«Методическое обеспечение курса «дифференциальное исчисление»» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ….5

Лекция № 1. Функции одной переменной

§ 1. Определение функции….6

§ 2. Способы задания функций….7

§ 3. Операции над функциями…8

§ 4. Понятие сложной функции….9

§ 5. Элементарные функции….10

Лекция № 2. Числовая последовательность

§ 1. Понятие числовой последовательности….13

§ 2. Монотонные и ограниченные последовательности…14

§ 3. Понятие предела числовой последовательности….15

§ 4. Теоремы о пределах числовой последовательности….17

Лекция № 3. Числовая последовательность

§1. Понятие бесконечно малой….20

§ 2. Понятие бесконечно большой….20

§ 3. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой…21

§ 4. Теоремы о бесконечно малых….22

§ 5. Неравенство Бернулли….25

§ 6. Число е….25

Лекция 4. Предел функции.

§ 1. Предельная точка числового множества….27

§ 2. Определение предела функции по Гейне….28

§ 3 Определение предела функции по Коши. …29

§ 4. Теоремы о пределах функций. ….31

§ 5. Предел сложной функции. …31

Лекция 5. Предел функции

§ 1. Первый замечательный предел. ….32

§ 2. Односторонние пределы…33

§ 3. Второй замечательный предел. …34

§ 4. Критерий Коши существования конечного предела функции….35

§ 5. Сравнение бесконечно малых. ….36

Лекция №6. Непрерывные функции

§ 1. Определение непрерывности функции в точке….38

§ 2. Классификация точек разрыва функции….40

§ 3. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций….41

§ 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке….42

§ 5. Непрерывность сложной функции…44

§ 6. Непрерывность основных элементарных функций….44

§ 7. Равномерная непрерывность функции….45

Лекция №7. Производная и дифференциал

§1. Задача о касательной….46

§2. Определение производной….47

§ 3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой….48

§ 4. Правила вычисления производных….….48

§ 5. Непрерывность функции, имеющей производную….49

§ 6. Производная обратной функции….49

§ 7. Сводка формул для производных….50

§ 8. Производная сложной функции…51

§ 9. Понятия дифференцируемой функции и дифференциала функции….51

Лекция №8. Производная и дифференциал

§ 1. Связь между дифференцируемостью и существованием производной…52

§ 2. Геометрический смысл дифференциала….53

§ 3. Основные формулы и правила дифференцирования….53

§ 4. Производная функции, заданной параметрически….55

§ 5. Дифференциалы как источник приближенных формул….55

§ 6. Производные высших порядков…56

§ 7. Дифференциалы высших порядков….57

Лекция № 9. Производная и дифференциал

Основные теоремы дифференциального исчисления

§1. Теорема Ферма….…58

§ 2. Теорема Ролля. ….59

§ 3. Теорема Лагранжа….60

§ 4. Теорема Коши….62

Лекция №10. Исследование функций с помощью производных

§ 1. Условие постоянства функции. …63

§ 2. Условие возрастания-убывания функции….64

§ 3. Определение экстремума функции….64

§ 4. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции…65

§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции….65

§ 6. Достаточные условия существования экстремума….66

§ 5. Другие возможные точки экстремума функции…67

§ 8. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя….68

§ 9.Направление вогнутости кривой….69

§ 10. Точки перегиба….70

§ 11. Асимптоты….71

§ 12. Общая схема исследования функций и построение их графиков по характерным точкам….73

Задачи….…78

Заключение….….79

Список используемой литературы….….…80

Введение

Не все математические задачи являются простыми и решаются быстро без некоторых размышлений и усилий. Уверенно справиться с ним может ученик, который хорошо владеет материалом школьной программы и имеет обширную практику в решении задач. А это достигается лишь упорным, настойчивым трудом.

Данный курс лекций предназначен для студентов 1 курса специальности «педагогическое образование профиль математика» изучается в течение одного семестра.

Данный курс является основополагающим для дальнейшего изучения курса математики во 2 семестре. Изучаются основные разделы математического анализа, курс лекций состоит из 10 разделов.

Для упрощенного восприятия данный курс предложен в виде презентаций сделанных в PowerPoint.

Выдержка из текста работы

Лекция № 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§ 1. Определение функции.

Определение. Переменная у называется функцией переменной х в области Х, если по некоторому правилу (закону) каждому значению х Х ставится в соответствие одно определённое значение у Y.

Переменная х называется аргументом функции. Область Х называется областью определения функции.

В определении функции существенны два момента:

1) указание области Х изменения аргумента х;

2) указание правила (закона) соответствия между значениями х и у.

Замечание. Из определения функции не следует, что различным значениям аргумента х должны соответствовать различные значения функции у. Важно, чтобы каждому значению х Х соответствовало определённое значение у Y. Например, у=а (для всех значений х Х) тоже есть функция, хотя при любых значениях х Х она принимает одно и то же значение а.

Для указания того факта, что у есть функция х, пишут:

y=f(x), y=φ(x), y=F(x) и т.п.

Буквы f, φ, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному значению х.

Наряду с обозначением y=f(x) приняты также следующие обозначения для функции:

f : X Y,

X Y.

Область определения функции f будем обозначать Df.

В качестве области определения X функции f : X Y могут быть следующие промежутки:

1) интервал (a;b): a

2) отрезок [a;b]: a x b;

3) полуинтервалы (a;b] или [a;b): a

4) [a;+∞): a x<∞;

5) (∞;b): ∞

6) (∞;+∞):∞

§ 2. Способы задания функций.

Функции можно задать различными способами:

– аналитически;

– графически;

– таблично;

– словесно.

1. Аналитический способ. С помощью формулы.

Пример. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

В примерах а) и б), в) и г) функции являются разными! В примерах а), г) говорят, что функция рассматривается в естественной области определения.

2. Графический способ. С помощью графика.

В прямоугольной системе координат x, y на оси x отметим отрезок [a;b] и изобразим любую кривую , так что какова бы ни была точка , прямая, проходящая через нее параллельно оси y, пересекает кривую в одной точке А. Кривая называется графиком. График определяет функцию y=f(x) на отрезке [a;b] следующим образом. Если x – произвольная точка отрезка [a;b], то соответствующее значение y=f(x) определяется как ордината точки А (см. рис 1).

Отметим, что графический способ задания функции позволяет определять значения функции лишь приближённо.

3. Табличный способ. C помощью таблицы.

Например, таблица Брадиса значений тригонометрических функций. Или, например, температура Т воздуха каждый час. Тогда каждому моменту времени t=0, 1, 2… 24 соответствовало бы определенное число T в виде таблицы:

t 0 1 2 …

T +18 +17 +15 …

Неудобство его заключается в том, что он даёт значения функции лишь для некоторых значений аргумента.

4. Словесный способ. Или описательный способ.

Например, функция y=E(x), (или [х]) – целая часть переменной х: наибольшее целое число, не превосходящее х (E есть начальная буква французского слова “entier”, обозначающего “целый”). Область существования этой функции есть R, а область её значений состоит только из целых чисел.

Из приведённого определения E(x) следует, что E(x)=m есть такое целое число, что m x

График функции y=E(x) имеет вид

Здесь стрелки своими остриями указывают на точки, не принадлежащие графику.

§ 3. Операции над функциями.

Определение. Функции f(x) и φ(x) называются равными, если

1) они имеют одну и ту же область определения,

2) численные значения их, соответствующие одному и тому же значению аргумента, равны.

В этом случае пишут: f(x)=φ(x).

Например, выражения f(x)=lg(x2) и φ(x)=2lg(x), равны, если рассматриваются в интервале (0; +∞);

Однако, эти же выражения, заданные в своих естественных областях определения (т.е. там, где они имеют смысл), различны, т.к. различны их области определения: Df=(∞; 0) (0, +∞), Dφ=(0; +∞).

Рассмотрим функции f1(x) и f2(x). Пусть D1= , D2= , D=D1 D2.

Определение. Функция F(x), определённая на множестве D, называется суммой функций f1(x) и f2(x), если в каждой точке х0 D верно равенство F(x0)=f1(x0)+f2(x0).

Эту функцию F(x) записывают так: F(x)=f1(x)+f2(x).

Аналогично определяется сумма любого конечного числа функций или их произведение, а также разность двух функций или их частное (в последнем случае следует из D исключить нули знаменателя).

Заключение

В процессе выполнения данной дипломной работы был описан курс лекций, курс лекций в виде презентаций и решены задачи для студентов 1 курса специальности: «педагогическое образование профиль математика».

Список литературы

ОСНОВНАЯ:

1. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа, т.1 – Изд-во Физматлит, 2005.

2. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа, т.2 – Изд-во Физматлит, 2005.

3. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа, т.3 – Изд-во Физматлит, 2005.

4. Т.Г. Сафаров. Математический анализ. – Уфа: Изд-во БГПУ, 2006.

5. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. Изд-во ЛКИ, 2007.

6. В.Д. Морозова. Введение в анализ. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

7. Э. Ландау Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. Изд-во КомКнига, 2005.

8. Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. Математический анализ: Начальный курс с примерами и задачами (под ред. Кибзуна А.И.). М.: Наука, 2003.

9. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач Изд. 3-е, стереотип.2003.

10. В. М. Тихомиров Дифференциальное исчисление (теория и приложения). Изд-во МЦНМО, 2002.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1, 2, 3.-М.: Высшая школа, 1988.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, т. 1, 2.-М.: Наука, 1982, 1983.

3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн. 1, 2.-М.: Высшая школа, 2000

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.М.: Наука, 1969.

5. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа.-М.: Просвещение, 1966.

6. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.-М.: Просвещение, 1964.

7. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа.-М.: Просвещение, 1971.