«Неравенства в курсе математики» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. МЕСТО И РОЛЬ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 5

1.1. Связь линии уравнений и неравенств 5

1.2. Прослеживание связи линии уравнений и неравенств в учебниках 8

1.3. Классификация преобразований неравенств и их систем 15

1.4. Особенности изучения неравенств 17

Глава 2.МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ В ИЗУЧЕНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 19

1.1. Рациональные неравенства 19

2.2. Иррациональные неравенства 30

2.2.1. Неравенства вида 32

2.2.2. Неравенства вида 33

2.2.3. Неравенства вида 34

2.2.4. Неравенства вида 35

2.2.5. Двукратное возведение в квадрат 37

2.2.6. Дробно-иррациональные неравенства 38

2.2.7. Замена переменной 39

2.2.8. Умножение на сопряженноё 40

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42

Введение

Единый государственный экзамен по математике является одним из обязательных при окончании средней школы. Перед учителем стоит задача: спланировать и осуществить учебный процесс в соответствии с основной общеобразовательной программой так, чтобы ученики усвоили материал и смогли успешно применить свои знания на экзамене. Но хорошего результата можно добиться, если обучающиеся будут сами заинтересованы в изучаемом предмете. Как показывает опыт, такие ученики стремятся к самостоятельному получению знаний, поэтому для учителя важно сформировать на уроках общие методы мышления и деятельности, и способы подхода к любой задаче.

Изучив статистику ошибок допущенных в ЕГЭ, можно заметить, что задания, содержащие рациональные и иррациональные неравенства вызывают трудности у школьников. Это связано с тем, что на изучение данной темы уделено мало времени, и, как правило, учителя не успевают отработать материал с учениками. Но для решения таких неравенств достаточно знаний, которые даются в школе. Трудности возникают из-за различных подходов к решению таких задач.

Задания с рациональными и иррациональными неравенствами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Если в качестве примера взять ЕГЭ, который должен сдать каждый выпускник школы, то рациональные и иррациональные неравенства – это темы, на которых проверяется подлинное понимание материала.

Отсюда вытекает и проблема исследования: обучить школьников решению рациональных и иррациональных неравенств, используя при этом основные методы решения различных видов таких неравенств.

Объектом исследования является методика изучения рациональных и иррациональных неравенств в 7-11 классах.

Предметом исследования является методы решения различных видов рациональных и иррациональных неравенств.

Целью работы является разработка методики изучения учениками рациональных и иррациональных неравенств в курсе средней школы, с учетом ошибок допущенных в ЕГЭ.

В выпускной квалификационной работе показано, почему важно уделять больше времени заданиям с рациональными и иррациональными неравенствами в учебном процессе. Также проведен анализ решенных ЕГЭ, рассмотрены различные ошибки, которые встречаются в задании 15.

Гипотеза исследования: достижение умения различать виды рациональных и иррациональных неравенств, правильно применять к ним методы решения, находить более рациональный способ решить неравенство.

Для того чтобы достигнуть поставленной цели и проверить гипотезу, необходимо решить следующие задачи:

1. Провести анализ школьных учебников 7-11 классов и рассмотреть методику изучения нашей темы.

2. Изучить ФГОС и различную учебно-методическую литературу по данной теме.

3. Рассмотреть основные методы и примеры решения различных рациональных и иррациональных неравенств.

4. Разработать план-конспекты, с учетом проведенного исследования.

Экспериментальной базой исследования является МБОУ Школа № 27 (г. Уфа).

Выдержка из текста работы

Глава 1. МЕСТО И РОЛЬ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

1.1.Связь линии уравнений и неравенств

Еще с первого класса детей учат сравнивать числа. Они узнают, что такое знаки ">","<","=". Постепенно ученики сравнивают числовые выражения, например, такие как (а+5) и (а+10). В процессе решения задач такого рода, учащиеся осмысливают правильное использование данных символов. Главное, чтобы ребята научились таким рассуждениям: оба выражения имеют одинаковые слагаемые (а), но второе слагаемое первого выражения меньше второго слагаемого второго выражения, следовательно, первое выражение меньше второго.

В 5-6 классах они закрепляют знания и навыки, полученные в начальной школе. Ученики уже знают, что при счете натуральных чисел, то больше, которое называют позже. А на координатном луче та точка меньше, которая лежит левее точки с большой координатой. Также они умеют применять удобный способ для сравнения. Помимо всего, не равенства встречаются и при построении треугольника (сумма двух любых сторон не может быть меньше третьей). Важную роль в изучения нашей линии играет и тема «Модуль». Ведь при раскрытии его может измениться решение неравенства, а, как и при каких условиях, все это должны усвоить на уроках.

В учебниках можно встретить следующие задания.

1. Запишите все натуральные числа вместо , при которых верно неравенство х <7.

2. При каких будут верны следующие неравенства:

В 7 классе начинают изучать функции. Неравенства используют в исследовании функции: в нахождении области определения и значений функции, построения графиков и так далее. А если мы изучаем функцию, то это значит, мы должны уметь решать и уравнения. Именно поэтому пропедевтика изучения более сложных неравенств должна осуществляться параллельно с уравнениями.

В 8 классе начинают изучение квадратных уравнений, уравнений содержащих переменную в знаменателе. Но сначала вспоминают ранее пройденный материал в 7 классе: линейные уравнения, уравнения с двумя переменными, система линейных уравнений.

К 9 классу ученики должны уметь:

1. Выводить формулу квадратного уравнения.

2. Находить дискриминант

• , значит уравнение имеет два корня;

• , значит у уравнения нет корней;

• , значит уравнение имеет один корень

3. Решать различными способами:

• выделяя полный квадрат;

• через дискриминант

• графическим способом

• по теореме, обратной теореме Виета

В 9 классе начинают изучение дробно-рациональных и биквадратных уравнений. Ученики учатся решать уравнения графическим способом, который состоит в отыскании точек пересечения. Вводится понятие «рациональное неравенство». Также формируется навык равносильных преобразований, и решение неравенств методом интервала.

В 10-11 классах теории по неравенствам очень мало. В учебниках в основном представлены упражнения на закрепление навыков решения. Проанализировав учебники, которые одобрены ФГОС, могу сказать, что нашей теме уделено мало времени, а она играют важную роль в ЕГЭ. И если посмотреть статистику типичных ошибок, допущенных при решении, то, к сожалению, мы увидим, что не нулевые баллы за это задание набирают всего 15 % из 100%.

В содержании и методике решения уравнений и неравенств рассматривают введение понятий уравнения и неравенств, общие и частные методы решения, взаимосвязи с другими линиями курса математики.

При решении текстовых задач алгебраическим методом раскрывается прикладная направленность линии уравнений и неравенств. Этим методом пользуются в школьной математике, чтобы в дальнейшем применять в других областях математики, например в моделировании. Можно сказать, что прикладное значений уравнений и неравенств (и их систем) является математическим средством в моделировании.

В теории линии уравнений и неравенств направленность раскрывается, во-первых, в изучении основных классов уравнений, неравенств и их систем, и, во-вторых, в применении общих понятий и методов.

Использование общих понятий и методов позволяет выстроить последовательность изучения линии в целом, так как они описывают общее в процедурах и приемах решения, относящихся к различным классам уравнений, неравенств и их систем.

Линии уравнений и неравенств в процессе установления взаимосвязи между собой реализует идею поэтапного расширения числовой системы. Если рассмотреть неравенства и их системы, то решением являются числовые промежутки. Связь с числовой линией с одной стороны, способствует расширению числовой системы, а с другой, каждая новая числовая область увеличивает возможности решения и составления различных неравенств и уравнений.

Также линия уравнений и неравенств тесно связана с функциональной линией. Эта связь заключается в приложении методов к исследованию функции. Например, в упражнениях на нахождении области определения некоторых функций, их корней и др.В частности, функциональная линия оказывает влияние и на стиль изучения линии неравенств и уравнений. Функциональные представления являются основой использования графической наглядности в решении и исследовании уравнений, неравенств и их систем.

Таким образом, изучение простейших неравенств начинается еще в начальной школе. Сначала ученики сравнивают между собой числа, потом простые выражения (числовые и буквенные). Линия неравенств неразрывно связана с уравнениями, поэтому важно, чтобы ученики умели решать их.

1.2. Прослеживание связи линии уравнений и неравенств в учебниках

Составляя календарно-тематический план учитель, опирается на содержание учебников. При изучении новой темы может возникнуть проблема ее изложения тем или иным автором. Актуализация опорных знаний изучения иррациональных неравенств осуществляется через понятие арифметического корня и его свойств.

Проанализируем, как авторы вводят понятие арифметического корня в своих учебниках.

В учебнике «Алгебра.9 класс», автор Алимов Ш.А., изучение начинается с понятия арифметического корня натуральной степени и его свойств. Если взять учебник Макарычева Н.Г., то можно заметить, что он разделяет понятия квадратного корня и корня n-ой степени. В учебнике по алгебре 8 класса он вводит арифметический квадратный корень и его свойства, а в учебнике 9 класса арифметический корень n-ой степени и его свойства. А у Колмогорова А.Н. в учебнике «Алгебра.10 класс» понятие иррациональных уравнений вводится после изучения арифметического корня n-ой степени. Мордкович А.Г. считает, что изучение понятия квадратного корня и его свойств надо начать в 8 классе, и для иррациональных уравнений он выделяет отдельный параграф.

А теперь более подробно рассмотрим каждый из учебников. Проведем анализ каждого из них. Ведь для учителя выстраивая для себя методику изучения неравенств, важно знать, какое продолжение она имеет в дальнейшем.

Заключение

Целью выпускной квалификационной работы было рассмотреть изучение линии рациональных и иррациональных неравенств, на основе данных анализа допущенных ошибок при решении ЕГЭ, где встречаются данные неравенства, разработать план-конспекты уроков.

При написании дипломной работы, мною исследована линия изучения неравенств в учебниках математики и алгебры. Также приведены аргументы того, что пропедевтикой изучения данной темы, является именно знакомство с уравнениями. Для того чтобы, ученики правильно умели решать неравенства, им надо научиться решать и уравнения. Также в первой главе говорится и о важности нашей темы, так как она может встретиться и в других областях математики.

Как показывает практика, к сожалению, неравенствам уделено, в школьном курсе, мало времени. Именно поэтому многие ученики и не справляются с решением неравенств в ЕГЭ. Если посмотреть статистику, какое количество человек набирают максимальные баллы за задание 15 ,то, можно увидеть, что по всей России всего 11% из 100 %. Обо всем этом подробно рассказано во второй главе диплома.

В третьей главе, на основе проведенных исследований, были разработаны план-конспекты уроков. Учитель может скачать эти конспекты, если зайдет на образовательный ресурс, там они находятся в свободном доступе. Где конкретно

Таким образом, можно сказать, что поставленные задачи были решены, а цель достигнута в полной мере. На основе моих исследований учитель может научить решать учеников на ненулевые баллы ЕГЭ.

Список литературы

1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш. А. Алимов – М.: Просвещение, 1993. – 254 с.

2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / М. И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В. Г. Болтянский – Литва: Альфа, 1996. – 637 с.

4. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.

5. Галицкий М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М. Л. Галицкий – М.: Просвещение, 1999. – 271с.

6. Григорьев А. М. Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С. 46-49.

7. Денищева Л. О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О. Денищева – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.

8. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.

9. Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002. – №5. – С. 9-13.

10. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

11. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

12. Мордкович А. Г. Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А. Г. Мордкович // Квант – 1970. – №5. – С. 48-51.

13. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / А. Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 1991. – 320 с.

14. Кузнецова Г. М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы [Текст] / Г. М. Кузнецова – М.: Дрофа, 2004 – 320 с.

15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ [Текст] / М. Потапов // Математика. Первое сентября – 2003. – №21. – С. 42-43.

16. Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь – Ростов на Дону: Феникс, 2003. – 352 с.

17. Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

18. Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. [Текст] / М. Шабунин // Математика. Первое сентября – 1996. – №24. – С. 24.

19. Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.

20. Моденов В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В. П. Моденов // Математика в школе – 1970. – №6. – С. 32-35.

21. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 236 с.

22. http://www.c**rier.com.ru

23. http://www.5**llov.ru.

24. Шарова Л. И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.

25. Олейних…

26. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №17. – С. 13-14.

27. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

28. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.