«Система z на кривой» - Дипломная работа

Содержание

Введение…5

Глава I. Основные понятия ….6

1.1 Определение линейной оболочки системы функций …6

1.2 Определение полноты системы функций ….6

1.3 Теорема Маркушевича ….….6

1.4 Теорема единственности ….7

Глава II. О полноте системы { } на отрезке ….8

2.1 Теорема Мюнтца ….….8

Глава Ш. О полноте системы { } на С(γ) ….11

3.1 Теорема ….11

Заключение ….14

Литература ….15

Введение

Данная работа состоит из трех глав.

Первая глава имеет вспомогательный характер. Она содержит основные понятия и теоремы, необходимые для изучения данной темы.

Во второй главе рассмотрена теорема Мюнтца: о полноте системы { } на отрезке. На основе которой сформулирована и доказана новая теорема о полноте системы { } в пространстве непрерывных функций на кривой, подробно рассматриваемая в третьей главе.

Целью работы является изучение и доказательство теоремы о полноте системы { } на кривой γ.

В соответствии с целью, была поставлена задача: необходимо выяснить, какие условия налагаются на кривую γ и на , для того чтобы система { } была полной на данной кривой.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. Основные понятия.

Пусть D – односвязная область, ∞ D, ƒ1(z), ƒ2(z), ƒ3(z),… - система односвязных функций, аналитических в D.

1.1 Определение линейной оболочки системы функций. Пусть M является линейной оболочкой системы {ƒn(z)}, если

сходимость равномерная внутри односвязной области.

1.2 Определение полноты системы функций. Система {ƒk(z)} называется полной в D, если линейная оболочка этой системы совпадает множеством всех функций, аналитических в D.

1.3 Теорема Маркушевича. Для того чтобы система {fk(z)} была полной в D, необходимо и достаточно, чтобы из равенств

γ(t) fk(z) d(t) = 0 ( k ≥ 1),

где С – замкнутый контур, лежащий в D, γ(t) - функция, аналитическая на С и вне С, причем γ(∞) = 0, всегда вытекало γ(t) .

1.4 Теорема единственности. Пусть функция F(z) регулярна в круге |z| < 1 и там по модулю ограничена. Если F(z) обращается в нуль в точках a1,a2, …, |an| , причем

= ∞,

то F(z) .

ГЛАВА II. О полноте системы { } на отрезке.

2.1 Теорема Мюнтца. Пусть 0 < λk ↑ ∞. Если λ-1k = ∞, то система 1 { } (k 1) полна на отрезке [0,1].

При этом система функций ƒk(t) (k 1), непрерывных на отрезке [а,b], называется полной на [а,b], если линейная оболочка этой системы (сходимость равномерная на [a,b]) совпадает с множеством всех функций, непрерывных на [a, b].

Доказательство. Известно, что любой непрерывный функционал в метрике С на [0, 1] имеет вид:

l(ƒ)= ,

где σ (t) — функция ограниченной вариации на [0, 1].

По теореме А. И. Маркушевича (Для того чтобы, система { φk(z) } была полной в D, необходимо и достаточно, чтобы из равенств

= 0 (k≥1),

где С – замкнутый контур, лежащий в D, γ(t) – функция, аналитическая на С и вне С, причем γ(∞) = 0, всегда вытекало γ(t) ≡ 0.

То есть для полноты системы { ƒk(t) } на [0, 1] необходимо и достаточно, чтобы из равенств

l(ƒk)=0 (k≥1) (1)

вытекало l(ƒ)≡ 0.

Пусть выполнены условия (1). Рассмотрим функцию

f(z)= ,

Имеем

f (0)=0, f(λk) = 0 (k≥1) (2)

Так как

|tz| = |еz ln t| = еx ln t <1, t [0, 1], x>0,

то функция f (z) регулярна и ограничена в правой полуплоскости Rе z = х>0.

Функция w = конформно отображает полуплоскость Rе z > 0 в единичный круг |w| < 1. Функция φ(w) = f (z) регулярна и ограничена в единичном круге |w| < 1 и φ(pk) = 0 (k≥1), где

pk = .

При больших k

|pk| =

и

1 - pk = > .

Поэтому (1 -| pk | ) = ∞.

Отсюда, в силу теоремы единственности (Пусть функция F(z) регулярна в круге |z| < 1 и там по модулю ограничена. Если F(z) обращается в нуль в точках а1, а2,…, |аn|, причем

(1 - | аn | ) = ∞,

то F(z) ≡ 0.)

И φ(w) = 0, значит, f (z) ≡ 0, Re z >0.

Тогда, в частности, f (k) = 0 (k≥1). Отсюда, учитывая первое из равенств (2), заключаем, что

= 0 (k = 0, 1, 2,… ).

Но система {tk} Полна на [0, 1].

Поэтому l(ƒ)=0,

Теорема доказана.

Заключение

В ходе выполненной работы были получены следующие

новые результаты исследования: если λ-2k = ∞, то есть ряд λ-2k расходится,

где 0 < λk ↑ ∞, то система 1 { } (k 1) полна на С(γ), где С(γ) – пространство непрерывных функций на γ. γ – кривая, заключенная в единичном круге, принадлежащая первому квадранту.

Таким образом, теорема о полноте системы { } на кривой γ доказана. Основные цели и задачи данной работы - изучение и доказательство теоремы о полноте системы { } на кривой γ - достигнуты.

Список литературы

1. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983.

2. Лаврентьев М. А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973.

3. Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного. -М.: Просвещение, 1965.

4. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. – Просвещение, 1977.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального анализа и интегрального исчисления, том 2., Наука, 1966.