«О росте целой функции в полосе» - Дипломная работа

Содержание

Введение…3

Глава I. Необходимые сведения из теории целых функций….5

1.1 Порядок и тип целой функции….….5

1.2 Целые функции первого порядка и конечного типа ….….5

1.3 Понятие верхней плотности….….6

Глава II. Ряды с вещественными показателями ….….7

2.1 Преобразование Абеля….….7

2.2 Аналог леммы Абеля ….….…7

2.3 Асимптотика суммы ряда. Единственность разложения …8

2.4 Абсциссы простой, абсолютной и равномерной сходимости ряда Дирихле ….…9

2.5 Выражение коэффициентов через сумму ряда….12

2.6 R-порядок и R-тип целой функции…14

Глава III. О росте целой функции в полосе ….….18

3.1 Постановка первой задачи….….18

3.2 Постановка второй задачи….….….21

Заключение ….…23

Литература ….…25

Введение

Данная работа состоит из трех глав. Первая и вторая главы имеют вспомогательный характер. Они содержат основные понятия и теоремы, используемые в ходе исследования.

В третьей главе рассмотрены две задачи сравнения порядка целой функции, записанной в виде ряда Дирихле, на всей плоскости и в полосе в зависимости от задаваемых для данной функции условий.

Так берется ряд Дирихле и рассматривается функция, представленная в виде этого ряда .

В первом случае мы рассматриваем данную функцию в полосе S(a,t0): при условии . При этих условиях рассматривается соотношение роста функции на всей комплексной плоскости, который определяется понятием порядка функции, и рост функции в полосе S при условии (где D* - усредненная верхняя плотность последовательности ). Далее рассматривается случай с добавлением условий

и делается вывод о соотношении порядков функции на всей комплексной плоскости и в полосе S.

Постановка второй задачи: Рассмотрим ряд Дирихле , у которого показатели образуют последовательность, имеющую конечную плотность .

Рассмотрим функцию и , тогда особенности функции , ассоциированной по Борелю с , расположены на - вертикальном отрезке длины с серединой в начале координат. Пусть S – горизонтальная полоса ширины, большей . Далее, аналогично первой задаче, производится сравнение порядка функции на всей комплексной плоскости и порядком этой функции в полосе S.

Целью работы является изучение роста целой функции в полосе, заданной определенными условиями, и сравнение порядка функции в полосе с порядком функции на всей комплексной плоскости.

В соответствии с целью, была поставлена задача: выяснить, при каких условиях порядок функции на всей плоскости будет равен порядку этой функции в полосе, и при каких условиях они могут отличаться.

Выдержка из текста работы

Глава I. Необходимые сведения из теории целых функций.

1. Порядок и тип целой функции.

Целая функция называется целой функцией порядка ρ, если при любом неравенство выполняется при всех z, для которых , а неравенство выполняется, по крайней мере, для одной последовательности значений z такой, что .

Целая функция называется целой функцией порядка ρ и типа σ если при любом неравенство выполняется при всех z, для которых , а неравенство выполняется, по крайней мере, для одной последовательности значений z такой, что .

2. Целые функции первого порядка и конечного типа. В качестве характеристики роста целой функции порядка ρ конечного типа σ по лучам, выходящим из начала координат, вводится функция , которая называется индикатрисой роста функции . Из самого определения следует, что - периодическая функция с периодом и . Отметим свойства:

1) непрерывна при любом и ее наибольшее значение равно типу σ целой функции ;

2) по любому можно найти такое , что при всех и любых выполняется неравенство .

Пусть - целая функция первого порядка и типа σ. Рост этой функции по разным направлениям тесно связан с расположением особых точек функции , называемой функцией, ассоциированной по Борелю с целой функцией .

3. Понятие верхней плотности.

Рассмотрим ряд Дирихле , у которого показатели имеют конечную верхнюю плотность .

Наряду с верхней плотностью D введем усредненную верхнюю плотность , , где - число чисел . Причем .

Заключение

В данной работе устанавливается соотношение между порядком функции, представленной в виде всюду сходящегося ряда Дирихле, на всей плоскости и порядком в полосе . Рассматриваются 2 случая: в первом рассматривается функция , показатели которой имеют конечную верхнюю плотность D, и в плоскости комплексного переменного z берется полоса S(a,t0): . В этом случае порядки и связаны соотношениями:

1) если при (D* - усредненная верхняя плотность последовательности ), тогда в этом случае .

2) при (D* - усредненная верхняя плотность последовательности ) и

тогда порядок функции на всей плоскости связан с порядком этой функции в полосе S(a,t0): соотношением:

.

Во втором случае рассматривается функция с условиями и . В этом случае рассматривается - вертикальный отрезок длины : , а S – горизонтальная полоса ширины, большей . Тогда порядок на всей комплексной плоскости равен порядку в полосе .

ВЫВОД. Таким образом, в ходе данных исследований установили взаимосвязь между ростом целой функции во всей плоскости и в полосе, заданной определенными условиями.

Список литературы

1. Ряды экспонент / Сост. А.Ф.Леонтьев. – М.: Наука, 1976. – 536 с.

2. Целые функции. Ряды экспонент / Сост. А.Ф.Леонтьев. – М.: 1983.

3. К вопросу о росте функций, определенных рядами Дирихле и некоторыми другими более общими рядами / Сост. А.Ф.Леонтьев. – матем.сб. 65(105), №2 (1964), 227-237.