«Математическое обеспечение курса «Математические методы в нанотехнологии»» - Дипломная работа

Содержание

Введение 4

Глава I. Классификация уравнений с частными производными. Канонический вид уравнений с частными производными второго порядка 6

1. Дифференциальные уравнения с частными производными 6

2. Простейшие дифференциальные уравнения с частными производными. Общее решение. 7

3. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 14

4. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка 21

5. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными 23

6. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частным производными второго порядка с n (n > 2) независимыми переменными 31

7. Метод характеристик 34

Глава II. Основные уравнения и задачи математической физики. 41

1. Основные дифференциальные уравнения математической физики. 41

2. Уравнения колебаний. 42

2.1 Вывод уравнений малых колебаний струны. 42

2.2. Колебания бесконечной струны. Уравнение малых колебаний струны и краевые задачи для него 45

2.3. Решение задачи Коши. Физическая интерпретация решения. 50

2.4. Метод Фурье. 52

2.5. Понятие о корректно поставленной задаче математической физики. 64

2.6. Непрерывная зависимость решения задачи о колебании струны от данных 66

2.7. Продольные колебания стержня 69

2.8. Электрические колебания в длинных однородных линиях 77

2.9. Уравнение колебаний мембраны 94

2.10. Колебания прямоугольной мембраны 100

2.11. Уравнение и функции Бесселя 115

2.12. Колебания круглой мембраны 127

3. Уравнение теплопроводности и диффузии. 133

3.1. Распространение тепла в пространстве. 133

3.2. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей 137

3.3. Распространение тепла в неограниченном стержне 140

3.4. Задачи диффузии. 145

4. Уравнение Лапласа. 154

4.1. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач 154

2.2. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях 160

3.3. Решение задачи Дирихле для круга 163

4.4. Интеграл Фурье 167

5.5. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости 171

Заключение 178

Литература 179

Введение

Данная выпускная квалификационная работа «Математическое обеспечение курса «Математические методы в нанотехнологии» для студентов 2-го курса направления «Электроника и наноэлекторника» представляет собой курс лекций по дисциплине «Уравнения математической физики» и может быть использована преподавателями и студентами при подготовке к занятиям и при решении задач. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач техники и других областей.

Для создания дипломной работы используется текстовый редактор Microsoft Office Word 2003, преимуществами которого являются быстрое форматирование документов и эффективное представление информации в документе, в том числе и математических формул, которые отлично выводятся на печати вне зависимости от размера и сложности.

Основная часть работы состоит из введения, двух глав и заключения. Библиографический список содержит 15 источников, включая электронные ресурсы и ресурсы сети Интернет.

В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Каждая глава включает в себя теоретический материал, примеры с разборами решений некоторых из них. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Рассматриваются дифференциальные уравнения с частными производными, метод характеристик, уравнение малых колебаний струны и краевые задачи для него, решение задачи Коши, метод Фурье, уравнение Лапласа, решение задач Дирихле, интеграл Фурье.

В первой главе дается классификация уравнений в частных производных. Для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов вводятся понятия канонических форм, предложены задачи на приведение уравнений к каноническому виду и их решение методом характеристик. В каждом параграфе представлены примеры с решениями.

Во второй главе рассматриваются основные уравнения и задачи математической физики. Она разделена на четыре части: в первой рассматривается основные дифференциальные уравнения математической физики, во второй – уравнения колебаний, в третьей – Уравнение теплопроводности и диффузии, в четвертой - уравнение Лапласа.

Практическая значимость работы состоит в том, что методические рекомендации могут быть использованы студентами и преподавателями.

Выдержка из текста работы

Глава I. Классификация уравнений с частными производными.

Канонический вид уравнений с частными производными второго порядка

1. Дифференциальные уравнения с частными производными

Обозначим через D область n−мерного пространства точек – декартовы координаты точки x.

Уравнение вида

(1.1)

называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка m относительно неизвестной функции u = u(x), где – заданная действительная функция точек x∈ D, неизвестной функции u и ее частных производных. Левая часть равенства (1.1) называется дифференциальным оператором с частными производными порядка m.

Действительная функция , определенная в области D задания уравнения (1.1), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется классическим (регулярным) решением уравнения (1.1).

Уравнение (1.1) называется линейным, если F линейно зависит от всех переменных вида

Линейное уравнение можно записать в виде

(1.2)

или в виде

(1.3)

где

– линейный дифференциальный оператор порядка m.

Линейное уравнение называется однородным, если f(x) ≡ 0, и неоднородным, если .

Уравнение (1.1) порядка m называется квазилинейным, если F линейно зависит лишь от частных производных порядка m:

В дальнейшем при указании частной производной функции u будем использовать эквивалентные записи:

2. Простейшие дифференциальные уравнения

с частными производными. Общее решение.

Иногда уравнение удается преобразовать введением новых независимых переменных и новой искомой функции таким образом, что его общее решение можно построить в явной форме.

Например, рассмотрим уравнение

(2.1)

Обозначив

(2.2)

запишем уравнение (2.1) в виде

(2.3)

Полученное уравнение можно рассматривать как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно и x. Интегрируя его, найдем

(2.4)

где – произвольная функция от y, рассматриваемого как параметр. Подставляя в (2.2) выражение для и рассматривая теперь x как параметр, будем иметь обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно u и y, общее решение которого имеет вид:

В силу произвольности функции , введя обозначение

общее решение уравнения (2.1), зависящее от двух произвольных функций – , можно переписать в виде:

Замечание. Учитывая свойства интегралов, в дальнейшем при записи выражений будем указывать явно пределы интегрирования, полагая верхний предел переменным, а нижний – равным 0. Такое представление удобно использовать при выделении из общего решения функции, удовлетворяющей заданным начальным условиям.

Пример 1. Считая u=u(x,y,z), построить общее решение уравнений функции, удовлетворяющей заданным начальным условиям.

Решение. 1) Решением уравнения является произвольная функция, не зависящая от переменной x: u(x, y, z) = F(y, z).

2) Интегрируя правую и левую часть заданного уравнения по переменной z, получаем его общее решение в виде

где F – произвольная функция переменных x,y, рассматриваемых при интегрировании уравнения как параметры.

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

(2.5)

Решение. Рассматривая уравнение (2.5) как обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение с параметром y, найдем вначале общее решение соответствующего однородного уравнения. Оно будет иметь вид:

А затем для построения решения заданного неоднородного уравнения применим метод вариации. Будем искать его общее решение в виде:

(2.6)

Подстановка выражения (2.6) в уравнение (2.5) дает:

Интегрируя полученное уравнение, находим

где – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Учитывая равенство (2.6), получаем общее решение заданного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Построить общее решение уравнения:

Решение. Заданное уравнение можно привести к виду:

Проинтегрируем уравнение по переменной x, рассматривая переменную y как параметр. В результате получим уравнение:

где – произвольная функция от y. Интегрируя полученное уравнение по переменной y, когда x рассматривается как параметр, найдем

В силу произвольности функции , вводя для интеграла от нее новое обозначение , общее решение заданного уравнения, зависящее от произвольных непрерывно дифференцируемых функций и , запишем в виде:

Замечание. Введя новую функцию можно понизить порядок уравнения. При этом предполагается, что функция u непрерывно дифференцируема достаточное число раз и допустимо изменение порядка дифференцирования. Такой прием решения уравнения использован в следующем примере.

Заключение

Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций и семинаров по дисциплине “Уравнения математической физики”. Данная работа была набрана и отредактирована с помощью текстового редактора Microsoft Office Word 2003.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве основной части методического пособия по курсу «Уравнения математической физики» для студентов второго курса направления «Электроника и наноэлектроника».

Материал составлен в соответствии с требованиями, учитывающими особенности подготовки студентов по данному направлению, и рекомендуется для использования. Также пособие может применяться для самостоятельной подготовки студентов. В работе, в качестве основных, были приведены следующие главы:

1) Классификация уравнений с частными производными. Канонический вид уравнений с частными производными второго порядка;

2) Основные уравнения и задачи математической физики.

Для лучшего усвоения материала в пособии вводятся основные понятия, приводится множество примеров, а также их решения, представлены теоремы и доказательства. В конце пособия есть список использованной и рекомендуемой литературы.

Список литературы

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВУЗов, т. 2: Учебное пособие для ВУЗов. 13-е изд. - М.:Наука,1985.

2. Рогов А. А., Семенова Е. Е., Чернецкий В. И. Уравнения математической физики. Сборник примеров и упражнений. – ПетрГУ. Петрозаводск, 2001.

3. Пикулин В. П., Похожаев С. И. Практический курс по уравнениям математической физики. 2-е изд., стереотип. - М.: МЦНМО, 2004.

4. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. 2-е изд., стереотип. – М.: Наука, 1969.

5. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям

математической физики. М.: Наука, 1985.

6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1988.

7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.: Наука, 1990.

8. Дормодихина Н.Ф. и др. Решение задач математической физики. Воронеж, 1980.

9. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч.I.Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высшая школа, 1980.

10. Косарев А.А. и др. Решение задач по методам математической физики. Воронеж, 1982.

11. Краснов М.А., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

12. Сборник задач по уравнениям математической физики /Под ред. В.С.Владимирова. М.: Наука, 1982.

13. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989.

14. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунини М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

15. Соболев Л.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992.