«Ответы по Математике для менеджеров СПбГУ 2012/2013» - Шпаргалка

Содержание

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.

1. Определение вектора. Операции с векторами. Геометрическая интерпретация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.

2. Понятие системы координат. Декартова система координат. Примеры. Размерность и базис арифметического пространства. Метрика.

3. Координатные представления операций скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Вывод условий коллинеарности и компланарности векторов.

4. Матрицы. Определение. Числовые характеристики. Алгебраические операции. Транспонирование.

5. Квадратные матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие определителя. Вычисление определителя квадратной матрицы любой размерности.

6. Операция обращения квадратных матриц. Необходимые и достаточные условия ее выполнения. Алгоритм вычисления элементов обратной матрицы.

7. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Понятие решения.

8. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Необходимые и достаточные условия его применения.

9. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Условия применимости.

10. Ранг матрицы произвольной размерности. Элементарные операции, не приводящие к изменению ранга.

11. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.(Формулировка).

12. Теорема о решениях совместной системы линейных уравнений. (Формулировка).

13. Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений. (Алгоритм. Прямой и обратный ходы).

14. Однородные системы линейных уравнений. Построение фундаментальной системы решений.

15. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Алгоритм вычисления.

Пределы числовой последовательности и функции.

16. Понятие функции. Определение. Область определения, область допустимых значений функции. Способы задания. Суперпозиция функций. Понятие обратной функции. Примеры.

17. Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции.

18. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).

19. Арифметические операции с последовательностями, имеющими пределы (доказательство).

20. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой (доказательство).

21. Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.

22. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).

23. Понятие предела функции в точке. Определения на языке последовательностей и на языке έ – δ.

24. Односторонние пределы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке (доказательство).

25. Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими пределы (доказательства).

26. Связь понятий предела функции в точке и бесконечно малой функции (доказательство).

27. Пределы монотонных ограниченных функций.

28. Определение непрерывности функции в точке и в области. Классификация разрывов функций.

29. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль на замкнутом интервале (Больцано-Коши) (доказательство).

30. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на замкнутом интервале (Больцано-Коши).

31. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования обратной функции.

32. Теоремы об области значений и о наибольшем и наименьшем значениях функции, непрерывной на замкнутом интервале (Вейерштрасс).

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

33. Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной.

34. Односторонние производные функций. Теорема о существовании производной в точке. (доказательство).

35. Правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций (доказательства).

36. Вывод формул вычисления производной сложной функции и обратной функции (доказательства).

37. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка (доказательство)

38. Теорема о связи дифференцируемости функции и существовании производной (доказательство).

39. Теорема Ферма (об обращении производной в нуль). Графическая интерпретация.

40. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Геометрическая интерпретация.

41. Вывод формулы Маклорена для полинома.

42. Формула Тейлора для гладкой функции. Представления остаточного члена.

43. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции (доказательство с использованием формулы Лагранжа или двучленной формулы Тейлора).

44. Необходимые и достаточные условия локального экстремума непрерывной функции (доказательства для максимума и минимума с использованием трехчленной формулы Тейлора).

45. Теоремы о выпуклости (вогнутости) графика непрерывной функции. Точки перегиба. (доказательство с использованием трехчленной формулы Тейлора).

Функции многих переменных.

47. Понятие функции многих независимых переменных. Область ее определения.

Связные и несвязные области. Метрика n-мерного пространства. Определения.

48. Окрестность точки в n-мерном пространстве. Понятие предела функции в

точке и области. Определения.

49. Частные и повторные пределы. Теорема о повторных пределах для функции двух

независимых переменных. Определения и формулировка.

50. Определение непрерывности функции многих переменных в точке и области.

Формулировки теорем Вейерштрасса для замкнутой односвязной области.

51. Частные производные функций многих переменных. Формула для вычисления

полного дифференциала n-го порядка.

52. Необходимые и достаточные условия максимума и минимума для функции

двух независимых переменных.

53. Понятие условного экстремума функций многих переменных. Метод Лагранжа

отыскания стационарных точек.

Неопределенный интеграл.

54. Определение первообразной функции. Теорема о числе первообразных.

Доказательство.

55. Неопределенный интеграл. Определение и свойства.

56. Вычисление площади области под графиком функции. Вывод формулы

Ньютона- Лейбница.

57. Вывод основных правил интегрирования.

58. Вывод формул замены переменной и интегрирования по частям в

неопределенном интеграле.

Числовые и функциональные ряды.

59. Понятие числового ряда. Частичные суммы. Определение сходимости ряда.

60. Арифметические свойства сходящихся рядов. Формулировка и доказательство

Необходимого условия сходимости числового ряда.

61. Теоремы сравнения для положительных рядов. Доказательство одной из них.

62. Признаки Д'Аламбера и Коши сходимости положительных рядов. Доказать

теорему Коши.

63. Интегральный признак Коши. Формулировка. Вывод условий сходимости

гармонических рядов.

64. Определение абсолютной сходимости любого числового ряда. Теорема о связи

абсолютной сходимости и сходимости в обычном смысле.Доказательство.

65. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости таких рядов.

Доказательство.

66.Степенные ряды. Вывод формулы для радиуса сходимости степенного ряда

. Область сходимости и поведение ряда на ее границах.

Определенный интеграл.

67. Площадь фигуры под графиком функции. Интегральные суммы. Понятие

определенного интеграла.

68. Интегральные суммы Дарбу. Теорема о существовании определенного интеграла.

Доказательство для непрерывной подынтегральной функции.

69. Свойства определенного интеграла. Доказательство аддитивности определенного

интеграла по промежутку интегрирования.

70. Теорема о среднем значении определенного интеграла от непрерывной

функции. Доказательство.

71. Определенный интеграл от непрерывной функции с переменным верхним

пределом. Теорема о непрерывности. Доказательство.

72. Определенный интеграл от непрерывной функции с переменным верхним

пределом. Производная. Доказательство. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

73. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Вывод

формул.

74. Несобственные интегралы. Классификация и способы вычисления.

Дифференциальные уравнения.

75. Понятия дифференциального уравнения и его решения. Порядок

дифференциального уравнения. Общее, особое, частное решения.

76. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема

существования и единственности. (Формулировка).

77. Поле направлений. Изоклины. Семейство интегральных кривых уравнения

первого порядка.

78. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Построение

общего решения.

79. Однородные дифференциальные уравнения. Построение общего решения.

80. Линейные уравнения и уравнение Бернулли. Построение общего решения.

81. Уравнения в полных дифференциалах. Построение общего решения.

82. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Теорема

существования и единственности решения задачи Коши. (Формулировка).

83. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные

уравнения. Фундаментальная система решений и структура общего решения

однородного уравнения. Вид общего решения неоднородного уравнения.

84. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение. Метод Эйлера. Представление общего

решения.

85. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

для вещественных, комплексных и кратных корней характеристического

уравнения.

86. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа

вариации произвольных постоянных.

87. Метод неопределенных коэффициентов для построения частных решений

неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью

специального вида.

88. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами. Задача Коши. Теорема существования и единственности

решения.

89. Подстановка и матричный методы построения общего решения нормальной

системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с

постоянными коэффициентами.

Введение

Определение вектора. Операции с векторами. Геометрическая

интерпретация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,.Xn} вектор дан в n-

мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то АЇВ. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В.

2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/

n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

2) Понятие системы координат. Декартова система координат. Примеры. Размерность и базис арифметического пространства. Метрика. Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости(прямоугольная).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn. Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов пространства арифметических векторов Rn называется базисом в Rn

Заключение

58) Вывод формул замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном

интеграле.

Метод замены переменной. ∫fxdx=∫f(φ(t))φ'(t)dt. Найдем производные по переменной t от

левой и правой частей: (∫fxdx)'(производная по t)=(∫fxdx)'(производная по x'(производная по t)). (∫f(φ(t))φ'(t)dt)'(производная по t)=f(φ(t))φ'(t) Так как x=φ(t), то эти производные равны, поэтому по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части исходной формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Метод интегрирования по частям. Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала: d(uv) = vdu + udv или udv = d(uv) – vdu. Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая свойства неопределенного интеграла, получаем: ∫udv=uv-∫vdu

Список литературы

Математика для менеджеров. 2012/2013 учебный год, 1 курс, 1 семестр. Специализация: менеджмент.

Примечания

Ответы по Математике для менеджеров СПбГУ 20122013

Ответы