«Поведение аналитической функции, заданной рядом экспонет, вблизи границы» - Дипломная работа

Рассмотрим ряд Дирихле , где - положительные, возрастающие числа.

Введём условие =0, при этом абсциссы простой и абсолютной сходимости совпадают. Пусть они равны нулю. Тогда функция

f(z)= аналитична в Re z>0.

Пусть M(x) = , x >a.

Величину назовём порядком f(z) в Re z >0.

Известно, что при условии

(1)

f(z) имеет конечный порядок в полуплоскости Re z >0 тогда и только тогда

(2)

В данной работе показано, что условие (1) существенно, то есть если это условие не выполняется, то формула определения порядка (2) может быть неверной.

Приведён пример функции f(z), аналитичной в Re z >0 , представленной рядом Дирихле. Порядок равен нулю, а при формальном использовании формулы порядка результат отличен от нуля.

Глава 1. R- порядок целой функции.

Определение 1. Функция f(z) по определению целая, если она регулярна во всей конечной плоскости.

Для неё R=0 и, следовательно,

Положим

M(x) = , x >a.

Тогда

(1.1)

Рассмотрим ряд

f(z)= , (1.2)

У которого показатели положительны и , при условии, что он сходится во всей плоскости.

Поскольку ряд сходится во всей плоскости, сходится он во всей плоскости и абсолютно.

Будем предполагать

(1.3)

Определение 2. R- порядок целой функции f(z), определённой рядом (1.2) , называется величина

(1.4)

Теорема 1. R-порядок целой функции f (z) вычисляется по формуле

(1.5)

Доказательство.

Пусть R- порядок функции f (z) конечен, докажем, что

(1.6)

Воспользуемся определением предела. Из (1.5) для больших (-х)

Обозначим правую часть неравенства через

Найдём ,

при .

Правая часть неравенства имеет минимум при

, причём величина при .

Заменяем в выше указанном неравенстве на (при больших n это можно сделать), получим, что при больших n

Откуда при

Так как - любое, то значит верно (1.6)

Убедимся теперь в том, что . Из определения величины следует:

в силу чего

Так как , ,

То

Поскольку в силу условия (1.2) , где то

Поэтому где

Далее,

Обозначим правую часть неравенства через

при .

Указанный максимум достигается в точке и равен

Таким образом

Откуда .

Из двух установленных утверждений вытекает .

Глава 2. Поведение аналитической функции вблизи мнимой оси.

Пусть (1.7)

Тогда абсцисса простой и абсолютной сходимости совпадают для ряда

f(z)=

Пусть они равны нулю, т.е. (1.8)

Величину

(1.9)

Назовём порядком f(z) в Rez>0.

Теорема 2. Если f(z) имеет порядок , то

(1.10)

где - конечное число.

Доказательство.

Положим

(1.11)

Докажем, что

Имеем из выражения (1.8) для

Согласно оценке (1.1) при x > 0 и , получим

обозначим через

Положим , тогда

при

обозначим .

, то есть

.

Отсюда .

Убедимся теперь, что .

Из (1.1) следует

Рассмотрим разность

Получим для любого

Следовательно,

.

При малых можно воспользоваться левой частью неравенства.

, где .

В силу чего

Так как

, то

Из условия

Поэтому

Обозначим через

Максимум достигается в точке и он равен

Таким образом,

при ,

Получим

Подставим вместо s значение , получим

Следовательно, .

В итоге и формула (1.10) установлена для конечного.

Докажем, что формула (1.10) верна и для .

Доказательство.

Из выражения (1.9) для больших (-x) при любом

Согласно формуле

([1])

Обозначим через

при

то есть

Следовательно, .

Так как - произвольное число, то

Покажем, что условие (1.7) существенно, т.е. если не выполняется это условие, то формула определения порядка (1.10) может быть неверной.

Рассмотрим функцию f(z)= ? Ult

.

Функция f(z) аналитична в Rez > 0.

Для этой функции абсциссы простой и абсолютной сходимости равны нулю. Условие (1.7) для функции f(z) не выполняется, так как

По формуле вычисления порядка

Следовательно, .

В действительности, покажем, что .

Имеем

Обозначим через

Точка максимума для функции число .

Пусть .

Тогда .

Следовательно .