«Асимптотическое разложение решения одномерной краевой задачи дирихле с быстроосциллирующимся потенциалом» - Дипломная работа

Важность асимптотических рядов в теории дифференциальных уравнений было ясно осознана математиками во второй половине девятнадцатого столетия и значительная часть современной асимптотической теории была создана именно тогда. Понятие асимптотическое разложение и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре в 1886 году в связи с задачами небесной механики. Частные случаи асимптотических разложений были открыты Стирлингом, Маклореном, Эйлером и применялись еще в 18 столетии. Дальнейшее развитие они получили в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Тем не менее книги, посвященные специально асимптотическим методам, начали появляться только в 60-х годах нашего столетия. Только в последнее время стало ясно, насколько важны асимптотические ряды для понимания структуры решений дифференциальных уравнений.

Довольно широкое распространение получила мысль о том, что асимптотические исследования состоят из двух частей:

1. Построение асимптотики. Для этого надо определить вид, в котором следует искать формальное асимптотическое разложение решения. Далее следует указать способ построения формального асимптотического разложения.

2. Обоснование построенной асимптотики, т.е. доказательство того, что построенное формальное асимптотическое разложение действительно является асимптотическим разложением решения поставленной задачи. При том устанавливается оценка разности между истинным решением и частичными суммами формального асимптотического разложения.

Данная работа посвящена исследованию асимптотического разложения решения одномерной краевой задачи Дирихле с быстроосциллирующимся потенциалом.

Определение и основные свойства асимптотических разложений*

Пусть функция определена на множестве М, имеющем предельную точку а, и пусть в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Последовательность называется асимптотической при если при любом целом

.

Пример. Рассмотрим последовательность . Она является асимптотической, при . Действительно,

.

Определение 2. Ряд

называется асимптотическим если его члены представляют собой асимптотическую последовательность, при .

Определение 3. Пусть а – предельная точка множества М, –асимптотическая последовательность при – определена на множестве М. Будем говорить, что функция разлагается в асимптотический ряд и писать

где – постоянные, если для любого целого выполняется равенство при .

* А. Эрдейи. Асимптотические разложения

Ряд (1) называется асимптотическим разложением функции по асимптотической последовательности . Сформулируем основные свойства асимптотических рядов.

Постановка задачи

В работе рассматривается краевая задача

(1)

где , , – произвольная функция из , – бесконечно дифференцируемая периодическая функция с периодом Т=1. В работе предполагается, что

(2)

Целью данной работы является построение асимптотического разложения задачи (1) по малому параметру.

Построение формального асимптотического решения по малому параметру

Решение ищется на основе метода двух масштабного асимптотических разложений* в виде формального асимптотического ряда

, (3)

где x есть переменная, а .

Пусть , найдем :

. (4)

Так как , найдем производную , следовательно (4) перепишется в виде:

.

Обозначим , тогда

,

то есть,

.

Подставляя найденное в (1), получим

* А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин, А.С. Шамаев. Усреднение. (методы и некоторые приложения) Новосибирск, изд. «Тамара Рошковская» 2004 г.

(5)

Решение будем искать в виде асимптотического ряда (3). Подставим это разложение в уравнение.

Группируем слагаемые при одинаковых степенях , получаем

Приравнивая слагаемые при соответствующих степенях , имеем

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Основополагающим предположением здесь является предположение о независимость переменных и . Будем рассматривать эти уравнения, как рекуррентную последовательность дифференциальных уравнений.

Уравнение (6) даёт:

Обозначим через .

Применим данный интеграл к обеим частям.

Отсюда следует, что , тогда не зависит от , то есть .

Из уравнения (7)

уравнение , тогда последнее уравнение перепишется в виде

Следовательно,

. (11)

Интегрируя последнее уравнение по переменной , получаем

тогда . Подставляя полученное выражение в (11), видим, что

значит , следовательно, не зависит от , т.е., .

Из уравнения (8) мы видим

уравнение , тогда полученное выражение примет вид

(12)

Записывая необходимые условия разрешимости для задачи в пространстве периодических функций, состоящее в том, что интеграл по периоду от правой части равен нулю и учитывая, что не зависит от , а , получаем равенство

(13)

Так как интеграл от правой части, уравнения (12), равен нулю, то следует, что , следовательно, .

Таким образом, если функция является решением уравнения (13), то задача (8) – разрешима в классе 1-периодческих по функций, и разложение (3) формально удовлетворяет задаче с точностью до слагаемых порядка .

Построение асимптотического решения по малому параметру

Из доказанного ранее имеем, что функция является решением уравнения (13), то задача (8) – разрешима в классе 1-периодческих по функций, и разложение (3) формально удовлетворяет задаче с точностью до слагаемых порядка .

Уравнение (13) имеет бесконечно много решений, для этого существует краевые условия , тогда

имеет одно единственное решение

,

где , – константа

, (14)

так как , имеем

Следовательно ;

или

Учитывая этот факт и , перепишем задачу (14)

– первый член асимптотического разложения.

Учитывая условие (13) перепишем уравнение (12)

, (15)

Обозначим через

, (16)

Учитывая это обозначение, перепишем задачу (15) в виде:

Рассмотрим двойной интеграл полученного выражения по переменной , получим:

,

(17)

Найдем, из уравнения (16),

Интегрируя это выражение, найдем:

, (18)

где , – константы.

Так как , имеем

.

С учетом полученного выражения перепишем уравнение (18):

. (19)

Из уравнения (9)

Интегрируя последнее уравнение по переменной , получим:

. (20)

Рассматривая уравнение (20) с учетом краевых условий , получим:

,

,

,

,

Следовательно , учитывая этот факт, получим

.

– второй член асимптотического разложения.

Из уравнения (10)

,

Интегрируя последнее выражение, получим

С учетом (19), перепишем последнее уравнение:

.

Так как определена с точностью до константы, тогда мы можем взять такую константу, что , то, с учетом краевых условий, получим:

(21)

Интегрируя уравнение (21) получим:

,

,

Следовательно , учитывая этот факт, получим , тогда уравнение (17) выглядит так:

.

– третий член асимптотического разложения.

Подставляя найденные члены разложения в формулу (3), получим искомое асимптотическое разложение:

,

где