«ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ» - ВКР

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ 5

1.1. Понятие теоремы. Строение математических теорем 5

1.2. Методы доказательства математических теорем 10

1.3. Общие приемы работы с теоремами (Этапы работы с теоремами. Приемы мотивации изучения и доказательства теорем) 19

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ТЕОРЕМ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ 26

2.1. Определение уровня ЗУН школьников 26

2.2.Методика организации работы с теоремами при изучении курса геометрии в 7-9 классах 31

2.3. Результаты опытно-экспериментальной работы. Методические рекомендации для учителей математики 43

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . 56

---

Введение

В математике, в отличие от любой другой науки, есть такие понятия, как теорема и доказательство. Да и сама математика стала наукой лишь с появлением в ней теорем и доказательств. Арифметические задачи и геометрические формулы можно встретить уже в египетских папирусах, написанных в третьем тысячелетии до нашей эры. Но в этих старинных текстах не было самого главного — доказательств. А без доказательств нет и самой математики.

Когда же появились первые доказательства? И тут сквозь дым времен перед нами предстает удивительный человек, знаменитый мудрец из древнегреческого города Милет. С поразительным единодушием историки науки присваивают звание первоматематика Фалесу Милетскому (625—527 гг. до н. э.). Впрочем, лучше назвать Фалеса первогеометром, ведь все его математические достижения связаны с геометрией. (Само понятие «математика» как название науки появилось лишь в начале XX в., до этого, ученые, занимавшиеся в нашем понимании математикой, назывались геометрами.) Считают, что первые геометрические теоремы доказаны именно Фалесом. Среди них всем известные теоремы о вертикальных углах и свойстве равнобедренного треугольника (равенство углов при основании). [14, c.97]

Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых – математиков и педагогов. Вопросами доказательства теорем занимались Е. Ф. Данилова, В. А. Далингер, Лященко, И. С.

Градштейн и мн. другие.

В разработке методики преподавания математики участвует широкий круг ученых, методистов, учителей, которые печатают свои работы и делятся опытом на страницах журнала «Математика в школе», создают блоги в интернете и многое другое.

Обучение доказательству теорем нуждается в детальном рассмотрении. Известно [2], что учащиеся формально заучивают теорему и ее доказательство, не понимая его логического смысла. Дополнительным вопросом учитель может выявить такое непонимание ученика, который как будто бы правильно доказал теорему. Формальное заучивание доказательства проявляется в затруднениях, которые испытывают школьники, если немного изменить, иначе расположить чертеж.

Ученик иногда запоминает сочетания слов, которые от него часто требуют при обоснованиях, но при проверке можно обнаружить, что он говорит эти слова механически. Например, говорит: «В треугольнике против равных сторон лежат равные углы», не понимая, что это утверждение применимо только к равным треугольникам. Иногда, ученик, доказавший теорему, не может указать на чертеже те элементы, о которых он говорил при доказательстве [2, с. 516].

Цель работы: раскрыть методические особенности преподавания прямых и обратных теорем в курсе математики в средней школе

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика обучения доказательству теорем.

Задачи:

1. Раскрыть сущность понятия «теорема».

2. Выявить основные методы доказательства теорем.

3. Показать основные приемы работы с теоремами.

4. Разработать методику работы с некоторыми теоремами из курса геометрии 7-9 классов.

Гипотеза основана на предположении о том, что эффективное усвоение теорем достигается если, выявить методические особенности формирования и доказательства теорем в курсе математики средней школы и с их учетом разработать методические рекомендации.

---

Выдержка из текста работы

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

1.1. Понятие теоремы. Строение математических теорем.

Основными видами математических суждений являются аксиомы и теоремы. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Аксиома – это суждение, принимаемое без доказательства в данной теории. Теорема – это суждение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. Слово «теорема» происходит от греческого слова τεορεμα – представление, зрелище (так как в древности теоремы часто доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

Аристотель выделил четыре вида суждений, которые были названы категорические суждения (табл.1). Многие математические теоремы имеют вид этих суждений.

Приведем примеры категорических суждений. Общеутвердительными являются следующие суждения: «Все прямоугольники являются параллелограммами», «Все поля есть кольца». К частноутвердительным суждениям относятся: «Некоторые функции – периодические», «Некоторые простые числа четны». Общеотрицательные суждения: «Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка», «Никакой треугольник не является окружностью». Частноотрицательные суждения: «Некоторые функции – непериодические», «Некоторые треугольники – неравнобедренные».

Наиболее часто в математике встречаются теоремы, имеющие вид общеутвердительного суждения. В математике вместо термина «суждение» часто используется термин «утверждение». Рассмотрим строение таких теорем.

---

Заключение

В данной работе были освещены вопросы, касающиеся основных понятий темы, формулировок теорем, основные методы доказательства теорем.

Мы показали, что для усвоения смысла доказательства теоремы лучшим путем является применение анализа. При этом лучшие результаты достигаются, если учитель привлекает учеников к отысканию путей доказательства теоремы [2] .

Выяснили , что с учащимися надо проводить работу, связанную с необходимостью восстановления правильного смысла того или иного слова, понятия имеющего значение в теореме.

Целесообразно показывать учащимся различные формулировки одной и той же теоремы, которые могут им встретиться в школьных учебниках и пособиях[5].

Цель выпускной квалификационной работы: раскрыть методические особенности обучения учащихся доказательству теорем при изучении курса геометрии в основной школе.

Задачи работы:

1. Раскрыть сущность понятия «теорема».

2. Выявить основные методы доказательства теорем.

3. Показать основные приемы работы с теоремами.

4. Разработать методику работы с некоторыми теоремами из курса геометрии 7-9 классов.

Методы исследования:

Анализ учебной и учебно-методической литературы.

Наблюдение.

Обобщение передового опыта обучения математики

Успех в обучении учащихся доказательству теорем определяется не применением одного какого-нибудь приема или метода, а системой преподавания в целом. В значительной степени этот успех зависит от того, на каком уровне сформированы у учащихся такие интеллектуальные умения, как понимание предложенной задачи, умение сформулировать проблему, спланировать деятельность, выделить существенное в наблюдаемых явлениях, провести исследование, интерпретировать полученные данные, провести измерения в нестандартных ситуациях и пр. [5, c. 249].

Для многих задач в самой математике разработаны эти последовательности общих положений, которые образуют известные общие правила (или, как говорят, алгоритмы) решения задач определенного вида. [17]

Конечно, при решении многих нестандартных задач приходится использовать не одно какое-либо правило или прием, а несколько. Знание этих правил и приемов, методов, владение ими очень помогает при поиске решения нестандартных задач. Для этого, прежде всего надо очень внимательно их изучать, анализировать, устанавливать каждый раз условия и требования, содержащиеся в задаче, выяснять, какие объекты, их характеристики и отношения входят в условия, что означают требования задачи. На такой подробный и тщательный анализ не надо жалеть ни времени, ни сил. Только на основе такого анализа будет эффективен поиск способов решения задач.

---

Список литературы

1. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями) / И.И. Александров. - Москва: Мир, 2017. - 967 c.

2. Арутюнян, Г.В. Элементарная геометрия / Г.В. Арутюнян. - М.: Московский Государственный Технический Университет (МГТУ) имени

Н.Э. Баумана, 2017. - 950 c.

3. Афанасьева, Т. Л. Геометрия. 9 класс: поурочные планы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. к разделу "Стереометрия" / Т.Л. Афанасьева, Т.В. Коломиец, др. - Москва: РГГУ, 2016. - 632 c.

4. Волчкевич, М. А. Уроки геометрии в задачах. 7-8 класс / М.А. Волчкевич. - М.: МЦНМО, 2016. - 208 c.

5. Гаврилова, Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии. 9 класс / Н.Ф. Гаврилова. - М.: ВАКО, 2012. - 320 c.

6. Геометрия. 10 класс. Контрольно-измерительные материалы. - М.: ВАКО, 2015. - 381 c.

7. Геометрия. 7-9 классы. Сборник рабочих программ. Базовый и углубленный уровни. Учебное пособие для учителей. - М.: Просвещение, 2016. - 144 c.

8. Геометрия. Дидактические материалы. 7 класс. Учебное пособие. - Москва: РГГУ, 2016. - 319 c.

9. Геометрия. Сборник задач для проведения экзамена в 9 и 11 классах / Д.И. Аверьянов и др. - М.: Просвещение, 2007. - 528 c.

10. Глейзер, Г.Д. Геометрия. 10-11 классы. Методическое пособие / Г.Д. Глейзер. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. - 150 c.

11. Дадаян, А. А. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Задачи и решения. Учебное пособие / А.А. Дадаян. - М.: Форум, Инфра-М, 2014. - 464 c.

12. Ерганжиева, Л. Н. Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Методическое пособие / Л.Н. Ерганжиева, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2014. - 128 c.

13. Ершова, А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса / А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова. - М.: Илекса, 2014. - 240 c.

14. Ершова, А.П. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Геометрия. 7-9 классы / А.П. Ершова. - М.: Илекса, 2012. - 112 c.

15. Киселев, А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. Учебное пособие / А.П. Киселев. - Москва: СПб. [и др.] : Питер, 2015. - 286 c.

16. Мельникова, Н. Б. Геометрия. 7 класс. Экспресс-диагностика / Н.Б. Мельникова. - М.: Экзамен, 2015. - 112 c.

17. Мещерякова, А.А. Геометрия. 7 класс. Опорные конспекты / А.А. Мещерякова. - М.: Современная школа (Букмастер), Интерпрессервис, 2016. - 285 c.

18. Панарина, В. И. Геометрия. 7 класс. 120 диагностических вариантов / В.И. Панарина. - М.: Национальное образование, 2015. - 128 c.

19. Панчищина, В.А. Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы / В.А. Панчищина. - М.: Просвещение, 2014. - 144 c.

20. Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. В 3 томах.Том 3. Треугольники и тетраэдры / Я.П. Понарин. - М.: МЦНМО, 2015. - 192 c.

21. Потоскуев, Е. В. ЕГЭ. Геометрия. Задания 14, 16. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия / Е.В. Потоскуев. - Москва: СПб.

[и др.] : Питер, 2016. - 224 c.

22. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход. 10 класс. - М.: ВАКО, 2013. - 304 c.

23. Рыжик, В. И. Геометрия. 11 класс. Дидактические материалы / В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2008. - 601 c.

24. Салова, Т.А. Геометрия. 7-11 классы. Развернутое тематическое планирование. Базовый уровень / Т.А. Салова. - М.: Учитель, 2013. - 659 c.

25. Свойства окружностей. Справочные материалы. - М.: Айрис-пресс, 2013. - 722 c.

26. Сенников, Г. П. Решение задач на построение в V-V классах. Пособие для учителей / Г.П.Сенников. - М.: Государственное учебнопедагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1975. - 160c.

27. Смирнова, И.М. Геометрические задачи с практическим содержанием / И.М. Смирнова. - М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2015. - 581 c.

28. Смирнова, И.М. Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники / И.М. Смирнова. - М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2010. - 728 c.

29. Сост., Рурукин А.Н. КИМ Геометрия 9 кл. 2-е изд., перераб. ФГОС. Сост. Рурукин А.Н. / РурукинА.Н. Сост. - М.: ВАКО, 2015. - 992 c.

---

Примечания

оригинал в pdf

---