«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу» - Дипломная работа

Содержание

Введение. 5

Глава 1. Топологические пространства. 6

§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств. . . 6

§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии. . 7

§3. Структура открытых множеств и окрестностей. . . . . . . . 10

§4. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§5. Замыкание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§6. Внутренние точки, внутренние границы. . . . . . . . . . . . 14

§7. Сепарабельное топологические пространства . . . . . . . . . 16

§8. Индуцированная топология. Отделимые пространства. . . . 18

§9. Непрерывное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§10. Компактные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Глава 2. Свойства метрических пространств. 22

§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. 22

§2. Критерий полноты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

§3. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема

Хаусдорфа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§4. Отображение компактных множеств. . . . . . . . . . . . . . 31

§5. Критерий компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§6. Принцип сжимающих отображений и его применение. . . . . 36

§7. Теорема Бэра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Глава 3. Мера и измеримые множества. 41

§1. Измеримые множества. Мера. Системы множеств. . . . . . . 41

§2. Cистема множеств в евклидовом пространстве. . . . . . . . 42

§3. Функции множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§4. Мера и её простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве.

45

§5. Внешняя мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§6. Измеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§7. Сходимость почти всюду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§8. Сходимость по мере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§9. Единственность предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Глава 4. Интеграл Лебега. 60

§1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на

пространстве с конечной мерой. . . . . . . . . . . . . . . . 60

§2. Свойства интеграла( от ограниченных функций). . . . . . . 63

§3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае. . . . 67

§4. Предельный переход под знаком интеграла. . . . . . . . . . . 71

§5. Лемма Фату. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Глава 5. Нормированные и гильбертовы пространства. 75

§1. Нормированное линейное пространство. . . . . . . . . . . . . 75

§2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность.

Теорема Рисса локальной компактности. . . . . . . . . . . 77

§3. Гильбертово пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

§4. Ортогональность и ортогональное дополнение . . . . . . . . 79

§5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . 80

Глава 6. Линейные операторы в нормированных пространст-

вах. 83

§1. Линейные операторы, непрерывность, ограниченность. . . . 83

§2. Пространство всех линейных непрерывных операторов. . . . 85

§3. Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза. 86

§4. Обратные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§5. Замкнутый оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

§6. Теорема Банаха о замкнутом графике. . . . . . . . . . . . . 91

§7. Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

§8. Сопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§9. Самосопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Глава 7. Спектральная теория операторов. 100

§1. Вполне непрерывный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§2. Уравнения первого и второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . 101

§3. Альтернативы Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§4. Спектр и резольвента. Теорема Гильберта - Шмидта. . . . . 108

Заключение. 113

Литература 114

Введение

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине

"Функциональный анализ и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу положены лекции, прочитанные студентам специальностей "Прикладная математика и инфор-

матика". В работе изложены основные понятия, определения, свойства и теоремы, доказательства перечисленных выше разделов.

Для создания дипломной работы используется текстовый редактор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрасно смотрятся на печати; при печати получается текст типографического качества и т.д.

Весь курс лекций подразделен на семь глав, которые подразделяютсяна параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам. В первой главе рассматриваются топологические пространства. Во второй главе изучается свойства метрических пространств. Рассматриваются такие теоремы как: Теорема Хаусдорфа, теорема Бэра. В третьей главе изучаются мера и измеримые множества. В ней рассматриваются такие темы как: измеримые множества, мера, системы множе ств в евклидовом пространстве, внешняя мера, измеримые множества, сходимости, единственность предела. В четвертой главе изучается интеграл Лебега. В эту главу включены такие

темы как: интеграл Лебега, свойства интеграла Лебега, лемма Фату. В пятой главе рассматриваются нормированные и гильбертовы пространства.

В шестой главе линейные операторы в нормированных пространствах. В седьмой главе рассматривается спектральная теория операторов.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств.

В курсе функциональный анализ будут рассматриваться множества чисел, множества точек, множества линий, множества функций и т.п.

Множества обозначаются большими буквами A,B,C,M и т.д. Объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Мы будем обозначать их малыми буквами: a, b, c. Запись a ∈ A означает, что a есть элемент множества A. Запись ∅ – пустое множество. Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A называют подмножеством

множества B. Запись ∪

A - объединение множеств. Запись ∩

A - пересечение множеств. Запись ∞Σn=1

An - дизъюнктное объединение множеств.

Отображением φ множества M1 в множество M2 обозначается: φ : M1 → M2. Образ элемента x при отображении φ обозначается: x : φ(x) Совокупность всех тех элементов a ∈ M1, образом которых является данный элемент b ∈ M2, называется прообразом элемента b при отображении φ : M1 → M2 и обозначается через φ−1(b). Таким образом, φ−1(b) = {a ∈ M1 : φ(a) = b}. Отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией,если φ(M1) = M2.

Теорема 1.1. (о прообразах). Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов со ответственно:

ϕ−1(A ∪ B) = ϕ−1(A) ∪ ϕ−1(B)

ϕ−1(A ∩ B) = ϕ−1(A) ∩ ϕ−1(B)

Теорема 1.2. (об образах). Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B)

Заключение

Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций по функциональному анализу. Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для изучения данной программы использовались следующие монографии:

К.В. Воронцов "LATEX в примерах"и С.М. Львовский "Набор и верстка в системе LaTeX".

В результате проделанной работы был составлен обзор по курсу функциональный анализ. Работа содержит необходимый теоретический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу функциональный анализ для студентов специальностей "Прикладная математика и информатика".

Список литературы

[1] В. Босс. Лекции по математике, том5 – М.: Наука, 2005. - 448с.

[2] Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ – М.: Наука, 1967. - 296с.

[3] А. Н. Колмагоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа – М.: Наука, 2004. - 329с.

[4] С.С. Кутателадзе. Основы функционального анализа – М.: Наука, 2000. - 466с.

[5] Л. В. Канторович, Г.П. Акимов. Функциональный анализ – М.: Наука, 1984. - 208с.

[6] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. – М.: Наука, 1982.

[7] С.М. Львовский. Набор и верстка в пакете LaTeX. – М.: МЦНМО, 2003.

[8] К.В. Воронцов. LaTeX в примерах, 2005.

Примечания

Форматы: *.pdf, *.tex *