движения. 67

4.2. Задача о касательной 68

4.3. Понятие производной функции 71

4.4. Непосредственное дифференцирование функций 72

4.5 Механическое истолкование понятия производной 74

4.6. Геометрическое истолкование понятия производной 75

4.7. Касательная к кривой линии. 75

4.8. Скорость изменения функции. 76

Глава V . Организация и результаты опытно-экспериментальной работы 83

5.1 Организация обучения основам математического анализа в общеобразовательной школе 83

5.2 Анализ результатов исследования 86

Заключение 90

Литература 93

Приложения 96

Введение

Актуальность исследования. Новые технологии и постоянно возрастающий объем информации обусловливает проникновение математических методов исследования в различные сферы человеческой деятельности. В связи с этим меняются требования к уровню подготовки выпускника в предметной области «математика». Выполнение указанных требований возможно при условии повышения качества понимания учащимися основ и методов математики, осознания их значимости для решения практических задач.

Одним из сложных для понимания и восприятия учащимися разделов школьного курса математики является «Алгебра и начала анализа». Это обусловлено спецификой его содержания: абстрактностью, сложной логической структурой изучаемого материала, использованием специальных знаков и многого другого.

Следует сказать, что результаты контрольных срезов, ЕГЭ показывают, что учащиеся, как правило, справляются с заданиями, решение которых ориентировано на применение отработанных алгоритмов. При этом установление межпредметных и внутрипредметных связей вызывает у них затруднения, что свидетельствует о недостаточном понимании учащимися изучаемого материала.

Безусловно, при этом необходимо, чтобы у учащихся в процессе обучения была развита познавательная активность, к показателям которой следует отнести стабильность, прилежание, осознанность учения, творческие проявления, поведение в нестандартных учебных ситуациях, самостоятельность при решении учебных задач и т.д.

Новизна исследования: Анализ и систематизация данных в учебниках алгебры, алгебры и начала анализа различных авторов.

Цель исследования — изучение изложения элементов математического анализа в различных учебниках алгебры и начала анализа в средней школе и разработка методики изложения отдельных вопросов элементов математического анализа, а также методика проведения кружкового занятия по данной тематике.

Объект исследования – процесс обучения алгебре и началам анализа учащихся.

Предмет исследования – методическое обеспечение изучения элементов математического анализа, направленного на повышение качества понимания учащимися изучаемого материала.

Достижение указанной цели обусловило решение ряда конкретных задач, а именно:

1) совершенствовать методику изучения раздела элементов математического анализа на основе активизации познавательной деятельности учеников;

2) создать целостную теоретическую базу по изучению из курса алгебры и математического анализа радела элементов математического анализа;

3) провести практическую проверку с целью установления эффективности предложенной методики.

Для того чтобы решить поставленные задачи, использовались следующие методы:

1) анализ научной и методической литературы, а также учебных пособий;

2) тщательное изучение и проработка подобранного теоретического

и практического материала;

3) изучение и обобщение имеющегося опыта преподавания из курса

алгебры и математического анализа радела элементов математического анализа;

Согласно выделяемой цели и поставленным задачам выстроена структура работа, которая состоит из введения, 5-и глав, приложения, заключения, списка литературы.

Во введении обоснована необходимость изучения актуальной проблемы, указанной в качестве темы исследования, обозначены объект, предмет, определены цели и задачи.

Первая глава посвящена описанию теории и методики обучения математике в аспекте изучение курса алгебры и математического анализа, подробному рассмотрению ее категориального аппарата.

Далее во второй, третьей и четвертых главах последовательно детально рассматривается изучение таких основных элементов математического анализа, как «функция», «предел», «производная». Сформированы основные понятия математического анализа и процесс их обучения, а также был проведен анализ учебников по проблеме исследования включая пропедевтический курс.

В процессе изучения методики обучения математике в вузе при прохождения курса мы конечно же знали о тех или иных методик преподавания в теории. Работая над дипломом нам удалось применить теорию в практике. В настоящее время в пятой главе представлены результаты практической проверки эффективности предлагаемой методики, в рамках использования которой было проведено три урока.

В качестве завершающей методической работы была проведено кружковое занятие на тему «Применение теоремы Лагранжа и ее следствий при решении задач», что способствовало объективному оцениванию результатов методики. После проведенной работы можно сделать вывод о том, что благодаря использованию мультимедиа и дополнительного учебно-методического обеспечения, способствовали активизации познавательной деятельности учащихся во время изучения данных тем.

Таким образом, мы смеем надеться, что выполненная квалификационная работа может способствовать совершенствованию и повышению эффективности учебного процесса, что является практической значимостью исследования.

Выдержка из текста работы

Глава I. Методика обучения математики в средней школе

1. Цели и содержание обучения математике в средней школе

Один из факторов успешного процесса преобразования российского общества - высокое качество образования. Образование в обществе рассматривается с разных позиций. Ряд исследователей под образованием понимают фиксацию уровня усвоения культуры, другие рассматривают образование как процесс целенаправленного, педагогически организованного духовного, интеллектуального и физического развития человека, для третьих смысл образования заключается в обретении человеком своего образа, четвертые усматривают в этом феномене синтез обучения, воспитания и развития и т.д. Таким образом, образование – многогранное понятие, включающее многие его аспекты. Образование – это целостная система, включающая обучение, воспитание и развитие.

К основным целям обучения математике (в широком смысле) относятся: овладение всеми учащимися элементами мышления и деятельности, которые наиболее ярко проявляются в математической ветви человеческой культуры и которые необходимы каждому для полноценного развития в современном обществе, создание условий для зарождения интереса к математике и развития математических способностей одаренных школьников.

В соответствии с целями обучения математики выделяются уровни обучения, которые представлены на рисунке 1.

Рис. 1. Уровни обучения математике

Можно классифицировать цели обучения математике: общеобразовательные, воспитательные, развивающие. К общеобразовательным целям относятся овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математики, о математических приемах и методах познания, применяемых в математике, к воспитательным целям относятся воспитание активности, самостоятельности, ответственности; воспитание нравственности, культуры общения; воспитание эстетической культуры, воспитание графической культуры школьников, к развивающим целям - формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, алгоритмического мышления; развитие пространственного воображения.

Достижение целей обучения математике определяется функциями обучения математике. Основные функции обучения математике: образовательная, воспитательная и развивающая, а также: эвристическая, прогностическая, эстетическая, практическая, контрольно-оценочная, информационная, корректирующая и интегрирующая. Рассмотрим характеристику каждой функции.

Образовательная функция обучения предполагает овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях. Образовательная функция во многом обусловливает развитие мировоззрения школьников, которое представляет собой синтез знаний, умений и убеждений.

Воспитательная функция обучения характеризуется формированием интереса к изучению математики, развитием устойчивой мотивации к учебной деятельности. В процессе обучения математике воспитывается настойчивость, целеустремленность, дисциплина, критичность мышления, развиваются математические способности, формируется понимание красоты математических утверждений, развивается пространственное воображение и др.

Развивающая функция обучения заключается в формировании познавательных психических процессов и свойств личности, таких как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, способности, а также формирование логических приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и т. п.), общеучебных приемов.

Информационная функция заключается в том, что в процессе обучения ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения на те или иные концепции. В процессе обучения математике ученик получает достаточно большой объем информации, знакомится с различными приложениями математики, новыми открытиями в области математики.

Эвристическая функция обучения предполагает создание учителем в процессе обучения условий, которые обеспечивают развитие способностей ребенка. К эвристической функции обучения относится применение учителем эвристических приемов и методов в обучении математике, умение применять их в различных конкретных ситуациях.

Прогностическая функция обучения математике ориентирована на формирование у школьников прогностических умений: умение обнаруживать нерешенные проблемы, выдвигать гипотезы, умение видеть альтернативное решение проблем и др.

Эстетическая функция предусматривает приобщение школьников к красоте, воспитание у них эстетических вкусов. Учебный материал должен быть изложен логически последовательно, системно и привлекательно.

Практическая функция обучения математике заключается в ориентации обучения на решение задач, на формирование умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность учебного материала. Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач. Движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но, раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности, отмечает Р. Курант.

Контрольно-оценочная функция обучения математике заключается в необходимости осуществления контроля, коррекции, оценки знаний и умений школьников. В связи с этим, встает вопрос о качестве образования, компетенциях.

Корректирующая функция заключается в корректировании информации, получаемой учащимися. Значение и сущность информации, полученной из различных источников, может быть различной. Учитель должен предлагать учащимся откорректированную информацию. Он должен помочь ученику правильно разобраться в ней и оценить ее.

Интегрирующая функция заключается в формировании системности знаний, в понимании взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами.

Все функции обучения математике взаимосвязаны, они зависят друг от друга и реализуются на практике в различных сочетаниях. Обучение математике, реализуя свои функции, обеспечивает достижение основных целей обучения. Перечисленные выше цели математического образования составляют основу отбора его содержания.

2 Содержание математического образования

Гуманитарная составляющая математического образования определяется отношением к человеку, его общественному бытию и сознанию. Так как математика позволяет воспитывать чувство прекрасного, совершенного, учит видеть и понимать окружающий нас мир, его красоту и внутреннюю гармонию. Математика оказывает существенное влияние на эстетические вкусы и взгляды учащихся. Поэтому говоря о «гуманитарной математике», подразумевается связь математики с гуманитарными науками, а также материальными и духовными общественными отношениями. С этих позиций наиболее важными являются: методологические вопросы математики как метода познания природы и общества; философские проблемы математики, показывающие ее роль в обществе; связь математики с другими науками; связи математики с производством, ее роль в управлении, быту, трудовом воспитании; связь математики с духовной культурой, развитие мышления, политическое, нравственное и эстетическое воспитание; вклад математического образования в формирование научного гуманистического мировоззрения учащихся.

С целью гуманитаризации математического образования в школьный курс необходимо внести адаптированные формы, методы и средства обучение, свойственные гуманитарным дисциплинам. Это можно осуществить через освобождение школьного математического курса от технически сложных вопросов, доказательств теорем, усиливая прикладную направленность дисциплины, раскрывая смысл математического моделирования, показывая значимую роль математики в развитии культуры и общества.

Гуманизация и гуманитаризация математического образования предполагают особые отношения между учителем и учеником, в ходе которых происходит вовлечение школьников в содержание учебного процесса; используются диалогические приемы общения между учителем и учащимися; реализуются творческие начала каждого школьника. Данные процессы повлияли на изменения содержание школьного математического образования.

Содержание математического школьного образования отражается в ряде нормативных документов, учебниках, учебных планах, учебных программах, методических пособиях. Учебные программы по математике включают в себя перечень тем изучаемого материала, рекомендации по количеству времени на каждую тему, перечень знаний, умений и навыков по предмету. Базисный учебный план является обязательным для всех учебных заведений, дающих среднее образование. По данному документу составными частями содержания образования являются: знания, умения, навыки.

Знания – это понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить и применять на практике основные научные факты и теоретические обобщения. Любое знание выражается в понятиях, категориях, принципах, законах, закономерностях, фактах, идеях, символах, концепциях, теориях, гипотезах. Математические знания представляют собой математические понятия, законы, символику, математический язык и т.д.

Умения – это владение способами, приемами применения усваиваемых знаний на практике. Умения включают в себя знания и навыки. Формирование знаний, умений и навыков зависит от способностей человека.

Навыки – составные элементы умения, т.е. автоматизированные действия, доведенные до высокой степени совершенства.

Таким образом, содержание образования строится с учетом факторов, детерминирующих на современном этапе развития общества. Таковыми сегодня являются: соответствие логике математики как науки; степень его удовлетворения принципам обучения (научности, последовательности, системности и т.д.); учет психологических возможностей и возрастных особенностей школьников разных ступеней обучения (младший, средний, старший школьник); потребности личности в образовании (дифференцированное обучение, коррекционное обучение и т.д.); формирование профессиональной направленности школьников.

Заключение

Одним из сложных для понимания и восприятия учащимися разделов школьного курса математики является «Алгебра и начала анализа». Это обусловлено спецификой его содержания: абстрактностью, сложной логической структурой изучаемого материала, использованием специальных знаков и многого другого.

В первой главе приведен краткий обзор описания теории и методики обучения математике в аспекте изучение курса алгебры и математического анализа, подробному рассмотрению ее категориального аппарата и изложены некоторые психолого-педагогические особенности учащихся. В частности можно сделать вывод, что преподавание элементов математического анализа в общеобразовательной школе имеет достаточно давние традиции в отечественной методике. Классификация психологических типов учащихся является основой для предложенной методики составления задач, изложенной в этой же главе.

Со второй по четвертой главе данной работы проведен анализ и сравнение учебного материала в различных учебно-методических комплексах для учащихся, обучающихся по курсу средней общеобразовательной школы

Одним из выводов является тот факт, что понятия элементов математического анализа во всех действующих учебниках и предложение о более мелком пошаговом изучении этой темы для данного контингента учащихся. Это отражено в образовательном стандарте среднего (полного) общего образования по математике у учеников по выражению В.А. Крутецкого «малоспособных» к изучению математики, на каждом из этих этапов изучения производной и при каждом переходе от одной модели к другой возникают принципиальные затруднения. Одним из основных методических выводов данной работы является пошаговая работа с основными понятиями элементов математического анализа.

В настоящее время в пятой главе представлены результаты практической проверки эффективности предлагаемой методики, в рамках использования которой было проведено три урока, а также описание кружковых занятий.

В результате констатирующего этапа нами были выбраны оптимальные формы и методы работы, направленные на формирование уровня знаний по математике у учащихся в данном классе. При планировании и проведении эксперимента были учтены возрастные особенности учащихся. Для этого мы создали особо благоприятные условия, разрабатывали отдельные меры психологического воздействия, распространяющиеся на всех учащихся; они служат для общего улучшения условий обучения и воспитания учащихся в школе.

На формирующем этапе эмпирического исследования в экспериментальном классе проводились уроки по теме «Применение производной к исследованию функции», а также проводились кружковые занятия по алгебре и началам анализа. В приложение 1, 2 представлены конспекты уроков по теме «Применение производной к исследованию функции» и кружковых занятий на тему «Применение теоремы Лагранжа и ее следствий при решении задач» соответствующим учебно-методическим обеспечением.

На контрольном этапе эмпирического исследования был проведен анализ результатов.

В целом можно сказать, что благодаря использования мультимедии и дополнительного учебно-методического обеспечения, послужило толчком для общего улучшения условий обучения изучаемого материала и повышение интереса к изучению курса алгебры и начала анализа. В данном случае педагогическая деятельность заставила учащихся понять ценности знаний, критически отнестись к своим занятиям по математике.

На наш взгляд, преподавание элементов математического анализа для учащихся общеобразовательной средней школы вполне возможно и доступно при переносе акцента в изучении этой темы с формально-технических умений на наглядно-геометрические и словесные описания основных понятий и способов их применения.

Список литературы

1. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Сост. Черкасов Р.С., Столяр А.А. – М.: Просвещение, 1985.

2. Методика преподавания математики. Частная методика. Сост. Мишин. М., Просвещение, 1987

3. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. В.А.Оганесян, Ю.П.Колягин и др. М., 1980.

4. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, И.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005.

5. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Сост. Черкасов Р.С., Столяр А.А. – М.: Просвещение, 1985

6. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов/ А.Я. Блох, В.А. Гусев и др. - М.: Просвещение,1987.

7. И.М. Уваренков Элементы математического анализа в курсе математики средней школы – Смоленск, 1968

8. А.А. Темербекова Методика преподавания математики. М., 2003.

9. Г. И. Саранцев «Общая методика преподавания математики» - М.: Просвещение, 1999.

10. И.Ф. Шарыгин Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.

11. Математика в школе №9, стр. 49,2001

12. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе",1997г.

13. Н.М. Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

14. Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

15. Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

16. А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г. "Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы" в полном объеме

17. Е.И. Лященко Методика обучения математике. Лященко, Е.И., Мазаник А.А. – Минск, 1976. -222 с.

18. И.А. Новик Практикум по методике преподавания математики.И.А. Новик. – Минск, 1984. -175 с.

19. Методика преподавания математики в средней школе. — Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М., 1985.

20. А. Г. Мордкович Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. — 1996. — № 6. — С. 28—33.

21. А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 7 класс /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.

22. Алгебра. Учеб. для 7 класса средней школы Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 2000

23. А.Г. Мордкович Алгебра 8 . А.Г. Мордкович.– М., 2001. -227 с.

24. Алгебра 8 класс. Под редакцией С.А. Теляковского. – М., 1991. -223 с.

25. А.Г. Мордкович Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Алгебра. Учебник. 9 класс. М. Мнемозина, 2005

26. А.Г Мордкович Алгебра и начала анализа 10-11 /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.

27. Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10-11. Ш.А. Алимов // Учебник - Москва: Просвещение, 2001.

28. М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа 10-11. Башмаков //Учебник - Москва: Просвещение, 1992.

29. А.Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа 10-11 /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва: Просвещение,1999.

30. Г. В. Торофеев Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. — 1978. — № 2. — С. 10—27.

31. А. Н. Колмогоров Что такое функция? // Математика в школе. - 1978. - № 2. - С. 27-29.

Примечания

Есть приложения.