«РАЗВИТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ» - ВКР

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 8

1.1 История развития идеи функциональной зависимости в математике 8

1.2 . Основные цели и задачи обучения функциям в курсе математики 14

1.3 Анализ содержания функциональной линии в учебниках алгебры разных авторов 20

1.3.1 Анализ теоретического материала 20

1.3.2 Анализ практического материала 30

1.4. Методика введения понятия функции в школьном курсе математики 40

Выводы по первой главе 54

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ФУНКЦИЯМ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 56

2.1 Методические рекомендации по обучению функциям в курсе алгебры средней школы 56

2.2 Анализ задач ОГЭ по теме исследования 70

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы 71

Выводы по второй главе 77

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 79

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 82

Введение

Одним из основных направлений школьного курса математики является исследование ситуаций реального мира с использованием математических моделей, основной математической моделью является функция. Функциональная линия - один из четырех основных разделов содержательных линий школьного курса алгебры (учение о функции, учение о числе, уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Она пронизывает целый курс математики. В 5 – 6-х классах осуществляется функциональная пропедевтика, в 7-9 классах происходит систематическое изучение функционального материала. Затем тема «Функции» продолжает изучаться в старших классах [42, С.12].

Ю.М. Колягин в учебном пособии [20] утверждает, что понятие фунции – одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Функции, их свойства и графики образуют основу школьного курса математики. Вокруг функциональной линии группируется вся современная школьная алгебра, начала математического анализа и в некоторой степени геометрия. Специфичность данной линии заключается в ее возможности устанавливать в обучении внутрипредметные и межпредметные связи.

В ходе длительного времени силы ученых математиков и методистов были ориентированы на введение функционального материала в школьный курс математики. Существенное влияние на этот шаг в совершенствовании математического образования оказали идеи известного педагога-математика Ф. Клейна (1849 – 1925). Он был убежден в ведущей роли понятия функции и математике-науке, и в обучении математике. Ф. Клейн в книге «Элементарная математика с точки зрения высшей» писал: «Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть понятие о функции. Понятие о функции должно играть основную, так сказать, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно быть выяснено учащимися очень рано и должно пронизывать все преподавание алгебры и геометрии» [20, С. 112].

В резолюциях Всероссийских съездов преподавателей математики (1911 – 1914 гг.) была подчеркнута потребность проведения идеи функциональной зависимости через весь курс предмета средней школы. Данная мысль обсуждалась и позднее. Деятельность в области совершенствования содержания и методики обучения функциональному материалу, активно начатая в 60-е гг. XX в., происходит волнообразно с некоторыми перерывами вплоть до данного времени.

Ю.М. Колягин отмечает, что основой школьной программы по математике 70-х гг. являлась теоретико-множественная концепция, позволяющая широко трактовать все основные математические понятия, в том числе и понятие функции. Сегодня существуют различные подходы к определению данного понятия.

Действующая примерная программа содержит существенно увеличенное количество сведений функционального содержания после проведенной в 70-е гг. XX в. реформы математического образования. Расширение понятийного аппарата вплоть до включения начал математического анализа подняло функциональные представления учащихся на новый качественный уровень. Значительное влияние на данный шаг оказали такие педагоги-математики, как, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Г. Мордкович и другие. Они были уверенны в ведущей роли понятия функции в математике, напрямую связанного с реальностью. Функция как математическая модель позволяет описывать и исследовать разнообразные зависимости между реальными величинами, познавать окружающий нас мир [42, С. 5 - 7].

Согласно федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования [50] результаты изучения предметной области «Математика» должны отражать: 1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; 2) овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально- графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей.

Задачи по теме «Функции» включены в основной государственный экзамен: в первой части они встречаются в заданиях №11, во второй части – в задании №23.

Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена сложившимися к настоящему времени противоречиями между: необходимостью качественного усвоения обучающимися понятия функции в курсе математики общеобразовательной школы и недостаточной разработанностью методики его формирования.

Объект: процесс обучения математике в средней школе.

Предмет: методика формирования понятия функциональной зависимости в курсе математики средней школы.

Цель: дать обзор формирования понятия «Функциональная зависимость» в математике и разработать методические рекомендации в целях расширения и углубления знаний по данной теме.

Гипотеза основана на предположении о том, что качественное усвоение понятия функции достигается, если: выявить методические особенности формирования понятия функциональной зависимости в курсе математики средней общеобразовательной школы и с их учетом разработать методические рекомендации по обучению данного понятия.

Задачи:

1. Изучить исторические аспекты возникновения и развития понятия функции.

2. Выявить основные цели и задачи обучения функциональной линии в курсе математики средней школы.

3. Выполнить анализ содержания функциональной линии в учебниках алгебры средней школы.

4. Охарактеризовать различные подходы к определению понятия

«функция» в школьном курсе математики и раскрыть методику введения данного понятия.

5. Выявить методические особенности обучения учащихся понятию линейной функции.

6. Рассмотреть задачи ОГЭ по теме исследования.

7. Провести педагогический эксперимент.

Для решения задач были использованы следующие методы: анализ методической литературы; анализ школьных программ и учебников; различные виды эксперимента по проверке основных положений исследования.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней сделана попытка обобщить теоретический материал, касающийся проблемы преподавания идеи функциональной зависимости.

Практическая значимость работы заключается в том, что он может быть использован при знакомстве с понятием « Функция и функциональная зависимость» и также использована при работе на уроках в обычных, профильных классах по математике, которые могут быть использованы учителями математики и студентами в период педагогической практики в общеобразовательной школе.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

1.1 История развития идеи функциональной зависимости в математике

Автор статьи «Как возникло и развивалось понятие функции» [4]

Н.Я. Виленкин утверждает, что идея функциональной зависимости восходит

к давним временам, когда человечество стало осознавать взаимосвязь окружающих явлений. Люди не обладали вычислительными навыками, однако видели, что степень сытости племени зависит от количества собранных ягод.

Со временем число известных людям связей между величинами увеличивалось. Большинство из этих зависимостей стали выражаться с помощью чисел. Если за одну овцу предоставляли 5 корзин ягод, то за двух – 10, а за трех – 15. Так возникло представление о пропорциональности величин.

Позднее людям доводилось встречаться с более сложными зависимостями. Появилась необходимость в понимании зависимостей объемов геометрических фигур от их размеров. В Античном Вавилоне для облегчения расчетов, люди составили таблицы, которые представляли собой нечто иное

как табличное задание функций:

Заключение

Сформулируем основные выводы и полученные результаты проведенного исследования.

1. Изучены исторические аспекты возникновения и развития понятия функции. Установлено, что понятие функции в своем историческом развитии прошло через несколько этапов (пропедевтический, введение понятия функции через механические и геометрические представления, аналитическое определение функции, функция как отображение, дальнейшее развитие понятия функции с 20 века). Структура изучения функциональной линии в школьном курсе математики строится с учетом исторических аспектов развития понятия функции. В школьном курсе происходит повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке.

2. Выявлены основные цели и задачи обучения функциональной линии

в курсе математики основной школы. Определено, что при изучении функций у учащихся формируется целостное представление об окружающем мире и взаимосвязи его компонентов, навыки использования функций в повседневной жизни; знания, умения и навыки использования понятийного аппарата, связанного с функциональной линией, в математике и других науках.

3. Выполнен анализ содержания теоретического и задачного материала функциональной линии в учебниках алгебры основной школы. Определено, что в большинстве рассматриваемых учебниках в 7 классе основной изучаемой функцией является линейная функция. В 8 классе особое внимание уделяется функции обратной пропорциональности, а в 9 классе - квадратичной функции и преобразованиям графиков функции. Выделены основные типы задач по теме «Функции», приведены примеры задач каждого типа.

4. Охарактеризованы различные подходы к определению понятия «функция» в школьном курсе математики и раскрыта методика введения данного понятия. Определено, что существуют две различные методические трактовки понятия функции: генетическая и логическая. В современном школьном курсе математики в качестве ведущего принят генетический подход к понятию функции. В школьных учебниках алгебры 7-9 классов функция трактуется как зависимость, как переменная величина или определяется через соответствие двух множеств. Вводить понятие функции целесообразно с рассмотрения зависимостей окружающего нас мира.

5. Представлены методические рекомендации по обучению теме «Функции». Установлено, что при обучении функциям в курсе алгебры средней школы рекомендуется подкреплять графическими примерами все определения понятий, формулировки свойств. Необходимо использовать наглядно-образный материал.

6. Выделены основные типы задач в итоговой аттестации учащихся в курсе алгебры основной школы по теме «Функции». Определено, что в первой части основного государственного экзамена содержатся задачи на: установление соответствия между аналитическим заданием функции и ее графиком; определение расположения графиков основных элементарных функций относительно оси координат в зависимости от знаков коэффициентов; определение свойств функции по ее графику; нахождение точек пересечения графиков функций; интерпретацию графиков реальных зависимостей. Во второй части основного государственного экзамена встречаются задачи на: построение графиков кусочных функций; построение дробно-рациональных функций; задачи с параметром.

7. Проведен констатирующий и поисковый эксперимент, который выявил недостаточный уровень умения решать задачи по теме «Функции».

Все это дает основание считать, что задачи, поставленные в исследовании, полностью решены.

Список литературы

1. Антонова, И.В. Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы [Текст]: дис. канд. пед. наук./ И.В. Антонова. – Тольятти, 2003. – 185 с.

2. Блох, А.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика [Текст]: учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат.спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

3. Бурмистрова, Т.А. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7 – 9 классы [Текст]: пособие для учителей общеобразовательных организация/ Т.А. Бурмистрова. – 2-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2014. – 96 с.

4. Виленкин, Н.Я. Как возникло и развивалось понятие функции/ Н.Я. Виленкин // Квант, 1977. - № 7. – С. 41 – 45.

5. Виленкин, Н.Я. Функции в природе и технике [Текст]: книга для внеклас. чтения IX – X кл./ Н.Я. Виленкин. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с.

6. Виленкин, Н.Я. Алгебра [Текст]: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 368 с.

7. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учеб. пособие / Л.В. Виноградова. – Ростов н/Д.: Феникс,

2005. – 252 с.

8. Власова, Е.В. Еще раз об изучении функции в средней школе / Е.В. Власова // Математика в школе, 2002. - № 6. – С. 53 – 57.

9. Глейзер, Г.И. История математики в школе IV – VI кл. [Текст]: пособие для учителей/ Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

10. Глейзер, Г.И. История математики в школе IX – X кл. [Текст]: пособие для учителей/ Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с.

11. Горина, Л.А. О развивающем потенциале функционально-

графической линии в курсе алгебры основной школы/ Л.А. Горина // Математика в школе. – 2011. - № 2. – С. 69 – 73.

12. Громова, Е.В. Обучение понятию функции в основной школе с помощью компьютерных технологий/ Е.В. Громова, И.С. Сафуанов // Вестник МГПУ. Серия «Информатика и информатизация образования». – 2013. – №

1(25). - С. 91-99.

13. Дорофеев, Г.В. Алгебра. 7 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных организаций/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 287 с.

14. Дорофеев, Г.В. Алгебра. 8 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных организаций/Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 320 с.

15. Дорофеев, Г.В. Алгебра. 9 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных организаций/Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 304 с.

16. Дундукова, И.В. Возможности использования программы УМК

«Живая математика» при изучении функциональной линии в курсе алгебры 7-9 класса [Электронный ресурс]/ И.В. Дундукова, Е.Н. Балибардина, Г.П. Бердникова// Актуальные проблемы непрерывного педагогического образования в условиях реализации федеральных государственных и профессиональных стандартов: сборник трудов по итогам IV Всероссийской заочной научно-практической конференции, г. Михайловка, 20 ноября 2015 г. – М: Планета. – 2015. – С. 78-83. – Режим доступа: http://elibrary.ru/download/elibrary_25559955_51157205.pdf. – Последнее обновление 11.05.2019.

17. Епифанова, Н.М. Методика обучения алгебре основной школы [Текст]: учебно-методическое пособие/ Н.М. Епифанова, О.П. Шарова. – Ярославль: изд-во ЯГПУ имени К.Д. Ушинского, 2006. – 83 с.

18. Иванова, О.А. Изучение функциональной линии в курсе алгебры средней школы на основе метаметодического подхода (на примере функции вида)/ О.А. Иванова// Ежемесячный научный журнал «Молодой уче-ный». – 2013. №7 (54). – С. 384 – 387.

19. Колмогоров, А.Н. Что такое функция / А.Н. Колмогоров // Квант, 1970. - № 1. – С. 27 – 36.

20. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школы: Частные методики [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. ин-тов/ Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин, Е.Л. Мокрушин, В.А.Оганесян и др. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

21. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

22. Лященко, Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы/ Е.И. Лященко. – Минск: Научно-исследовательский институт педагогики министерства просвещения БССР, 1970. – 176 с.

23. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 7 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2013. – 256 с.

24. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2013. – 287 с.

25. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суво-рова; под ред. С.А. Теляковского. – 18-е изд. - М.: Просвещение, 2011. – 271 с.

26. Макарычев, Ю.Н. Алгебра 7 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 336 с.

27. Макарычев, Ю.Н. Алгебра 8 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 10-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2010. – 384 с.

28. Макарычев, Ю.Н. Алгебра 9 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 447 с.

29. Макарычев, Ю.Н. Изучение алгебры в 7 – 9 классах [Текст]: пособие для учителей / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова, И.С. Шлыкова. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 304 с.

30. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1 [Текст]: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.

31. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2 [Текст]: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 17-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 271 с.

32. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1 [Текст]: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 12-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2010. – 215 с.

33. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2 [Текст]: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2010. – 271 с.

34. Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1 [Текст]: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 224 с.

35. Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2 [Текст]: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская, П.В. Семенов. – 12-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2010. – 223 с.

35. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2010. – 77 с.

37. Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс [Текст]: методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2010. – 72 с.

38. Муравин, Г.К. Алгебра. 7 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – 9-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2013. – 285 с.

39. Муравин, Г.К. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – 15-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2013. – 254 с.

40. Муравин, Г.К. Алгебра. 9 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 315 с.

41. Песков, Т.А. Об изучении функций в средней школе/ Т.А. Песков // Математика в школе, 1951.№ 5. – С. 52 – 56.

42. Покровский, В.П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия [Текст]: учеб.-метод. Пособие/ В.П. Покровский – Владимир: Изд-во ВлГУ, 2014. – 143 с.

43. Примерные программы основного общего образования. Математика. – М: Просвещение, 2009 – 96 с. – (Стандарты второго поколения).

44. Репьев, В. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе [Текст]: пособие для учителей/В.В. Репьев - М.: Просвещение, 1967. - 276 с.

45. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики [Текст]: учебное пособие для студентов математических спец. педагогических вузов и университетов / Г.И. Саранцев. – Саранск: Тип. «Красный Октябрь», 1999. – 208 с.

46. Сивашинский, И.Х. Элементарные функции и графики. Теория и задачи с решениями/ И.Х. Сивашинский. – М.: Наука, 1965. – 243 с.

47. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математики. Курс лекций [Текст]: пособие для вузов/ Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

48. Суворова, С.Б. Алгебра. Методические рекомендации 8 класс [Текст]: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова. – М.: Просвещение, 2015. - 244 с.

49. Суворова, С.Б. Методические указания к теме «Квадратичная функция»/ С.Б. Суворова, А.Н. Тернопол // Математика в школе. – 2002. - № 9. – С. 12-28.

50. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования: Приказ Мин. образования и науки РФ от 17.12.2010 г. №1897. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://минобр-науки.рф/документы/938. – Последнее обновление 07.02.2020.

51. Федеральный институт педагогических измерений. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://fipi.ru/. – Последнее обновление 12. 03. 2020.

52. Цукарь, А.Я. Изучение функций в VII классе с помощью средств образного характера / А.Я. Цукарь // Математика в школе, 2000. - № 14. – С. 20-27.

53. Ященко, И.В. ОГЭ 2020. Математика 9 класс. Основной государственный экзамен. 36 вариантов типовых тестовых заданий / И.Р. Высоцкий, Е.А Коновалов,, Л.О. Рослов и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», МЦНМО, 2020. – 224 с.