«Методика изучения асимптотики резольвенты лапласиана с частой сменой граничных условий» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Постановка задачи и формулировка результатов 3

Формальное построение асимптотик. 5

Обоснование асимптотик. 17

Литература 22

---

Введение

Рассмотрена модельная краевая задача для лапласиана в единичном круге с

часто и периодически чередующимся типом граничных условий в случае, когда

предельной является задача Дирихле.

Постановка задачи и формулировка результатов. Краевые эллиптиче-

ские задачи с часто чередующимся типом граничных условий возникают в раз-

личных приложениях, например, при исследовании собственных значений часто

закрепленной мембраны, в задачах нефтехимии и в других областях. В настоящей

работе рассматривается краевая задача для оператора Лапласа в круге с часто и

периодически чередующимся типом граничных условий.

Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты, " = 2N−1 - малый параметр, N ≫ 1

целое число, D - единичный круг с центром в начале координат, (r, ) - полярные

координаты. Через

" обозначим объединение N открытых непересекающихся ле-

жащих на @D дуг, длиной 2" каждая (0 <  < /2), расположенных так, что

любая из этих дуг получается из соседней поворотом на " относительно начала

координат(см. рис.). Определим 􀀀" как дополнение

" до @D. Под часто и периоди-

чески чередующимся типом граничных условий мы будем понимать случай, когда

на

" задается граничное условие Дирихле, а на 􀀀" - граничное условие Неймана

[1].

---

Выдержка из текста работы

Здесь  < 0 - некоторое фиксированное число, f ∈ C∞

0 (¯D) - заданная функция.

В этой работе на основе метода пограничного слоя будет построена асимптоти-

ка. Базовой идеей данного построения является использование пограничного слоя

в окрестности границы @D с целью удовлетворения граничных условий задачи

(1).

Теорема 1. Асимптотическое разложение решения задачи (1) имеет вид:

u" = uex

" (x, ) + (r)umid

" (, , ),

где (r)  бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице

при r > 2

3 и нулю при r < 1

3,

uex(x) = u0(x) + "u1(x) + "2u2(x) + "3u3(x) + .

и

umid() = "1() + "22() + "33() + .,

где  = (1, 2) =

Функции 1(), 2(), 3() найдены как решения некоторых краевых задач.

---

Заключение

Обоснование асимптотик. В соответствии с методом пограничного слоя

асимптотику функции u" будем строить в виде суммы внешнего разложения и

пограничного слоя:

u" = uex

" (x, ) + (r)umid

" (, , ), (48)

где функции uex

" и umid

" имеют асимптотики

uex

" (x, ) = u0(x) +

NX−1

i=1

"iui(x, ), (49)

umid

" (, , ) =

XN

i=1

"ii(, , ). (50)

Подставим (48) в уравнение задачи (1) получим уравнение

−(
x + )u" = −(
x + )uex

" (x, ) − (
x + )(r)umid

" (, , ) (51)

В силу уравнений задач (4) и (5) первое слагаемое (51) будет равно

−(
x + )uex

" (x, ) = f (52)

Перепишем второе слагаемое (51):

---

Список литературы

1. Д.И. Борисов. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Ла-

пласиана с частым чередованием граничных условий. Прикладная матема-

тика и механика, 2002. C. 36-52.

2. Р.Р. Гадыльшин. Об асимптотике собственных значений для периодически

закрепленной мембраны. Алгебра и анализ Том 10, (1998), вып. 1.

---