«ОБУЧЕНИЕ МЕТОДАМ РАБОТЫ С ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМАМИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКЕ» - ВКР

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ 6

§ 1. Понятие теоремы. Строение математических теорем 6

§ 2. Методы доказательства математических теорем 12

§3. Методика обучения доказательству теорем. Общие приемы работы с теоремами 26

§4. Методика организации работы с теоремами при изучении курса геометрии в средней школе 31

Выводы по главе I 35

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАБОТЫ С ТЕОРЕМАМИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В 7-9 КЛАССАХ 37

§1. Первый признак равенства треугольников 37

План-конспект урока №1 в 7классе 37

Поэтапное решение задач 44

§2. Сумма углов треугольника 48

План-конспект урока №2 в 7классе 48

Поэтапное решение задач 56

§3. Теорема Пифагора 58

План-конспект урока №3 в 8 классе 58

Поэтапное решение задач 65

§4. Самостоятельная работа 65

Самостоятельная работа в 7 классе 65

Самостоятельная работа в 8 классе 66

Результаты самостоятельной работы 66

Выводы по главе II 68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 69

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ 71

ПРИЛОЖЕНИЯ 75

---

Введение

Актуальность темы определяется тем, что в математике, в отличие от любой другой науки, есть такие понятия, как теорема и доказательство. Изучение теорем и обучение доказательству теорем нуждается в детальном рассмотрении. Известно, что учащиеся формально заучивают теорему и ее доказательство, не понимая его логического смысла. Дополнительным вопросом учитель может выявить такое непонимание ученика, который как будто бы правильно доказал теорему. Формальное заучивание доказательства проявляется в затруднениях, которые испытывают школьники, если немного изменить, иначе расположить чертеж. Связь между теоремами остается при этом невыясненной; представление о том, что совокупность теорем представляет собою некоторую систему, которая служит для изучения часто встречающихся математических объектов, обычно отсутствует.

Ученик иногда запоминает сочетания слов, которые от него часто требуют при обоснованиях, но при проверке можно обнаружить, что он говорит эти слова механически. Например, говорит: «В треугольнике против равных сторон лежат равные углы», не понимая, что это утверждение применимо только к равным треугольникам. Иногда, ученик, доказавший теорему, не может указать на чертеже те элементы, о которых он говорил при доказательстве. Доказывать, обосновывать свою точку зрения необходимо уметь каждому культурному человеку не только в математике, но и в жизни вообще. Обучая доказывать ту или другую теорему, учитель в качестве главной цели выдвигает развитие математического мышления учащихся, в частности развитие творческого и логического мышления.

Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых – математиков и педагогов. Вопросами доказательства теорем занимались Е. Ф. Данилова, В. А. Далингер, Лященко, И. С. Градштейн и мн. другие.

Роль теоремы и еѐ доказательства в обучении математике многообразна:

- теорема и ее доказательство вооружает учащихся математическими фактами, которые используются при изложении дальнейшего теоретического материала и в решении разнообразных задач;

- доказательство развивает навыки логических рассуждений (неосознанного использования законов логики и правил вывода, умения различать прямую и обратную теорему, необходимые и достаточные условия, формулировать предложения в различных формах и т.д.);

- доказательство приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений и дает возможность осознать дедуктивный характер математики;

- в ходе изучения теорем у учащихся развиваются умения проводить их доказательство, выделять условие и заключение, в которых оно доказывается, расчленять рассуждения на отдельные логические шаги и обосновывать каждый шаг, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, формируются умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математических ситуаций и др.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем способствует сознательному и глубокому изучению учащимися математики в продолжение всего периода обучения.

Сформулируем проблему исследования: какую роль играет методика введения теорем и обучения доказательству теорем на уроках геометрии в средних классах?

Цель исследования: используя учебно-методическую литературу, рассмотреть методику введения теорем, раскрыть методические особенности обучения учащихся доказательству теорем в курсе математики средней школы.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика введения теорем и обучения их доказательству.

Задачи исследования:

1. Изучить учебно-методическую литературу на данную тему исследовательской работы;

2. Раскрыть сущность понятия «теорема»;

3. Выявить основные методы доказательства теорем;

4. Показать основные приемы работы с теоремами;

5. Провести занятия, применяя методику работы с некоторыми теоремами из курса геометрии 7-9 классов;

6. Сделать выводы о результативности методики обучения доказательству теорем.

Гипотеза исследования приобретает следующую формулировку: использование различной методики введения теорем, повышает уровень знаний, умений и навыков обучающихся, что в дальнейшем будет способствовать хорошему пониманию, умению доказывать теоремы.

Теоретическая значимость заключается в выводе, который позволяет судить о значимости правильного введения теорем и методики обучения доказательству теорем в средней школе.

Практическая значимость заключается в разработке, на основе научной литературы, наиболее рациональной и эффективной методики введения обучения доказательству теорем на уроках геометрии для обучающихся средних классов, которая поможет учителям повысить интерес и успеваемость в классе.

Структура исследования содержит работу, состоящую из введения, двух глав - теоретическая и практическая значимость темы исследования, заключения и списка литературы.

Данная исследовательская работа будет полезна для студентов и преподавателей педагогических ВУЗов.

---

Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

§ 1. Понятие теоремы. Строение математических теорем

Каждый изучающий алгебру и геометрию сталкивался в них с предложениями, которые называются теоремами. Такие предложения носят самый разнообразный характер. Приведем пример теоремы: «Точка касания двух окружностей лежит на прямой, которая соединяет их центры». В этой теореме говорится о том, как располагаются три точки - два центра и точка касания – при некотором определенном расположении окружностей (при условии их касания). Изучая элементарную математику и геометрию можно заметить, как все теоремы выводятся последовательно путем доказательств (рассуждений, логических умозаключений) из нескольких положений, называемых аксиомами. Аксиомы – это предложения, которые принимаются без доказательств. Приведем пример аксиомы: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». Часто говорят, что аксиомы - это

«очевидные истины». В математике кроме теорем и аксиом, также встречаются предложения, называемыми определениями. В определении указываются те основные свойства некоторого математического объекта (например, окружности, логарифмов), которые выделяют его из среды других объектов. Следствиями называются предложения, которые составляют непосредственный вывод из аксиомы или из теоремы. Например, из аксиомы:

«через две точки можно провести только одну прямую», следует, что «две прямые могут пересечься только в одной точке».

Исследуя свойства различных математических объектов (например, линий, поверхностей и тел - в геометрии: сумм, произведений, степеней и т.п.- в арифметике и алгебре) мы приходим к тем или иным заключениям. Эти заключения, выведенные из аксиом и определений, формулируются обычно в виде предложений, называемые теоремами.

Итак, все истины, которые устанавливаются в геометрии, выражаются в виде предложений. Эти предложения бывают следующих видов: определения, аксиомы, теоремы, следствия.

В средней школе в курсе математики формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: из одного условия вытекают одно заключение – это один вид теорем, в других – из одного условия вытекает несколько заключений, в третьих – из нескольких условий вытекает одно заключение.

Неизменным остается одно любая теорема содержит три части:

1) Разъяснительную, где описывается множество М объектов, о которых идет речь в этой теореме;

2) Условие теоремы- некоторый предикат А, заданный на множестве М;

3) Заключение теоремы- то, что требуется доказать, т.е. некоторый предикат В, заданный на множестве М.

В теореме должно быть указано: во-первых, при каких условиях в ней рассматривается тот или иной объект и, во-вторых, что об этом объекте утверждается. В условии теоремы указываются те условия, при которых верно утверждение, содержащееся в заключении теоремы. Например, в теореме «во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы» объектом являются углы треугольника, а условием - лежащие против них стороны равны, утверждением – эти углы равны. Также мы можем заметить, что любую теорему можно подробно выразить так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение – словом «то». Например, теорему:

«вертикальные углы равны», можно подробнее высказать так: «если два угла вертикальные, то они равны».

При изучении математических объектов важны не только и не столько отдельные теоремы, сколько их совокупность – система теорем. Система геометрических теорем дает нам представление о свойствах различных фигур, а также линий и поверхностей, составляющих часть этих фигур или же имеющих к ним то или иное отношение. Так, мы изучаем сначала некоторые соотношения углов и сторон в треугольнике, условия равенства и неравенства, свойства (например, взаимное расположение) различных линий в треугольнике (биссектрисы, медианы). Затем переходим к изучению различных видов четырехугольников, потом изучаем окружности и различные линии в них и вне них.

---

Заключение

В данной дипломной работе на тему «Обучение методам работы с прямой и обратной теоремами в курсе математики.», были освещены вопросы, касающиеся основных понятий темы, формулировок теорем и основные методы доказательства теорем.

Цель исследовательской работы заключалась в изучении методики введения теорем, раскрытии методических особенностей обучения учащихся доказательству теорем в курсе математики средней школы.

Работа состоит из двух основных глав – теоретической, где рассмотрели понятие теоремы, строение математических теорем, виды теорем, методы доказательства теорем, а также практической части, где были разработаны конспекты уроков, рассмотрены поэтапное решение задач и проведена апробация в МОБУ СОШ с. Новофедоровское Стерлитамакского района по выявлению затруднений в усвоении теоремы и его доказательства при решении задач.

В главе I ознакомились с видами теорем: прямая, противоположная, обратная и противоположная обратной. Убедились в справедливости всех четырех теорем, что не нужно доказывать каждую из них отдельно, а достаточно ограничиться доказательством только двух: прямой и обратной, или прямой и противоположной. В связи с этим в любом курсе математики встречаются лишь прямая и обратная теоремы.

Рассмотрели методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, выделили по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное) и по математическому аппарату, используемому в доказательстве. Разобрали на примерах основные методы доказательства теорем. Каждый из рассмотренных методов обладает как достоинствами, так и недостатками. Поэтому ни один из них не может быть рекомендован в качестве универсального и единственного.

Рассмотрели работу по обучению доказательству теорем, применяя частично-поисковый метод обучения. Задача учителя при применении частично-поискового метода - научить учеников самостоятельно применять знания, вести поиск новых. Этот метод применяется при опоре на уже имеющиеся у учащихся знания и умения. Чаще всего метод реализуется с помощью проблемных, творческих заданий, способ выполнения которых учащимся неизвестен.

Существуют различные методики введения и ознакомления учащихся с теоремами, применяют два метода: конкретно-индуктивный и абстрактно дедуктивный. Выбор метода введения теоремы должен быть нацелен на оптимизацию системы методов обучения. При этом необходимо учитывать кроме временных затрат еще и результаты обучения. Следует иметь ввиду, что применение конкретно-индуктивного метода часто не требует дополнительных затрат времени по сравнению с абстрактно-дедуктивным методом.

В главе II представлены план-конспекты уроков для 7 класса на темы «Сумма углов треугольника», «Первый признак равенства треугольников» и для 8 класса на тему «Теорема Пифагора».

Провели апробацию в виде самостоятельной работы, что помогло понять, насколько учащиеся усвоили теорему и методику обучения доказательству теорем, также какие затруднения все еще возникают. Результаты проведенной самостоятельной работы, были хорошими – большинство учащихся справились с работой.

Показали, что для усвоения теоремы и ее доказательства лучшим путем является применение анализа и привлечение учащихся к отысканию путей доказательства теоремы. Решение системы задач, позволяет ученику самостоятельно находить путь к доказательству теоремы, способствует наилучшей актуализации знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для успешного доказательства теоремы, активизирует учебную деятельность дома и на уроке, придает ей практическую направленность и создает предпосылки для оптимального усвоения новой теоремы.

Таким образом, цель и задачи достигнуты, гипотеза подтверждена.

---

Список литературы

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. геометрия: Учебн. пособие для студентов вузов – М.:Наука, 1990-672 с.: ил. ISBN 5-02-014336-7.

2. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2017. - 384 с.

3. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах: Книга для учителя/ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др., М.: Просвещение, 2016 . – 255с.

4. Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач: учеб пособие для математических факультетов пединститутов – Минск изд. «Высшая школа», 1969. – 234 с.

5. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие/ Л.В. Виноградова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

6. Гастева С.А., Крельштейн Б.И., Ляпин С.Е., Шидловская М.М. Методика преподавания математики в восьмилетней школе: кн. для учителя / под общей редакцией С.Е. Ляпина. – М.: Просвещение, 1965. – 743 с.

7. Грандштейн И.С. Прямая и обратная теоремы- 5-е изд., Издательство «Наука». - М. 1972.-128 с.

8. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.— 95 с.

9. Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей / В. А. Гусев, В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1992.— 352 с.

10. Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В. А. Далингер.— М. : Просвещение, 2006.— 256 с.

11. Далингер В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством и закреплением теоремы: кн. для учителя / В.А. Далингер. – Изд-во: ОмИПКРО, 1995. – 198 с.

12. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1961. – 143 с.

13. Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах: Ред. А.Т. Цветков, А.П. Колесникова, 3-е изд., Москва Физматгиз, 1961 – 72 с.

14. Жохов В.И. Геометрия. Поурочные разработки. 7-9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций/ В.И. Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева.- 5-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 240 с.: ил. - ISBN 978-5-09- 043032-6.

15. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. И. Игошин. — 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с.

16. Катуржевская О.В. Методика преподавания математики: учебно- методическое пособие/ О.В. Катуржевская. – Армавар: РИО АГПУ, 2016. – 140с.

17. Киселев А.П. Геометрия./ под ред и с дополнениями проф. Н.А. Глаголева: Ч 1. Планиметрия, Учпедгиз. Москва, 1962.- 184 с.

18. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студентов физ.-мат.фак. пед. институтов. — М.: Просвещение, 1975. — 462 с.

19. Лебедева С.В. Современные формы и средства обучения математике: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению - Педагогическое образование (профиль подготовки – Математическое образование) / С.В. Лебедева. – Саратов, 2014. – 131 с.

20. Лихачев Б.Т. Педагогика: Курс лекций: учеб. пособие для студентов педагог, учеб. заведений и слушателей ИПК и ФПК. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Юрайт-М. –2001. – 505 с.

21. Лященко Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко [и др.] ; под. ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988. — 223 с.

22. Малова И.Е. теория и методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов вузов/ И.Е. Малова [и др.].- М.:Гуманитар. изд. центр Владос, 2009. - 445с. ISBN 978-5-691-01527-4.

23. Мишин В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

24. Моисеева Е.П. Геометрия 7 класс: поурочные планы по учебнику А.В. Погорелова/ авт. –сост. Моисеева Е.П. – Волгоград: Учитель, 2006. – 122с. ISBN 5-7057-0941-2.

25. Новик И.А. Практикум по методике обучения математике / И.А. Новик. – М.: Дрофа, 2008. – 240 с.

26. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. учеб. для общеобразоват. учреждений – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 240 с.

27. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. Планиметрия: учеб. пособие для вузов, М.: изд. «Наука», 1969. – 128 с.

28. Погорелов А.В. Основания геометрии.: 4-е изд. учеб. пособие для студентов матем. спец. вузов, М.: изд. «Наука», 1979. – 152 с.

29. Подласый И.П. Педагогика: 100 вопросов – 100 ответов: учебное пособие для вузов / И.П. Подласый. – М.: ВЛАДОС-пресс, 2004. – 365 с.

30. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики: пособие для пед. институтов, Москва, Учпедгиз, 1958.- 223 с.

31. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч./ Рогановский Н.М., Рогановская Е.Н. – Могилев: УО «МГУ им. А.А. Куллешова», 2010.- Ч.1: Общие основы методики преподавания математики(общая методика).-312с. .: ил. – ISBN 978-985-480- 675-4.

32. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч./ Рогановский Н.М., Рогановская Е.Н. – Могилев: УО «МГУ им. А.А. Куллешова», 2010.- Ч.2 Специальные основы методики преподавания математики (частные методики)., 2011. – 388 с.: ил. – ISBN 978-985-480-675-4.

33. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов/ Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с. : ил. – ISBN 5-09-008650-8.

34. Саранцев Г.И. обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2000. – 173 с.

35. Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – 2-е изд., стер. – М.: Дрофа, 2008. – 128 с.

36. Степанова Н. Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/ под научн. ред. Н.Л. Степановой, Н.С. Подходовой. – 2-е изд, испр. – М.: Дрофа, 2008.- 415с.: ил. – ISBN 978-5-538- 05567-4

37. Талызина Н.Ф. Формирование приемов математического мышления, ТОО «Вента-Граф» Москва, 1995. — 224 с.

38. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: учебник для вузов/ под ред. Алесеева И.С. - изд. Владос, 2003 - 173 с.

39. Харитонова И.В. Методы обучения и научные методы в преподавании математики / И.В. Харитонова // Вестник Мордовского университета. – 2008. – № 3. 274 с.

40. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7—9 кл. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.

---