«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу Евклидово пространство» - Дипломная работа

Содержание

Введение….…4

Глава 1. Общая теория кривых второго порядка….5

1.1 Общее уравнение кривой второго порядка….5

1.2 Инварианты кривой второго порядка….11

1.3 Асимптотические направления…16

1.4 Пересечение кривой с прямой….18

1.5 Касательная к кривой…20

1.6 Асимптота кривой второго порядка….…21

1.7 Диаметр кривой второго порядка….24

1.8 Центр кривой….25

1.9 Вид уравнения если начало координат совпадает с началом кривой….27

1.10 Вид уравнения если оси координат направлены по сопряженным направлениям относительно кривой….….27

1.11 Главные направления кривой второго порядка….28

1.12 Главные диаметры….….30

1.13 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью инвариантов….…33

Глава 2. Преобразование плоскости и пространства….36

2.1 Преобразование плоскости….36

2.2 Композиция отображений….…37

2.3 Линейное отображение….39

2.4 Изменение координат вектора при линейном отображении….39

2.5 Произведение преобразований….…45

2.6 Движение плоскости….….47

2.7 Формулы движений….48

2.8 Виды движений….49

2.9 Поворот. Вращение….53

2.10 Формулы поворота….54

2.11 Центральная симметрия….56

2.12 Осевая симметрия…58

2.13 Теоремы о композиции осевой симметрии….62

2.14 Классификация движений двух осевых симметрий….64

2.15 Группа движений.…67

2.16 Преобразование подобия. Гомотетия….70

Глава 3. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании….75

3.1 Параллельное проектирование….….76

3.2 Изображение плоских фигур….…74

3.3 Изображение пространственных фигур. Изображение многогранника.79

Заключение….87

Литература…88

Введение

Данное методическое пособие предназначено для студентов первого курса направления “Педагогическое образование”.

Цель преподавания курса геометрии в педагогическом университете для студентов направления "Педагогическое образование" состоит в том, чтобы сформировать в сознании будущего специалиста представление об основных понятиях и методах геометрии на высоком теоретическом и практическом уровне в соответствии с современной математической наукой.

В методическое пособие вошли следующие разделы: общая теория кривых второго порядка, преобразование плоскости и пространства, изображение плоских фигур при параллельном направлении.

В данном методическом пособии уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности, приложениям изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач.

Выдержка из текста работы

Глава 1. Общая теория кривых второго порядка

1.1Общее уравнение кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ɣ: (1)

Или, используя правило суммирования по Энштейну:

(1’)

i,j =1,2

=

- действительные числа

1. Приведение уравнения криво 2-го порядка к каноническому виду,с помощью преобразования системы координат.

Если система координат выбрана так, чтобы оси координат были направлены по осям симметриикривой, то уравнение кривой принимает канонический вид (рис. 1)

Рис.1

Если система координат выбрана произвольно (направление осей координат не совпадает с осями симметрии кривой, то уравнение кривой принимает общий вид (1)

Рис.2

Задача состоит в том, чтобы подобрать новую систему координат, оси, которой направлены по осям симметрии кривой (рис.2), а центр кривой совпадает с началом координат. И уже в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.

Зададим преобразование в системе координат в виде (2)(поворот на угол :

(2)

(2)→F(x,y)=

+

где

Приведем квадратичную часть уравнения кривой к каноническому виду.Другими словами, подберем такой угол , чтобы

k=tg

Дискриминант

для которого и уравнение кривой 2-го порядка примет вид:

Обозначим

Получим

Возможны следующие случаи:

I –центральныекривые

II , одно из – параболические кривые

Заметим, что оба одновременно не могут обращаться в нуль, т.к. квадратная часть обратится в нуль. Рассмотрим эти случаи подробно.

I Пусть

Выберем новое начало системы координат, так чтобы линейная часть уравнения обратилась в нуль.

(4)

Уравнение (4) подставляем в

+

Так какни одно из и не равны нулю, система имеет единственное решение.

Существует единственная точка новое начало системы координат, в котором уравнение кривой принимает вид:

где

Возможныследующие варианты:

- имеют одинаковые знаки

, уравнение приходит к виду

Если оба >0 приходим к уравнению

– каноническое уравнение эллипса.

Если оба , получим уравнение

- мнимый эллипс

Если , то уравнение принимает вид:

- пара пересекающихся комплексно сопряженных прямых.

б) Пусть

Уравнение кривой приводится к виду:

- каноническое уравнение гиперболы

Если , то мы приходим к уравнению

– пара действительных пересекающихся прямых

II Пусть дно из

,

Например,

Это уравнение можно записать в виде:

y=px2+qx+к – уравнение параболы

Если , то приходим к уравнению

получаем квадратное уравнение относительно

Пусть корни этого уравнения(действительные или комплексные) тогда уравнениекривой запишется в виде:

Парабола в этом случае распадается на пару параллельных прямых, если корни совпадают – на пару совпавших прямых.

Таким образом общее уравнение кривой 2-го порядка, с помощью преобразования системы координат всегда можно привести к каноническому виду.

Заключение

Весь раздел «Евклидово пространство» играет первостепенную роль в профессиональной подготовке будущего учителя. Позволяет более тесно связать курс геометрии с курсом методики преподавания математики и с программой педагогической практики студентов по специальности.

Студенты, овладевшие этим курсом, смогут в дальнейшем, будучи учителями, грамотно преподавать геометрию в средней школе, уверенно вести факультативные занятия по геометрии.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.I. – М.: – Изд-во КноРус, 2011.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. – М. Изд-во КноРус, 2011.

3. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1984.

4. C.Л. Атанасян, В.И. Глизбург. Сборник задач по геометрии, ч.I- Изд-во ЭКСМО, 2007.

5. C.Л. Атанасян, Н.В.Шевелева, В.Г.Покровский. Сборник задач по геометрии, ч.II- Изд-во ЭКСМО, 2008.

6. Сборник задач по геометрии / под редакцией Базылева В.Т. – М.: Просвещение, 1980.

7. Клетеник Д.В. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Физматгиз, 1970.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

2. Александров А.Д. Начало стереометрии. 9 кл.-М.: Наука, 1971.

3. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.1. – М.: Просвещение, 1973.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.II. – М.: Просвещение, 1973.

5. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: изд-во МГУ, 1955.

6. Бахвалов С.В. и др. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.

7. Парнасский И.В., Парнасская О.Е. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – М., Просвещение, 1978 г. – Учебное пособие по геометрии.