«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (3 часть), вариант 5 (14 заданий по 5 тестовых вопросов)» - Тест

Задание 1

Вопрос 1. Каким событием согласно терминологии теории вероятностей является попадание в мишень при выстреле в тире?

1. Достоверным событием.

2. Возможным событием.

3. Событием совместимым с событием А, если событие А состоит в непопадании в мишень.

4. Событием противоположным событию А, если событие А состоит в попадании в мишень.

5. Неслучайным событием.

Вопрос 2. Предположим, что событие А при проведении k испытаний имело место s раз. Какова абсолютная частота появления события А?

1. .

2. .

3. .

4. s.

5. .

Вопрос 3. При шести бросаниях игральной кости (кубика с цифрами от 1 до 6 на гранях) цифра 5 выпала 2 раза, цифра 4 выпала 2 раза, а цифры 3 и 2 выпали по 1 разу каждая. Какова по результатам этого наблюдения частость (относительная частота) события, состоящего в выпадании цифры 3 или цифры 4?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 4. Каково статистическое определение вероятности?

1. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу испытаний в серии наблюдений.

2. Вероятностью называют устойчивую частоту появления события.

3. Вероятностью называют постоянную величину, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

4. Вероятностью называют среднее арифметическое частости появления события при проведении серии одинаковых испытаний.

5. Вероятностью называют отношение числа благоприятствующих исходов к числу всех равновозможных исходов.

Вопрос 5. Какое событие является достоверным?

1. Событие, которому благоприятствуют более половины из единственно возможных исходов испытания.

2. Выпадание положительного числа при бросании игральной кости.

3. Извлечение вслепую белого шара из урны, в которой находятся одинаковые, за исключением цвета, белые и черные шары.

4. Падение бутерброда маслом вверх.

5. Выпадание разных цифр при двух бросаниях игральной кости.

Задание 2

Вопрос 1. В каком случае система событий E1, E2,, … En называется полной?

1. Если сумма вероятностей этих событий равна единице.

2. Если события E1, E2,, … En несовместимы и единственно возможны.

3. Если произведение вероятностей этих событий равно единице.

4. Если события E1, E2,, … En являются несовместимыми и равновозможными.

5. Если сумма вероятностей этих событий превышает единицу, а сами события являются совместимы.

Вопрос 2. Допустим, что при некотором испытании возможны события А и В, вероятность события А , вероятность несовместимого с А события B . Какое из приведенных ниже высказываний не всегда будет истиной?

1. Событие А является противоположным событию В.

2. Событие В является противоположным событию А.

3. События А и В – равновозможные

4. Если события А и В являются единственно возможными, то система событий А, В является полной.

5. Событие, которому благоприятствуют А и В, является достоверным.

Вопрос 3. Какова вероятность того, что при трех бросаниях игральной кости три раза выпадает цифра 3?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 4. Из урны, в которой 4 белых шара и 3 черных, случайным образом извлекают два шара. (Шар после извлечения не возвращают в урну). Шары в урне различаются только цветом. Какова вероятность того, что первым будет извлечен черный шар, а вторым – белый?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. При попадании в мишень пули, она опрокидывается. Допустим, что о стрелке А известно, что он попадает в мишень с вероятностью , о стрелке В известно, что он попадает в мишень с вероятностью , а о стрелке С известно, что он попадает в мишень с вероятностью . Стрелки А, В, С одновременно выстрелили в мишень. Какова вероятность того, что мишень опрокинется?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 3

Вопрос 1. Что выражает формула Бернули?

1. Теорему сложения вероятностей.

2. Вероятность появления события r раз при k независимых испытаниях .

3. Вероятность появления события А в двух независимых испытаниях.

4. Вероятность появления двух совместных событий при одном испытании.

5. Условную вероятность единственно возможного события.

Вопрос 2. Какова вероятность того, что 4 раза извлекая из урны, с завязанными глазами, шар, мы ровно 2 раза извлечем белый, если в урне 6 белых шаров и 4 черных, и после каждого извлечения шар возвращается в урну?

1. 0.36х 0.96.

2. 0.5.

3. 0.1.

4. 0.36.

5. 0.16.

Вопрос 3. Для определения какой величины служит формула Байеса?

1. Для определения вероятности события , противоположного событию Е.

2. Для определения полной вероятности события .

3. Для определения вероятности события при условии появления события Е.

4. Для определения вероятности появления события или Е.

5. Для определения вероятности появления в ряду независимых испытаний события Е после события .

Вопрос 4. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.6. Каково для этого стрелка наиболее вероятное число попаданий в цель при 6 выстрелах?

1. 2.

2. 3.

3. 4.

4. 5.

5. 6.

Вопрос 5. Вероятность изготовления годного изделия автоматическим станком равна 0.9. Вероятность изготовления изделия первого сорта этим станком равна 0.8. Какова вероятность того, что случайно взятое из годных, изделие окажется первого сорта?

1. .

2. 0.72.

3. 0.8.

4. 0.6.

5. 0.98.

Задание 4

Вопрос 1. Что называют кривой вероятностей?

1. График зависимости вероятности попадания в цель от расстояния до цели.

2. График функции .

3. Ломанную кривую биноминального распределения.

4. График функции .

5. График функции .

Вопрос 2. Для чего применяется локальная теорема Лапласа?

1. Для приближенного определения вероятности появления события ровно m раз при n повторных независимых испытаниях.

2. Для отыскания максимума кривой вероятностей.

3. Для отыскания точки пересечения кривой вероятностей с осью Ox.

4. Для отыскания минимума кривой вероятностей.

5. Для статистического анализа результатов повторных независимых испытаний.

Вопрос 3. Как выглядит асимптотическая формула Пуассона?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 4. При каком условии допустимо использование асимптотической формулы Пуассона?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. Пусть n – число независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события A равна p. Чему равен предел вероятности того, что число m появлений события A при n испытаниях удовлетворяет неравенству , если n неограничено возрастает?

1. , где  = np.

2. .

3. 1.

4. 0.

5. .

Задание 5

Вопрос 1. В каком случае говорят, что дискретная случайная величина X, у которой k возможных значений, определена?

1. Если известен исход испытания, определяющего значение случайной величины X.

2. Если известны все k возможных значений случайной величины X.

3. Если известны (заданы) все возможные значения случайной величины X и соответствующие вероятности .

4. Если заданы k значений вероятностей исхода испытания.

5. Если заданы минимальное и максимальное значения случайной величины X.

Вопрос 2. Что называют функцией распределения непрерывной случайной величины X?

1. Функцию .

2. Функцию где - вероятность того, что случайная величина X равна x.

3. Функцию при где - вероятность того, что случайная величина X равна x.

4. Функцию где - вероятность того, что случайная величина X примет значение больше x.

5. Функцию , где - вероятность того, что случайная величина X примет значение не больше x.

Вопрос 3. Каким свойством не обладает интегральная функция распределения ?

1. .

2. .

3. .

4. - непрерывна.

5. - невозрастающая.

Вопрос 4. Чему равна плотность распределения вероятностей случайной величины X, удовлетворяющей условию и равномерно распределенной на интервале , если , ?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. График какой функции называют кривой распределения вероятностей непрерывной случайной величины X?

1. Интегральной функции распределения .

2. , где .

3. , где - плотность распределения вероятностей случайной величины X.

4. Функции плотности распределения вероятностей.

5. , где .

Задание 6

Вопрос 1. Каково среднее значение случайной величины, принимающей значение 1 с вероятностью 0.25 и значение 3 с вероятностью 0.75?

1. 2.

2. 1.25.

3. 1.5.

4. 2.5.

5. 1.75.

Вопрос 2. Чему равно математическое ожидание суммы двух случайных величин X, Y?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 3. В каком случае можно утверждать, что математическое ожидание произведения двух случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий ?

1. Если случайные величины X и Y – дискретные.

2. Если случайные величины X и Y – непрерывные.

3. Если плотность распределения - непрерывная функция.

4. Если количество значений, принимаемых случайной величиной X совпадает с количеством значений, принимаемых случайной величиной Y.

5. Если случайные величины X и Y – независимы.

Вопрос 4. Что называют дисперсией случайной величины?

1. Среднеквадратическое значение случайной величины.

2. Среднее значение отклонения случайной величины от 0.

3. Среднее значение отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

4. Среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

5. Модуль максимального отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания.

Вопрос 5. Чему равна дисперсия суммы независимых случайных величин X и Y?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 7

Вопрос 1. Каково среднее значение случайной величины, если плотность ее вероятности определяется формулой ?

1. b.

2.  .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 2. Как формулируется теорема Ляпунова?

1. Если плотность вероятности случайной величины определяется формулой , то это случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

2. При достаточном большом количестве n случайных величин , отклонения которых от их математических ожиданий, так же, как и дисперсии, ограничены, сумма будет подчинена закону распределения, сколь угодно близкому к закону нормального.

3. С вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при неограниченном возрастании числа n независимых испытаний частость появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности.

4. Если X – случайная величина, математическое ожидание которой , а  – произвольное положительное число, то и .

5. Если случайная величина X не принимает отрицательных значений и  - произвольная положительная величина, то , где .

Вопрос 3. Какие два параметра однозначно определяют случайную величину, подчиненную нормальному закону распределения?

1. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

2. Математическое ожидание и дисперсия.

3.  , е.

4. .

5. Максимальное значение функции плотности вероятности и среднее квадратическое отклонение.

Вопрос 4. Рассмотрим непрерывную положительную случайную величину X с математическим ожиданием . Что можно утверждать относительно вероятности на основании неравенства Маркова?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой равняется 0, а дисперсия – 10. Как оценивается , исходя из неравенства Чебышева?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 8

Вопрос 1. Пусть вероятность появления события А в отдельном испытании составляет 0.7 и мы подсчитываем число m появлений события А в n таких независимых испытаниях. При каком числе испытаний n вероятность выполнения неравенства превысит 0.9?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 2. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0.15. Какова вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0.01? (выборка повторная)

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 3. По данным выборки, представленным вариационным рядом

x 1 2 5 8 9

Частоты 3 4 6 4 3

найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию и выбрать правильный ответ.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

Вопрос 4. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Какова вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит числа 0.4 по абсолютной величине? (Используйте теорему Чебышева)

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. По данным ОТК брак при выпуске деталей составляет 2.5%. Пользуясь теоремой Бернулли, ответьте на вопрос: какова вероятность того, что при просмотре партии из 8000 деталей будет установлено отклонение от средней доли брака менее 0.005?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 9

Вопрос 1. При каком объеме выборки можно утверждать с надежностью , что отклонение выборочной средней от генеральной не превысит предельной ошибки при повторной выборке, если дано ?

1. n = 8.

2. n = 12.

3. n = 16.

4. n = 64.

5. n = 82.

Вопрос 2. Для данных выборочного наблюдения и каков будет доверительный интервал для оценки с надежностью ?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 3. Что означает большая теснота корреляционной зависимости величин x и y?

1. Наличие линейной связи между x и y.

2. Малую степень рассеяния значений y относительно линии регрессии

3. Большую степень рассеяния значений y относительно линии регрессии.

4. Отсутствие функциональной зависимости между x и y.

5. Наличие функциональной зависимости между x и y.

Вопрос 4. Что определяет уравнение регрессии y по x?

1. Функциональную зависимость y от среднего значения .

2. Зависимость частных средних значений y (при определенных x) от x.

3. Плотность распределения переменной y.

4. Тесноту корреляционной зависимости y от x.

5. Степень линейности зависимости между y и x.

Вопрос 5. По какому набору данных можно определить предельную ошибку выборки?

1. Объем выборки, выборочная средняя, заданная надежность.

2. Объем генеральной совокупности, выборочная средняя, объем выборки.

3. Заданная надежность, выборочная средняя, выборочная дисперсия.

4. Объем генеральной совокупности, заданная надежность, выборочная средняя, выборочная дисперсия.

5. Объем выборки, заданная надежность, выборочная дисперсия.

Задание 10

Вопрос 1. Какое из следующих утверждений неверно? Линейная функциональная зависимость между x и y имеет место при:

1. Слиянии прямых регрессии y по x и x по y.

2. Равенстве коэффициента корреляции .

3. Равенстве коэффициента корреляции 0.

4. Расположении частот значений x и y лишь на одной диагонали корреляционной таблицы.

5. Равенстве единице произведения коэффициентов прямых регрессии x по y и y по x.

Вопрос 2. Как выглядит график прямых регрессии при условии, что ?

Верный ответ 1.

Вопрос 3. Чему равен коэффициент корреляции двух случайных независимых величин x и y, если ?

1. 1.

2. 0.5.

3. – 0.5.

4. 0.

5. - 1.

Вопрос 4. Чему равен коэффициент корреляции r случайных величин x и y, полученный на основании следующей таблицы?

y

x 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 5 10 2 - - - - 20

3 4 5 8 5 2 1 - - 25

4 - 3 2 6 5 - 1 - 17

5 3 2 3 2 8 1 - - 19

6 - - - 2 2 3 2 1 10

10 15 23 17 17 5 3 1 91

1. 0.82.

2. 0.54.

3. 0.21.

4. 0.03.

5. 0.99.

Вопрос 5. Чему равны коэффициенты регрессии и случайных величин x и y, представленных таблицей из вопроса 4?

1. 0.25 и 0.75.

2. 0.15 и 0.35.

3. 0.82 и 0.48.

4. 0.45 и 0.65.

5. 0.93 и 0.35.

Задание 11

Вопрос 1. При обследовании 11 учеников получены следующие данные о росте и весе:

вес (кг)

рост (см) 24 25 26 27

125 1 - - -

126 1 2 - -

127 - 2 4 1

Чему равен коэффициент корреляции роста и веса учеников?

1. 0.23.

2. 0.98.

3. 0.15.

4. 0.35.

5. 0.67.

Вопрос 2. Какое из следующих утверждений, связывающих корреляционное отношение  и коэффициент корреляции r, неверно?

1. при точной линейной корреляционной связи y по x.

2. .

3. .

4. при точной линейной корреляционной связи x по y.

5. при точной линейной корреляционной связи и x по y и, y по x.

Вопрос 3. Данные статистической обработки сведений по двум показателям x и y отражены в корреляционной таблице.

x

y 50 60 70 80 90

1 2 - - - -

2 - 1 - - -

3 - - 5 - -

4 - - - 3 -

5 - - - - 4

Чему равен коэффициент корреляции?

1. 0

2. 0.9

3. 1

4. 0.4

5. 0.5

Вопрос 4. На графике изображена прямая регрессии x по y.

Чему равен коэффициент регрессии ?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 5. Какие преобразования нужно произвести, чтобы перейти от переменных x, y к переменным u, v, представленным в таблицах:

x u y v

14 0 28 0

16 1 38 1

18 2 48 2

20 3 58 3

22 4 68 4

24 5 78 5

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 12

Вопрос 1. Что называют пространством выборок?

1. Генеральную совокупность (множество), которому принадлежат результаты наблюдений.

2. Числовую таблицу наблюдений случайной величины.

3. Множество значений вероятностей исхода испытания.

4. Множество рациональных чисел.

5. Множество действительных чисел, из которого выбран результат наблюдения.

Вопрос 2. Что такое статистическая гипотеза?

1. Предположение о распределении вероятностей или о некотором множестве распределений вероятностей.

2. Предположение о результате наблюдения.

3. Предположение о пространстве выборок.

4. Предположение, которое может быть строго доказано на основании анализа результатов конечного числа наблюдений (испытаний).

5. Суждение о правдоподобии статистических данных.

Вопрос 3. Какова роль уровня значимости  при проверке гипотез. Как он используется?

1. Если параметры двух событий отличаются на величину менее  , то события считаются одинаковыми (равными).

2. Событие считается практически невозможным, если его вероятность меньше  .

3. Если вероятность критического события А для гипотезы H превосходит  , то  называют гарантированным уровнем значимости критерия А для H.

4. Если вероятности двух событий отличаются меньше, чем на  , то события считают практически равновероятными.

5. Гипотеза H отвергается на уровне значимости  , если в эксперименте произошло событие A, вероятность которого при гипотезе H превосходит  .

Вопрос 4. Что называют ошибкой второго рода?

1. Погрешность вычисления математического ожидания.

2. Ошибку при выборе гарантированного уровня значимости.

3. Ошибку при формировании критического множества.

4. Отвержение гипотезы в случае, если она верна.

5. Принятие (неотвержение) гипотезы, если она неверна.

Вопрос 5. Какая схема является статистической моделью тройного теста (теста дегустатора)?

1. Схема алгоритма Евклида.

2. Схема Ферма.

3. Схема Пуассона.

4. Схема Бернулли.

5. Схема Блэза Паскаля.

Задание 13

Вопрос 1. Какова левосторонняя альтернатива гипотезы при тройном тесте?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Вопрос 2. Как определяется уровень значимости  для тройного теста, если разумная альтернатива к гипотезе ( - фиксированное число) является двусторонней, т.е. отвергается, если или ?

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , где - количество испытаний.

Вопрос 3. Для чего используется критерий знаков?

1. Для приближенного определения медианы  случайной величины X.

2. Для приближенного определения дисперсии.

3. Для проверки гипотезы о том, что некоторое число является медианой распределения случайной величины X.

4. Для проверки гипотезы о том, что случайное величина X имеет биномиальное распределение.

5. Для проверки гипотезы о значении дисперсии случайной величины , где - результаты наблюдения случайной величины X с медианой  ,

Вопрос 4. В каком случае говорят, что распределение принадлежит сдвиговому семейству распределений G, задаваемому распределением G(x)?

1. Если существует такая  , что для любого x найдется .

2. Если существует постоянная величина такая, что для любого x выполняется .

3. Если медиана  , случайной величины X такая, что для любого x выполняется . ( - распределение случайной величины X, - распределение случайной величины Y).

4. Если выполняется критерий знаков при медиане  .

5. Если у случайной величины X, задаваемой распределением , дисперсия численно равна дисперсии случайной величины Y, задаваемой распределением G(x) .

Вопрос 5. Что такое статистика Манна-Уитни?

1. Ветвь математической статистики.

2. Случайная величина, равная числу выполняющихся неравенств вида при , , где и две однородные выборки.

3. Результат проверки гипотезы о совпадении законов распределений непрерывных случайных величин X, Y.

4. Таблица, используемая для приближенного определения наименьшего уровня значимости.

5. Любая функция, принадлежащая сдвиговому семейству, образованному гиперболическим распределением.

Задание 14

Вопрос 1. Рассмотрим выборку 9, 7, 7, 7, 1, 2, 8, 3. В какой строке записан ранг числа 7 в этой выборке?

1. 3.

2. 4.

3. .

4. 5

5. 6.

Вопрос 2. Рассмотрим две независимые выборки , и ранги совокупности наблюдений . Что такое статистика Уилкоксона?

1. .

2. .

3.

4.

5. Сумма рангов одной из выборок.

Вопрос 3. Рассмотрим две независимые выборки по 6 элементов в каждой. Каково математическое ожидание статистики Уилкоксона при выполнении гипотезы об однородности выборок?

1. 39.

2. 38.

3. 37.

4. 35.

5. 43.

Вопрос 4. Которое из утверждений справедливо при отсутствии эффекта обработки для повторных парных наблюдений случайных величин X и Y независимо от их распределения?

1. для всех .

2. для всех .

3. для всех .

4. для всех .

5. .

Вопрос 5. Какое условие необходимо для применения критерия знаковых ранговых сумм Уилкоксона?

1. Выполнение гипотезы о нулевом эффекте обработки.

2. для всех .

3. Случайные величины , где , непрерывны и одинаково распределены.

4. Случайные величины , где , дискретны.

5. Случайные величины , где , имеют разные распределения.