«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «Алгебра»» - Дипломная работа

Содержание

Введение….

1. Матрицы и определители…

1.1. Операции над матрицами….

1.1.1. Сложение матриц….

1.1.2. Вычитание матриц….….

1.1.3. Умножение матрицы на число….…

1.1.4. Умножение матриц….…

1.1.5. Транспонирование матриц….…

1.2. Определители квадратичных матриц.Перестановка….

1.3. Квадратная матрица второго порядка….

1.4. Миноры и алгебраические дополнения….….

1.5. Обратная матрица….…

1.6. Элементарные преобразования матриц….

1.7. Ранг матрицы….

1.8. Система линейных уравнений….…

1.9. Способы решения системы линейных уравнений….…

2. Векторное пространство….…

2.1. Векторы….….

2.2. Операции над векторами….….

2.2.1. Сложение векторов….…

2.2.2. Вычитание векторов….

2.2.3. Умножение вектора на число….

2.3. Линейная зависимость векторов….…

2.4. Свойства координат вектора….….

2.5. Система координат на плоскости. Координаты точки….….

2.6. Координаты вектора….…

2.7. Преобразование системы координат на плоскости….….

2.8. Деление отрезковв данном отношении ….….

2.9. Проекция вектора на ось….….

2.10. Произведения векторов….….

2.10.1. Скалярное произведение….….

2.10.2. Векторное произведение….….

2.10.3. Смешанное произведение….….

3. Прямая на плоскости….

3.1. Прямая на плоскости….

3.2. Различные уравнения прямой….

3.2.1. Уравнение прямойпроходящей через две точка….

3.2.2. Уравнение прямой в отрезках…

3.2.3. Уравнения прямойс угловым коэффициентом….

3.2.4. Общее уравнение прямой….

3.2.5. Исследование общего уравнения прямой….

3.2.6. Уравнения с нормальным вектором и точкой….

3.3. Расстояние от точки до прямой….

4. Кривые второго порядка и их канонические уравнения….….

4.1. Эллипс. ….

4.2. Гипербола….

4.3. Парабола….

5. Комплексные числа….

5.1. Алгебраическая форма комплексного числа….

5.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме….

Заключение….

Список литературы….

Введение

Цель дипломной работы формирование у студентов знаний по алгебре и геометрии на высоком теоретическом и практическом уровне, для дальнейшего продолжения обучения по этой специальности. В ней изложен подробный теоретический курс алгебры и геометрии за первый семестр для специальности "Прикладная математика и физика", включающий важнейшие определения, теоремы и формулы по темам, которые приводятся здесь.

Дипломная работа состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена матрицам и определителям. В ней рассматриваются различные операции над матрицами (сложение, вычитание, транспонирование, вычисление определителей квадратных матриц и т.д.). Также в этой главе рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений.

Во второй главе рассматриваются векторы, операции над ними, произведения векторов, преобразования систем координат на плоскости.

В третьей главе рассматриваются различные уравнения прямой на плоскости.

Четвертая глава посвящается кривым второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).

И в заключение, в пятой главе рассказывается о комплексных числах.

Выдержка из текста работы

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Матрицей называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

.

т.е. другими словами – это система чисел, записанных в определенном порядке в виде таблицы, каждый элемент матрицы имеет свое место означает, что стоит в i строке и j столбце. Матрица, у которой m строк

и n столбцов, называется прямоугольной матрицей.

Если же количество строк и столбцов совпадает (m=n), то матрица называется квадратной размерности m.

Матрица бывает строчная, состоящая из одной строки

.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцовая матрица

.

− квадратная матрица.

− составляют главную диагональ матрицы.

− вторая диагональ матрицы.

Квадратные матрицы бывают верхне треугольные и нижне треугольные.

− верхне треугольная матрица.

− нижне треугольная матрица.

Если в квадратной матрице все элементы, кроме главной диагонали равны 0, то такая матрица называется диагональной матрицей.

− диагональная матрица.

Е − квадратная диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1.

− единичная матрица.

1.1. Операции над матрицами.

1.1.1. Сложение матриц.

Матрица называется нулевой, если она целиком состоит из нулей. Обозначается О.

.

Замечание. Операция сложения матриц возможна только для матриц одинакового типа:

,

,

,

.

При сложении двух матриц складываются соответствующие элементы этих матриц.

Пример:

;

;

.

1.1.2. Вычитание матриц.

При вычитании двух матриц А-В соответствующие элементы вычитаются.

Пример:

;

;

.

1.1.3. Умножение матрицы на число.

Такая операция выполнима для любых матриц. При умножении матрицы А на число α все элементы матрицы А умножаются на это число.

α•А=С;

.

Свойства сложения и умножения матриц.

1) A, B, C − матрицы одинакового типа, тогда (А+В)+С=А+(В+С) − ассоциативность сложения.

2) А+В=В+А − коммутативность сложения матриц.

3) А+0=0+А=А в этом случае говорят, 0− нейтральный элемент

по сложению матрицы.

4) А+(−А)=0.

5) α(βА)= (αβ)А.

6) (α+β)А=αА+βА − дистрибутивность.

7) α(А+В)= αА+ αВ – дистрибутивность.

8) 1•А=А.

1.1.4. Умножение матриц.

Согласованные матрицы: две матрицы А и В называются согласованными, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы.

A(m•к);

B(к•р).

При умножении двух матриц А•В=С мы получим матрицу С типа (m•р),

,

элементы которой, определяются по формуле: , т.е. элемент – это сумма произведений соответствующих элементов i-ой строки первой матрицы, на элементы j-ого столбца второй матрицы.

Пример:

;

;

;

.

Свойства умножения матриц:

1) –не коммутативно.

Если матрицы А и В согласованы, то это вовсе не означает, что матрицы В и А согласованы.

Если же А и В квадратные одного и того же порядка, то коммутативность так же не выполняется в общем случае (следует из определения умножения матриц).

Если же АВ=ВА (в частном случае), то матрицы называются перестановочными.

2) – дистрибутивность.

3) – дистрибутивность.

4) – ассоциативность умножения матриц.

5) .

6) .

Для квадратных матриц, Е − единичная матрица (нейтральный элемент по умножению).

Заключение

В данной работе был изложен материал соответствующий учебной программе по дисциплинам «Алгебра и геометрия», который содержит теоретический материал по темам таким как:

1) Матрицы и определители.

2) Векторное пространство.

3) Прямая на плоскости.

4) Кривые второго порядка.

5) Комплексные числа.

Список литературы

1) Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979 – 559 с., ил. ББК 22.143 К90 УДК 512(075).

2) АтанасянЛ.С.Геометрия: в 2 ч. – Ч.1: учебное пособие / Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. – 2-е изд., стер. – М. : КНОРУС, 2011. – 400с. ISBN 978-5-406-01369-4(ч.1).