«Разработка квантового уравнения Янга-Бакстера для факультативов» - Дипломная работа

В школьном курсе математики учащиеся изучают элементарную алгебру, где рассматриваются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами. Также иногда рассматриваются элементы теории чисел и комбинаторики. В данной дипломной работе учащимся предлагается ознакомиться с еще одним разделом алгебры – линейной алгеброй, которая связана с другими математическими и физическими науками.

Данная дипломная работа называется «Разработка квантового уравнения Янга-Бакстера для факультативов». Целью проведения факультатива по данной теме является расширение и углубление знаний учащихся в области линейной алгебры, повышение интереса к предмету, развитие математических способностей.

Дипломная работа состоит из трех глав. В первой главе даются ранее пройденные основные понятия и определения для облегчения восприятия материала.

Во второй главе дается теоретический материал. Глава состоит из двух частей. В первой рассматриваются различные примеры алгебраических структур – групп, колец, полей и т.д. Вторая часть содержит определение алгебры Ли и ее основные понятия.

В третьей главе рассматривается квантовое уравнение Янга-Бакстера, его решение, дается определение тензорного произведения и примеры.

Основа данной работы может послужить в качестве спецкурса на факультативных занятиях.

ГЛАВА 1

Из истории алгебры

Начало алгебры относится к глубокой древности. Около 4000 лет назад ученые из Вавилона умели решать квадратное уравнение, а также системы двух уравнений, из которых одно являлось уравнением второй степени. С помощью таких уравнений решались различные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела.

Основоположником алгебры, как особой науки, считают центральноазиатского ученого Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хорезми. В 9 в. н.э. он составил алгебраический труд «Книга восстановления и противопоставления», где «восстановлением» он считал перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда название «алгебра». [4]

Известный классик персидской поэзии Омар Хайям подверг систематическому изучению уравнения третьей степени. Ему не удалось найти выражения корней такого уравнения, но он смог разработать спосо, по которому можно геометрически найти число действительных корней кубического уравнения.[4]

В Европе алгебра начала развиваться в 12 веке, когда была переведена на латинский язык работа аль-Хорезми. Существенный прорыв в алгебре осуществили в 16 веке итальянские математики Никколо Тарталья и Сципион дель Ферро. Они открыли правила для решения уравнений третьей степени вида , , ; а итал. математик Джероламо Кардано доказал, что любое кубическое уравнение сводится к одному из этих трех. В честь него и названы формулы решения кубических уравнений. Одновременно ученик Кардано − Лодовико (Луиджи) Феррари открыл метод решения уравнения четвертой степени.

До 16 века отрицательные числа европейцами почти не рассматривались, но после открытия формул решения уравнения третьей степени отрицательные числа постепенно завоевывали право гражданства в алгебре, хотя их и называют «ложными». В 1629 г. фр. математик, живший и работающий в Нидерландах, Альбер Жирар дал общеизвестный сейчас способ геометрического изображения отрицательных чисел. А через 20 лет отрицательные числа получили всеобщее распространение.

Рассмотрение комплексных чисел также связано с нахождением решения кубического уравнения. При решении уравнения третьей степени по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами невозможно прийти к действительному корню.[4] Действительно, по правилу Тартальи решение уравнения вида

представляется в виде

,

где u и v − решения системы

Но такая система может иметь комплексные корни, например: уравнение имеет корень x=4, но система

имеет комплексные корни: ,

Это явление объяснил итал. математик Рафаэль Бомбелли. Он показал, что есть куб числа , а − куб числа . То есть, .

С этого момента началось развитие теории комплексных чисел. В середине 18 века швейцарский, немецкий и российский математик Леонард Эйлер дал исчерпывающие правила действий с комплексными числами, а датский математик Каспар Вессель и французский математик Жан Арган дали геометрическое изображение комплексных чисел, которое впоследствии развил немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс.

Вслед за решением уравнений третьей и четвертой степеней, ученые пытались найти способ решения уравнения пятой степени. Но итальянец Паоло Руффини доказал, что буквенное уравнение пятой степени вида невозможно решить алгебраически, т.е. невозможно выразить его корни через коэффициенты c помощью алгебраических действий.

В 19 и 20 веках математики занимались большей частью вопросами, которые выходили за рамки элементарной алгебры. В частности, алгебраисты занимались разработкой методов приближенного решения уравнений. В этом направлении важные результаты были получены великим русским математиком Николаем Лобачевским.