«Методическое обеспечение лекционных занятий по теме «линейная алгебра и векторные пространства»» - Дипломная работа

Содержание

Введение….

Часть I. Лекция 1. …

Тема 1. Матрицы ….….

1.1. Понятие матрицы, действия над матрицами….

1.2. Свойства операций умножения и сложения матриц….

Лекция 2…

1.3. Обратимые матрицы….

1.4. Элементарные матрицы….

1.5. Вычисление обратной матрицы….

Лекция 3,4,5….

Тема 2. Векторные системы….….

2.1. Определение векторного пространства….

2.2. Арифметическое n-мерное векторное пространства….

2.3. Линейная зависимость и независимость системы векторов….

2.4. Эквивалентные системы векторов….

2.5. Понятие базиса системы векторов….

2.6. Ранг конечной системы векторов…

Лекция 6,7 .….

2.7. Системы линейных уравнений (СЛУ) ….

2.8. Равносильные СЛУ. Элементарные преобразования систем уравнений….

2.9. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы….

2.10. Ступенчатые матрицы…

Лекция 8,9,10 .…

2.11. Метод Гаусса….

2.12. Критерий совместности неоднородной системы линейных уравнений (Теорема Кронекера-Капелли) …

2.13. Связь между решениями неоднородной с.л.у. и решениями ассоциированной с ней однородной с.л.у….

2.14. Теоремы о следствиях линейных уравнений….

Лекция 11,12 .….

2.15. Фундаментальная система решений о.с.л.у….

2.16. Понятие транспонированной матрицы….

2.17. Условия обратимости матрицы….

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Лекция 13,14,15…

Тема 3. Алгебры и алгебраические операции….….…

3.1. Бинарные операции. N-местные операции….

3.2. Нейтральные элементы, регулярные, симметричные….

3.3. Аддитивная и мультипликативная форма записи….

3.4. Понятие алгебры….

3.5. Гомоморфизмы алгебры….

Тема 4. Группы, кольца, поля….….

4.1. Понятие группы…

4.2. Понятие подгруппы….

4.3. Гомоморфизмы групп….

4.4. Кольца…

4.5. Простейшие свойства колец…

4.6. Критерий подкольца….

4.7. Поля…

Лекция 16 .….

4.8. Подстановки….

4.9. Четные и нечетные подстановки….

4.10. Знак подстановки…

Лекция 17,18,19…

Тема 5. Поле комплексных чисел….…

5.1. Комплексное расширение поля….

5.2. Поле комплексных чисел….

5.3. Понятие сопряженного числа….

5.4. Модуль комплексного числа….

5.5. Геометрическое представление комплексных чисел…

5.6. Тригонометрическая форма комплексного числа….

5.7. Корни n-й степени из 1….

5.8. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа….

Лекция 20,21,22 ….

Тема 6. Определители….

6.1. Определение определителя….

6.2. Свойства определителей….

6.3. Определители второго и третьего порядков….

6.4. Миноры и их алгебраические дополнения….

6.5. Вычисление определителей….

Лекция 23 ….….

6.6. Определитель произведения матриц….

6.7. Формула обратной матрицы…

Лекция 24 ….….

6.8. Правило Крамера….

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2….

Приложение 1. Определение системы натуральных чисел….

Приложение 2. Метод математической индукции….

Часть II . Лекция 25,26….

Тема 7. Векторное пространство над данным полем …

7.1. Определение векторного пространства ….

7.2. Свойства векторных пространств….

7.3. Понятие подпространства векторного пространства…

7.3.(а) Свойства подпространств…

7.3.(б) Линейная оболочка множества векторов. Понятие подпрост-ранства векторного пространства….….

7.4. Сумма подпространств…

7.5. Базис и размерность векторного пространства V над полем F…

7.6. Дополнение независимой системы векторов до базиса векторного пространства…

Лекция 27,28,29….

7.7. Размерность векторного пространства. Свойства размерности….

7.8. Связь между различными базисами векторного пространства…

7.9. Связь между координатами векторами вектора в различных базисах…

7.10. Изоморфизм векторных пространств….

7.11. Свойства изоморфизмов векторных пространств….

7.12. Векторные многообразия. Свойства…

7.13. Множество решений системы линейных уравнений как векторное многообразие…

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1…

Лекция 30,31,32….

Тема 8. Линейные отображения…

8.1. Определение линейного отображения…

8.2. Свойства линейных операторов….

8.3. Ядро и базис линейного оператора….

8.4. Операции над линейными операторами….

8.5. Матрица линейного оператора…

8.6. Связь между координатами вектора и его образа ….

8.7. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов….

Лекция 33,34,35….

8.8. Инвариантные подпространства линейного оператора…

8.9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора….

8.10. Способ нахождения собственных векторов…

8.11. Собственные подпространства….

8.12. Операторы с простым спектром…

8.13. Условия, при которых, матрица линейного оператора подобна диагональной…

Лекция 36,37…

8.14. Понятие о линейной алгебре…

8.15. Алгебра кватернионов как пример линейной алгебры….

8.16.Алгебра линейных операторов векторного пространства V над

полем F….…

8.17. Алгебра линейных операторов (End V) как пример линейной алгебры ….

8.18. Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.…

Лекция 38,39,40,41….

Тема 9. Евклидовы векторные пространства…

9.1. Векторные пространства со скалярным произведением….

9.2. Ортогональная система векторов…

9.3. Процесс ортогонализации…

9.4. Ортогональное дополнение к подпространству…

9.5. Евклидовы пространства….

9.6. Ортонормированный базис….

9.7. Изоморфизм евклидовых пространств. Свойства изоморфизмов евклидовых пространств….

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2…

Заключение….

Литература…

Введение

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине «Алгебра и теория чисел» и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу положены лекции, прочитанные студентам специальностей «Математика с дополнительной специальностью информатика», «Информатика».

Весь курс лекций разделен на две части, части на темы. А темы на параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, примерам и т.д. Некоторая часть материала предлагается для самостоятельного изучения студентами. Это несложные теоремы и следствия из теорем, не требующие сложных логических выводов. После каждой темы приведены примеры с решениями, а также предложены вопросы и упражнения для закрепления изучаемого материала.

В первой части по первой теме рассмотрены понятия матриц, действия над ними, свойства операций над матрицами, понятия обратимых и элементарных матриц. Во второй теме изучаются векторные пространства, линейная зависимость, независимость, понятия базиса и ранга системы векторов, системы линейных уравнений, ступенчатые матрицы, метод Гаусса. В третьей теме рассмотрены алгебры и алгебраические операции. В четвертой теме: группы, кольца, поля, подстановки. В пятой теме: поле комплексных чисел. В шестой теме рассмотрены определители. Во второй части, в седьмой теме описано векторное пространство над полем, в восьмой: линейные отображения, понятие о линейной алгебре, в девятой теме: евклидовы векторные пространства.

После каждой из частей приведены примерные варианты контрольных работ. Контрольные работы состоят из 15 вариантов. Курс лекций будет полезным и для преподавателей, ведущих практические занятия по данному курсу алгебры.

Выдержка из текста работы

Часть I

ЛЕКЦИЯ 1

Тема 1. Матрицы и определители

1.1. Понятие матрицы, действия над матрицами

Пусть нам дано поле действительных чисел R. Иногда его элементы называют скалярами. Рассмотрим таблицу, составленную из скаляров:

, (^)

Эта таблица прямоугольная, содержит m строк и n столбцов и ее будем называть матрицей размерности Кратко матрицу обозначают так:

Если m=n, то матрица называется квадратной.

Множество всех матриц над полем действительных чисел обозначим через .

i-ая строка матрицы A обозначается так:

k-й столбец обозначается: .

Рассмотрим квадратную матрицу E, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю, т. е. она имеет вид:

.

Определенную таким образом квадратную матрицу E размерности называют единичной матрицей n-го порядка.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пусть нам даны матрицы

Матрицы A и B равны, если их соответствующие элементы равны между собой (A=B, если ).

Под суммой двух матриц A и B размерностей будем понимать матрицу

. (1)

Нетрудно заметить, что можно складывать матрицы только одинаковой размерности; при сложении двух матриц их соответствующие элементы складываются.

Под произведением числа и матрицы будет пониматься матрица

. (2)

Из определения следует: чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Ясно, что A+(-1) A=0.

Рассмотрим матрицы:

Пусть

; .

Мы предположили, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Определим произведение i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B следующим образом:

(3)

Произведением матриц A и B называется матрица размерности , причем, (ik)-й элемент этой матрицы, который равен , определяется по формуле (3), т.е.

(4)

Видим, что .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Произведение матриц ассоциативно, т.е.

,

если существуют.

Доказательство: пусть произведения матриц существуют и Значит, произведения и существуют и они принадлежат .

Обозначим через , а . Запишем матрицы H и следующим образом: . Нам нужно показать, что . Рассмотрим

(5)

(6)

Из (5), (6) следует, что , а это означает, что матрицы Н и Н совпадают между собой.

Пример 1. Найти сумму матриц A и B, если

Решение: .

Пример 2. Найти 4A (матрица A та же).

Решение: .

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если

.

Решение: .

1.2. Свойства операций умножения и сложения матриц

Свойство 1. A+B=B+A.

Свойство 2. .

Свойство 3. .

Свойство 4. .

Свойство 5. .

Свойство 6. .

Свойство 7. .

Свойство 8. ,

где ; A,B,C - матрицы.

Доказательство:

1) Пусть

тогда (сложение действительных чисел коммутативно), значит и .

2) , если существует

следовательно, .

Свойства 3-5 доказываются аналогичным образом.

6) Пусть В этом случае матрицы существуют.

Пусть

Найдем и и покажем, что они равны между собой.

Заключение

Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций и монографии по алгебре и теории чисел, приведенные в списке литературы.

В результате проделанной работы был составлен обзор по курсу алгебры и теории чисел.

Работа содержит необходимый теоретический и практический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств, решенных примеров, контрольных работ.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу алгебры и теории чисел для студентов специальностей «Математика с дополнительной специальностью информатика», «Информатика».

Список литературы

[1]Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – Высшая школа, 1979.- 558c.

[2] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1972.

[3] Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

[4] Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел – Минск.: Высшая школа,1982.

[5]Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.

[6] Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.