«Оценки решений краевой задачи для одного класса дифференциальных уравнений второго порядка» - Дипломная работа

Содержание

Введение…. 3

Глава I. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация дифференциальных уравнений второго порядка …. 5

1.2 Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру ….…. 7

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений…. 8

1.4 Теорема существования решения для эллиптических уравнений… 10

1.5 Критерий компактности …. 12

1.6 Теорема Лагранжа о конечных приращениях … 12

Глава II. Оценки решений краевой задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка

2.1 Постановка задачи …. 14

2.2 Доказательство существования и единственности решения краевой задачи … 15

2.3 Оценки решения краевой задачи …. 21

Заключение …. 27

Литература ….…. 28

Приложение (графики)….…. 29

Введение

Многие задачи математической физике приводятся к эллиптическим дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения второго порядка. Чтобы решить задачу прикладного характера для эллиптических уравнений, необходимо проделать некоторую самостоятельную работу. В процессе решения довольно часто обнаруживается, что рассматриваемая область неограниченна, или граница имеет угловые точки, или коэффициенты имеют особенности, или сама краевая задача носит необычный характер. Однако общая теория, часто может подсказать, какими методами необходимо воспользоваться для решения конкретной задачи.

В данной работе в области D = {(x, у), у > 1, x R} исследуется уравнение

(1)

где функция имеет оценку для некоторого  > 0 и достаточно большого N.

В работе ищется решение краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющее условию

u (x,1) = j(x), (2)

Целью данной работы является доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и нахождение наиболее точных его оценок. Главная трудность состоит в том, что эта краевая задача рассматривается в неограниченной области. Подобные задачи возникают при построении полного асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения диффузии, когда коэффициент диффузии мал. Такие уравнения в теории эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными в ограниченных областях исследованы. В данной работе используются некоторые из них, и показывается, что для краевой задачи справедлива теорема существования и единственности в классе ограниченных функций, которые стремятся к нулю при |x|   равномерно относительно y, в неограниченной области. Актуальность данной работы состоит в том, что такая задача возникает в приложениях.

Первая глава является теоретической, в ней излагаются основные теоремы, понятия и предложения, которые непосредственно используются при исследовании задачи (1), (2).

Во второй главе приводится доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и устанавливаются оценки решения.

Выдержка из текста работы

Глава I

Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Дифференциальные уравнения с двумя неизвестными

Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называются соотношения между неизвестной функцией и ( х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:

F (х, у, и, их ,иу, uxx, иху ,иуу) = 0

Будем пользоваться следующими обозначениями для производных:

Аналогично записываются уравнения и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху , иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных , :

(1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициент уравнения (1.1.2) не зависит от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

(1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения .

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

(1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

(1.1.5)

(1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной k и показателем , где   (0;1), на некотором множестве , если для любых двух точек х' и х" из этого множества ,

где - п-мерное евклидово пространство, .

- ограниченная область в Еп, то есть произвольно открытое связанное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре большого радиуса.

S - граница . Иногда мы будем обозначать ее через .

- замыкание , .

- класс (т - неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка т, непрерывные в G + Г.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций и из таких, что их производные порядка т удовлетворяют в G + Г условию Гельдера с показателем  ([7], гл. IV, § 7, стр. 330).

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений

Пусть коэффициент уравнения

(1.3.1)

и свободный член f(х,у) определены в ограниченной области  и принадлежат пространству . Уравнение (1.3.1) называется эллиптическим, если выполняется условие

(1.3.2)

([9], гл. 3, стр. 145).

Принцип максимума: Если функция и(х) удовлетворяет условию

М [u]  0, где

и принимает максимальное значение во внутренней точке, то и= const.

Следовательно, максимум любой функции и(х), непрерывной в G+ Г и удовлетворяющей условию М [u]  0 в G, достигается на границе G ([7], гл. IV, §2, стр. 324).

Следствие. Пусть функция и(х) удовлетворяет в G уравнению

(1.3.3)

Если и(х) достигает внутри области положительного максимума, то и=const. Следовательно, если функция и(х) непрерывна в G+Г, неположительная на Г и удовлетворяет условию L[u]  0 в G, то u  0 в G.

Для доказательства этого следствия предположим, что и(х) имеет положительный максимум во внутренней точке Р . Поскольку функция и(х) непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки Р; но в этой окрестности М[и = Lu - си  0 , так как с  0 и поэтому, в силу принципа максимума, и = const. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G.

С другой стороны, в силу непрерывности и(х), оно одновременно замкнуто в G и, следовательно, совпадает с G. Отсюда следует, что функция и(х) всюду в G равна некоторой положительной постоянной.

Из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяющая в G условию М (и)  0 , принимает максимальное значение в граничной точке.

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1.3.3.), (следовательно, и уравнения Lu= f ), принимающего заданные граничные значения и = на границе Г области G , но и для оценки функции и.

Справедлива следующая лемма.

Лемма. Если функция g(x) удовлетворяет условиям

в G и в Г,

то

|u|  g в G.

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительны. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция v(x) удовлетворяет условию

L [] = L [u] – L [g] = f – L [g]  0

и так как на границе  (x) = (x) — g(x)  О.

Аналогично доказывается, что - и(х) - g(x)  0.

Теперь мы построим такую функцию g(x), предполагая для удобства, что область G лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные т, b, что всюду в G выполняются неравенства:

.

Положим

причём в G, а  - положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла постоянным условиям. Ясно, что g  max||.

Кроме того, при достаточно больших  имеем

.

Выбор  зависит только от т и b.

Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.

Для решения уравнения (1.3.3), удовлетворяющего граничным условиям и=, справедлива оценка

(1.3.4)

где  - постоянная, зависящая только от т и b, а - постоянная, такая, что в G.

Заключение

В работе проведено подробное доказательство существования и единственности решения краевой задачи для (2.1.1), (2.1.2). Получены улучшенные оценки решения на бесконечности с использованием барьерной функции. В дальнейшем работа может быть продолжена и расширена. Большой интерес представляет подробное рассмотрение асимптотики данной задачи. Исследованию аналогичных задач посвящены работы [1], [2], [3].

Список литературы

[1] Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости. // Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № 2, стр. 287 – 294

[2] Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1997, т.33. № 11, стр.1552- 1554

[3] Ахметов Р.Г. Асимптотика задачи конвективной диффузии около сферы // ЖВМ и МФ, 1998, т. 38, №5, стр.801 – 806

[4] Ахметов Р.Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39, №4, с. 612-617.

[5] Берс Л., Шехтер М., Джон Ф. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.

[6] Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985, 336 с.

[7] Курант Рихорд. Уравнение с частными производными. — М. Мир, 1974.

[8] Курант Рихорд. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1,2— М. Мир, 1979.

[9] Ладыженская О.А., Уралцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М. Наука, 1977.

[10] Люстерник Л.А., Соболев В.А. Элементы функционального анализа. -М.: Мир, 1966.

[11] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М. Наука ,1965.