«Периодические решения одной системы дифференциальных уравнений» - Дипломная работа

Содержание

Введение ….….3

Глава I. Существование бифуркационного значения параметра систем дифференциальных уравнений….4

Глава II. Существование периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приблежения при критическом значении параметра λ=0 имеет пару комплексно сопряженных собственных значений…, ….9

Заключение ….20

Список использованной литературы.21

Введение

Одним из важных вопросов в качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос существования периодических решений системы дифференциальных уравнений, содержащих параметр. Однако, достаточно общих методов позволяющих решить проблему существования периодических решений, для таких систем не существует. Знание того, что система дифференциальных уравнений имеет периодические решения, существенным образом облегчает исследование этой системы уравнений в целом.

Периодическими решениями описываются колебательные процессы, происходящие в реальной системе, математической моделью которой является система дифференциальных уравнений.

Наибольший интерес в изучении систем дифференциальных уравнений представляет проблема бифуркации этих систем, в частности появление периодического решения при изменении параметра.

Настоящая работа содержит результаты исследования автономных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих параметр. Решается задача определения условий существования периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в окрестности нулевого решения при малых значениях параметра.

Основными методами, применяемыми в работе для получения условий существования периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих параметр, близких к нулю при малых значениях параметра, является метод неподвижной точки оператора и метод сжимающих отображений.

Выдержка из текста работы

Глава I. Существование бифуркационного значения параметра систем дифференциальных уравнений

Пусть задана система дифференциальных уравнений вида:

, (1)

где - искомая n-мерная вектор-функция, , - m-мерный вектор-параметр, , - матрица, - матрица, определенная на множестве , - n-мерное векторное пространство, - значение i-ой компоненты j1-мерной вектор-функции , - значение j-ой компоненты j2-мерной вектор-функции , , - множество всех действительных чисел.

Под решением системы (1) будем понимать вектор-функцию x(t), непрерывно дифференцируемую на I, и при любом значении удовлетворяющую системе уравнений (1).

Пусть некоторые постоянные числа.

Будем говорить, что матрица B, вектор-функции N,T удовлетворяют условию , если:

1) матрица на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по переменным x, , u соответственно с постоянными a1, a2, a3;

2) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по переменным x, v соответственно с постоянными b1, b2;

3) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по переменным x, v соответственно с постоянными c1, c2;

Если матрица B удовлетворяет условию , то система уравнений (1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра и .

Определение. Вектор назовем бифуркационным значением параметра системы (1) если каждому числу  > 0 соответствует вектор , который удовлетворяет неравенству и при котором система (1) имеет ненулевое -периодическое решение x(t), удовлетворяющее неравенству |x(t)|< при любом значении .

Введем обозначения:

где (t) – вектор-функция, определенная на [0;].

Символом W(R,p) обозначим множество всех непрерывно-дифференцируемых на I -периодических по t вектор-функций (t), для которых при любом значении t выполняются неравенства .

Пусть - множество постоянных векторов , удовлетворяющих условию .

Одновременно с системой уравнений (1) рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

, (2)

где

Пусть - фундаментальная матрица решений системы уравнений (2) и такая что

Тогда любое решение системы (2) определяется равенством

(3)

где  - некоторый постоянный вектор.

Теорема 1. Неподвижные точки оператора (3) во множестве W(R,p) являются -периодическими решениями системы уравнений (1).

Доказательство. Пусть - неподвижная точка оператора (3). Возьмем вектор-функцию (t) и подставим ее в матрицу B(x,,u,) системы (1), получим систему (2),решение которой y(t,) определяется равенством (3). Вектор-функция (t) удовлетворяет равенству (3), следовательно, (t) является решением системы (2). Подставив в систему уравнений (2) (t), получим, что (t) удовлетворяет системе уравнений (1). Таким образом вектор-функция (t) является -периодическим решением системы уравнений (1). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть

1) W и  некоторые не пустые замкнутые компактные множества некоторых линейных нормированных пространств , w- выпуклое множество;

2) на подмножестве множества определен оператор f(y,), такой, что для любого существует единственное значение , удовлетворяющее включению ;

3) из того, что , следует z0=f(y0,z0).

Тогда существуют , удовлетворяющие равенству .

Доказательство. Пусть (k) - произвольное положительное число. Т.к. множество W компактно, то существует конечная (k)-сеть для этого множества, причем

Рассмотрим функции и , определенные на множестве W равенствами:

Функции  непрерывны и определены на множестве W, причем для каждого найдется хотя бы одно I, что  >0, поэтому функции непрерывны на W, следовательно, согласно условию 2), существует единственное , что . Обозначим . Непрерывное отображение определим равенством

Из выпуклости множества W следует, что Гk .

Заключение

Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра =0 имеет пару комплексно сопряженных собственных значений

Рассмотрим условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений (1) с отклоняющимся аргументом в случае, когда матрица линейного приближения A() при критическом значении параметра =0 имеет пару комплексно сопряженных собственных значений

Пусть матрица A() имеет собственные значения и представима с помощью неособого линейного преобразования в виде , где An-2 – матрица ((n-2)*(n-2)), причем ,

Теорема 3. Пусть существуют числа R>0,p>0 такие что

1) на множестве S выполняется неравенство ;

2) матрица B, вектор-функции T,N удовлетворяют условию (*);

3) матрица имеет вид , где функции непрерывны по  и имеют непрерывные частные производные по  в S;

4) , , где , , ;

5) в системе уравнений (1) , непрерывные функции, определенные на множестве , такие что

, , , , , .

Тогда 0=0 бифуркационное значение параметра  системы уравнений (1).

Доказательство. Задача нахождения периодических решений системы уравнений (1) сводится к нахождению периодических решений системы уравнений (2).

Согласно автономности системы уравнений (1), период искомого периодического решения будет отличаться от периода 0, порождающего решения (=0), таким образом положим его равным , причем 0, 00, должно удовлетворять условию cos(0) 0=1, sin (0) 0=0.

Матрицу решений системы уравнений (2) представим в виде :

, (4)

где Z(t,) – матрица решений системы уравнений ,

матрица является решением системы дифференциальных уравнений , причем ||()|| 0 при || || 0 равномерно по .

Пусть множество всех вектор-функций , таких, что для любых значений выполняется соотношение , где k>0 некоторое постоянное число, а .

Множество выпуклое, замкнутое, компактное.

Зафиксируем некоторую функцию . Пусть >0 произвольное число. Если вектор-функция y(t,) удовлетворяет равенству (3), то она является решением системы уравнений (2). Найдем условия при которых вектор-функция y(t,) определенная равенством (3) удовлетворяет условиям

(5)

Нас интересуют -периодические не тождественно равные нулю решения системы уравнений (1). Эти решения будут отличны от нуля при 0. чтобы система уравнений (5) имела не нулевые решения необходимо и достаточно, чтобы

(6)

Из условия 5) теоремы и [8], следует существование числа и неособой матрицы , определитель которой не зависит от , , , такой что матрица

(7)

представима в виде

- матрица ((n-2)*(n-2)), det 0 при =0, все элементы матрицы равны нулю. Матрицы , имеют вид

,

Из условия 3) теоремы следует, что функции непрерывны и ограничены по  в S и | |0 при ||||0 равномерно относительно .

Постоянные R< и p < выберем таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялись неравенства

Определитель матрицы (7) будет равен нулю, если выполняются следующие равенства:

После элементарных преобразований получим

(8)

Введем обозначения

(9)

Учитывая условие 5) теоремы и равенства (8) имеем

(10)

Положим 1=-0 , систему неравенств (10) представим в виде

(11)

Выберем 21 так, чтобы для любых и выполнялись следующие неравенства

(12)

где  >0,  >0.

Систему (11) перепишем в следующем виде , где c=col(,1), , .

Оператор определим равенством

.

Покажем, что оператор является сжимающим в шаре ||c|| 2, т.е. докажем, что для любых принадлежащих шару выполняется неравенство , где 0 < <1.

Рассмотрим

Сделаем оценку, учитывая соотношения (9):

Таким образом, принимая во внимание соотношения (12) получим

где

.

(13)

Аналогично рассмотрим

Сделаем оценку:

Учитывая соотношения (12), получим:

где

.

Тогда

(14)

Из соотношений (13), (14) следует

Если  положить max(P1,P2), то можно выбрать 3 2,  <1,  <1 так, что  будет меньше 1. Следовательно, оператор является сжимающим в шаре ||c|| 3

Покажем, что оператор A преобразует шар ||c|| 4 в себя, т. е. докажем, что имеет место неравенство .

Рассмотрим

Таким образом

(15)

Рассмотрим

Выберем так, чтобы выполнялось неравенство

Следовательно, оператор преобразует шар ||c|| 4 в себя. Таким образом, в шаре ||c|| 4 существует единственная неподвижная точка с* оператора А, которая является решением системы уравнений (10).

Разрешив систему уравнений (10) относительно , 1, представив эти значения в уравнение

получим, что решением этой системы является вектор , (n-1) координата которого равна нулю, а n-ая координата отлична от нуля.

Тогда

(16)

Выберем n-ую координату вектора таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялось неравенство

Из условий 1), 2), 4) теоремы следует существование такого значения k>0, что для любой вектор-функции существуют единственные  и 1 такие, что выполняются следующие неравенства

Убедимся в этом, для этого рассмотрим

Следовательно, k>0 можно выбрать таким образом, что будет выполняться условие .

Таким образом, получили, что

.

Равенство (16) определяет непрерывный оператор на множестве . Применяя теорему 2, получим, что существуют значения такие, что при любом значении t[0,] выполняются равенства

Следовательно, по теореме 1, является -периодическим решением системы уравнений (1), а следовательно является бифуркационным значением параметра  системы уравнений (1).

Заключение

В данной работе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих параметр. Решается задача определения условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в окрестности нулевого решения. В работе дается определение бифуркационного значения параметра, доказывается общая теорема о существовании периодического решения, сводящая исследование проблемы существования периодического решения системы к исследованию проблемы существования неподвижной точки оператора, содержащего параметр. Получено достаточное условие существования периодических решений системы в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет нулевые собственные значения.

Список литературы

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1970. – 332 с.

2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1964. – 272 с.

3. Степанов В.В.Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1953. – 368 с.

4. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. – М.: Изд-во «Прометей» МГПИ им. В.И.Ленина, 1989. – 88 с.

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1963. – 520 с.

6. Заикина Т.И. К вопросу о бифуркации системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае. // Дифференциальные уравнения: сборник научных трудов. – Рязань, 1982. – с.47-57.

7. Заикина Т.И. О некоторых случаях зависимости решений системы дифференциальных уравнений от параметра. // Дифференциальные уравнения: сборник научных трудов. – Рязань, 1982. – с.47-57

8. Гантмахер Ф.Ф. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 575 с.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1968. – 464 с.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.

11. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука, 1970. – 572 с.

12. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. – 232 с.

13. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М: Наука, 1964. – 128 с.