«Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами» - Курсовая работа

Содержание

Введение 3

Глава І. Системы линейных дифференциальных уравнений 5

1.1. Общий вид линейной системы дифференциальных уравнений. Однородная и неоднородная системы с постоянными коэффициентами 5

1.2. Основные свойства линейной системы дифференциальных уравнений 8

1.3. Основные свойства решений однородной линейной системы 20

Глава ІІ. Линейные системы 23

2.1. Однородные и неоднородные линейные системы 23

2.2. Фундаментальная система решений и определитель Вронского 23

2.3. Построение общего решения однородной линейной системы по фундамен-тальной системе решений 25

Глава ІІІ. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера 26

3.1. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение. Случай различных действительных корней 26

3.2. Случай различных корней характеристического уравнения, среди которых имеются комплексные 27

3.3. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения 28

Заключение 30

Список использованной литературы

Введение

Линейная система имеет вид (1)

Если при всех рассматриваемых значениях все равны нулю, то эта система называется однородной. В противном случае она называется неоднородной.

Предполагаем, что функции и определены и непрерывны в интервале . Тогда система (1) имеет единственное решение …,

определенное во всем интервале и удовлетворяющее начальным условиям

…, при ,

причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, a нужно брать из интервала .

Всякое решение линейной системы является частным решением, так что особых решений она не имеет .

Интегрирование неоднородной линейной системы (1) приводится к интегрированию однородной системы

(2)

Однородная линейная система всегда имеет нулевое решение . Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям

…, при ,

Других решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям, нет.

Для построения общего решения однородной линейной системы (2) достаточно знать линейно-независимых в интервале частных решений:

(3)

т. е. таких решений, для которых тождества

,

где - постоянные числа, могут выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала .

При сделанном предположении относительно непрерывности функций существует бесчисленное множество фундаментальных систем. Фундаментальная система (3) называется нормированной в точке , если решения, составляющие ее, удовлетворяют следующим начальным условиям:

при

Если известна фундаментальная система решений (3), то их линейная комбинация (4) где - произвольные постоянные, представляет собой общее решение однородной линейной системы (2) в области , …, (5)

Все решения однородной системы (2) содержатся в формуле (4)

Заключение

Предположим, что среди корней характеристического уравнения имеется корень кратности . Тогда можно доказать, что ему соответствует решение системы (6) вида

(12)

где суть полиномы от степени не выше чем имеющие в совокупности произвольных коэффициентов. При этом может оказаться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа, так что решение (12) примет вид

, (13)

где из коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них.

Полагая в решении (12) один из произвольных коэффициентов полиномов равным единице, а остальные равными нулю, построим линейно независимых частных решения.

Если — действительное характеристическое число, то построенные частные решения будут действительными.

Если же система (6) имеет комплексное характеристическое число кратности , то она имеет сопряженное характеристическое число той же кратности.

Построив линейно независимых комплексных частных решения, соответствующих характеристическому числу , и отделив в них действительные и мнимые части, получим 2 действительных линейно независимых частных решений. Таким образом, паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности соответствует 2 линейно независимых действительных частных решений.

В общем случае каждому простому действительному характеристическому числу соответствует одно частное решение, каждой паре простых сопряженных комплексных характеристических чисел соответствуют два действительных линейно независимых частных решения, действительному характеристическому числу кратности соответствуют действительных линейно независимых частных решения, а каждой паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности соответствуют 2 действительных линейно независимых частных решений. Всего получается действительных линейно независимых частных решения, так что они образуют фундаментальную систему решений, позволяющую построить общее решение указанным выше способом.

Таким образом, линейная однородная система с постоянными коэффициентами всегда интегрируется в элементарных функциях.

Список литературы

1. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 2009.