«Список вопросов к экзамену по дисциплине «Математический анализ»» - Шпаргалка

Содержание

Основные понятия теории функций

1. Понятие множества. Отношения и операции над множествами.

2. Множества натуральных N, целых Z, рациональных Q и вещественных R чисел.

3. Представление вещественных чисел на числовой оси. Декартова система координат на плоскости.

4. Числовые множества: интервалы, отрезки, полуотрезки, окрестности.

5. Понятие функции, её области определения и множества значений. Способы задания функций.

6. Числовые функции. Чётные, нечётные, возрастающие, убывающие, периодические функции. Примеры.

7. Понятие сложной и обратной функций. Элементарные функции.

8. Степенная функция: способ определения, область определения, основные свойства и графики.

9. Показательная функция: способ и область определения, основные свойства и графики.

10. Логарифмическая функция: способ и область определения, основные свойства и графики.

11. Тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.

12. Обратные тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.

Теория пределов и непрерывность функции

13. Понятие и определение предела функции в точке.

14. Основные свойства пределов.

15. Первый и второй замечательные пределы, их геометрическая интерпретация.

16. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.

17. Основные приёмы, применяемые при вычислении пределов. Раскрытие

18. неопределённостей.

19. Односторонние пределы функции.

20. Предел функции в бесконечности.

21. Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

22. Классификация точек разрыва функции

23. Понятие числовой последовательности и её предела.

Основы дифференциального исчисления

24. Определение производной и её геометрический и экономический смысл. Различные обозначения производной. Размерность производной.

25. Касательная к графику функции.

26. Дифференцируемость функции в точке и на интервале.

27. Производные основных элементарных функций (табличные производные).

28. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения функций.

29. Правила дифференцирования сложной функции.

30. Понятие дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.

31. Производные высших порядков.

32. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.

33. Формула Лагранжа.

34. Формула Тейлора.

35. Формула Маклорена.

36. Возрастание и убывание функции на интервале. Использование производной для определения интервалов возрастания и убывания функции.

37. Понятие локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции в точке.

38. Поиск экстремума функции на отрезке.

39. Выпуклость графика функции. Определение интервалов и направления выпуклости графика функции.

40. Понятие точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции в точке.

41. Асимптоты графика функции.

42. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Основы интегрального исчисления

43. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его основные свойства.

44. Табличные интегралы. Понятие о "неберущихся" интегралах.

45. Метод интегрирования с помощью замены переменной (подстановкой).

46. Метод интегрирования по частям.

47. Определённый интеграл и его геометрический и экономический смысл.

48. Основные свойства определённого интеграла.

49. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница).

50. Вычисление определённых интегралов с помощью замены переменной.

51. Вычисление определённых интегралов интегрированием по частям.

52. Вычисление площадей фигур с криволинейными границами.

53. Понятие несобственных интегралов первого рода и их сходимость.

54. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.

Ряды

55. Понятие числового ряда и его сходимости. Классификация рядов. Необходимое условие сходимости ряда.

56. Признаки сходимости знакоположительных рядов.

57. Признак сходимости знакопеременных рядов.

58. Степенной ряд. Радиус сходимости и множество сходимости.

Функции многих переменных

59. Частные производные функции многих переменных и правила их вычисления.

60. Линия уровня, градиент и производная по направлению функции многих переменных и их смысл.

61. Частные производные высших порядков.

62. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

Дифференциальные уравнения

63. Понятие об ОДУ. Частное и общее решение ОДУ. Интеграл ОДУ. Начальные условия.

64. ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и метод их решения.

65. Линейные ОДУ первого порядка и метод их решения.

Введение

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , а элементы множества- строчными.

Приведем примеры множеств.

Классы (множества) чисел: N – натуральные числа, Z – целые числа, Q- рациональные числа, R- действительные (вещественные) числа, C – комплексные числа.

Студенты одной группы – множество, элементы которого- студенты, общее свойство – обучение одной специальности.

Множество В – корни уравнения ½ = cosx . Элементы – вещественные числа, общее свойство – обращают данное уравнение в верное равенство.

Если х – элемент множества Х, то говорят: х принадлежит Х и пишут : хХ. Если х не принадлежит Х, то пишут хХ.

Выдержка из текста работы

Если U – универсальное множество некоторой теории, то любое множество этой теории является его подмножеством. Например, множество комплексных чисел С – универсальное множество в теории чисел. Для всех классов чисел можно построить цепочку включений: N  Z  Q  R  C.

Свойства включений.

1. Для всякого множества В : В  В;

2. Для любых множеств А, В, С, если А  В и В  С, то А  С;

3. Для всякого множества В :   В.

1) Сравнение множеств

Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А содержатся во множестве В.

Два множества называются равными, если они содержат одинаковые наборы элементов.

ТЕОРЕМА

# Пустое множество Ø является подмножеством всех множеств.

# Универсальное множество U содержит все множества.

# Если , то В надмножество А.

ПРИМЕР

А={0, 1, 2, 3}, В={0, 1}, .

2) Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы обоих множеств.

ПРИМЕР

А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я},

.

Заключение

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий».). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,.}