«Внутренняя геометрия m - поверхности с присоединенной к ней алгеброй Ли в симплектическом пространстве Sp2n+i» - Дипломная работа

Содержание

Введение2

1 Некоторые сведения из теории поверхности проек

тивного пространства и тензорной алгебры. 3

2 Геометрия нормализованной поверхности проектив

ного пространства. 9

3 Геометрия поверхности симплектического простран

ства с присоединенной к ней алгеброй Ли. 19

Литература 26

Введение

Работа посвящена изучению дифференциальной геометрии m -поверхности симплектического пространства с присоединенной к ней алгеброй Ли. m - поверхность нормализована в смысле А. П. Нордена. Найдены условия интегрируемости деривационных уравнений данной поверхности. Структурные константы алгебры Ли построены исходя из основных тензоров нормализованной поверхности, которые являются функциями точки поверхности. Тождество Якоби дачт дополнительные условия, которые накладываются, наряду с условиями интегрируемости, на тензоры, являющиеся коэффициентами деривационных уравнений поверхности.

Выдержка из текста работы

Некоторые сведения из теории поверхности проективного пространства и тензорной алгебры.

Будем говорить, что в векторном пространстве Вп задана скалярная функция а векторного аргумента х, если всякому значению х поставлено в соответствие некоторое число Z = а(х). Функция называется линейной, если при любых значениях выполняются условия

а(х + у) = а{х) + а(у)

а(Хх) = Ха(х)

Вместо того, чтобы говорить о задании линейной вектор-функции, мы будем говорить, что нам задан линейный оператор а, обозначая а(х) = ах. Значение результата воздействия оператора на вектор х назовем следом оператора а на векторе х. Назовем координатой оператора по отношению к данному базису векторного пространства след оператора на векторе этого базиса:

аг = ааг

Векторы-операторы называют ковариантными векторами или ко-векторами, а векторы исходного пространства называют контрвариантными или просто векторами.

Обобщая понятие линейной функции от вектора, мы будем рассматривать такие функциональные зависимости, которые относят системе значений ряда векторных и ковекторных переменных х:у:. :z; /3,., 7 скаляр W.

Функция W = Ф(х,у,. ,z] а{3,., 7) называется полилинейной, если она линейна относительно каждого входящего в неч, переменного, т.е. удовлетворяет для каждого из переменных (например х) тождеству Ф(\\х\\ + /лх2, у, • • •, z\\ а, /3,., 7) = АФОь у,., Z] а, /3,., 7) + Мф(>2, з/,., я; а, /?,., 7)

Вместо того, чтобы говорить о функции векторных аргументов, будем говорить об операторе, соответствующем этой функции, обозначая эти операторы, так же как и функции, буквами греческого алфавита, хотя, как правило, мы будем пользоваться в дальнейшем другими обозначениями, которые будут установлены ниже. Если функция полилинейна, то оператор называется тензором.

Следом тензора на системе его векторных аргументов называется значение соответствующей функции, отвечающее данным значениям этих аргументов.

Тензоры следует различать по числу аргументов соответствующей функции и ко- или контрвариантному характеру этих аргументов. Это различие приводит нас к понятию валентности тензора.

Тензор называется s - валентным, если s - есть число указанных аргументов.

Однако удобнее считать число s составным и записывать его в виде s = p-\\- q: где р-число ковариантных, а q-число контрвариантных аргументов. Про такой тензор валентности p+q говорят также, что это смешанный тензор типа (р), р раз контрвариантный и q раз ковариантный.

Пусть в Вп задан базис щ, взаимный ему базис аг и некоторая полилинейная функция W = Ф(ж, у,., z\\ а/3,., 7)- Предполагая, что аргументы принимают значения, совпадающие со значениями различных векторов взаимных базисов, мы получим систему величин А?\"\'ь = Ф(а^,., а&; о?,., аг\\ которые будут зависеть от: 1)выбора тензора,

2) выбора базиса,

3) выбора номеров у векторов основного базиса ковекторов вза

имного базиса. Эти величины и называют координатами тензора.

Итак, координаты тензора равны его следам на системе векторов,

принадлежащих данному базису и взаимному базису.

Если полилинейная функция содержит 2 или более когредиент-ных переменных, то перестановка двух или нескольких из значений этих переменных изменяет значение этой функции. В таком случае, умножая эти значения на некоторые числа и складывая их между собой, мы можем получить новую полилинейную функцию тех же переменных, Так, например, задав функцию Ф(х:у) можем получить из нее функцию

Щх,у) = \\Ф{х,у) + цФ{у,х).

Первый способ перехода от одного тензора к другому носит название симметрирования тензора и состоит в том, что значение функции, соответствующие всем возможным перестановкам р данных переменных, складывается и вся сумма делится на р!.Так, например, Ф(ж, у, z) = ^[Ф(х, у, z) + Ф(у, z, х) + Ф(г, х, у) + Ф(г, у, х) +

Процесс альтернирования тензора состоит в том, что та же сумма берется с чередующимися знаками перед слагаемыми, причем знак \"+\"ставится перед теми из них, которые соответствуют четным перестановкам переменных, а знак \"— перед теми слагаемыми, которые соответствуют нечетным перестановкам. Так, например, функция 4?i(x:y:z) соответствующая альтернированию тензора Ф, будет иметь вид Ъг(х, у, z) = ^[Ф(х, у, z) + Ф(у, z, х) + Ф(г, х, у) -

Те тензоры, которые не изменяются от симметрирования по векторным переменным, называются симметричными по отношению к этим переменным. Альтернирование симметричного тензора дает тождественный нуль. Тензоры, не меняющиеся при альтернировании по своим переменным, называются кососимметричными по

Заключение

ТЕОРЕМА 6: При 7 = const и дщ = (N2+i)Ј[kPj] внутренняя связность нормализованной m-поверхности симплектического пространства Sp2n+i с присоединенной к ней алгеброй Ли является аффинной связностью без кручения \"эквиаффинного типа\"относительно кососимметрического тензора

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда 7 ^ 0, но pji = 0 (*

3

ТУ

з

Поскольку р^ = mh — rrijPi, то согласно (*) имеем соотношение

kjgki = mjpi. (37)

iЈ

Свертывая обе части равенства (37) с д , имеем:

^ = rrijpe: (3

где ре = ргдг

Тогда из равенства (24) следует, учитывая соотношение (*):

9)

А это означает, что внутренняя связность нормализованной m-поверхности в Sp2n+i с присоединенной к ней алгеброй Ли есть аффинная связность без кручения \"типа Вейля\"относительно кососимметрического тензора д^. Итак, справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 7: Для того, чтобы внутренняя связность нормализованной m-поверхности в Sp2n+i с присоединенной к ней алгеброй Ли являлась аффинной связностью без кручения \"типа Вейля\"относит( кососимметрического тензора д^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие пАдц

Список литературы

[1] Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства.-М.Наука, 1969. [2] Норден А.П. Пространства аффинной связности. М. 1976.

[3] Бурдаков В.М., Нейфельд Э.Г. К вопросу о теории поверхностей симплектического и квазисимплектического пространств.// Рук.ден.в ВИНИТИ е197-85.

[4] Норден А.П. Теория поверхностей.- М.: Гостехиздат, 1956,-260с

Примечания

формат pdf, 2003 год