«Задача (решение) по статистике» - Кейсы/Задачи

Содержание

Условие задачи

Требуется найти оптимальную цену единицы товара по результатам наблюдений. В каждом варианте задано по 10 пар данных, на основе которых, используя линейную модель, требуется методом наименьших квадратов определить оценки параметров модели α и β. Затем определить выручку как функцию F(P)для каждой пары наблюдений. Далее, необходимо найти значение Р, при котором доход будет максимальным. Для этого берем производную по Р от функции F(P)и приравниваем ее к 0. Из полученного выражения определяем оптимальное значение цены Р.

Даны: стоимость единицы товара Р и количество (шт.) проданного товараK для 10 наблюдений (табл. 1).

Используя линейную модель: K_i=α+βP_i+ε_iнайти оптимальнуюцену (при которой получается максимальная выручка от продаж).

_

Таблица 1

Вар. 7

№ набл. P К

1 6,5 20

2 7 18

3 7,5 17

4 7,7 16

5 8,5 14

6 9,5 11

7 10,5 9

8 12 4

9 12,5 3

10 13 2

---

Выдержка из текста работы

Решение:

Уравнение должно выражать усредненную зависимость выходной величины (y = K) при изменении входных величин (факторов x = P).

K_i=α+βP_i+ε_i

Суть метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения x, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений (ошибок) ε_i=y_i-(α+βx_i).

F(α,β)=∑_i▒〖ε_i〗^2 =∑_i▒(y_i-(α+βx_i))^2 ⟶min

Находим частные производные по переменным α и β и приравниваем их к нулю:

{■(〖F'〗_α=-2∑_i▒(y_i-(α+βx_i ) ) =0@〖F'〗_β=-2∑_i▒〖x_i (y_i-(α+βx_i ) ) 〗=0)┤

Сократим на (2) и запишем систему относительно неизвестных коэффициентов α и β.

{■(α∙n+β∑_i▒x_i =∑_i▒y_i @α∑_i▒x_i +β∑_i▒〖x_i〗^2 =∑_i▒〖y_i x_i 〗)┤

Коэффициенты можно найти следующим образом:

,

Здесь суммирование осуществляется по всем индексам i=(1,n) ̅ (n=10).

---