«Предмет и метод математики_Уравнения_Классификация функций» - Реферат

Содержание

Введение 3

1 Предмет и метод математики 4

2 Уравнения: понятия, классификация 6

2.1 Линейные уравнения 6

2.2 Системы линейных уравнений 7

2.3 Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним 9

2.4 Возвратные уравнения 11

3 Функция и её свойства, виды функций 13

Заключение 17

Список использованной литературы 18

Введение

Высшая математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. Для всякого сколько-нибудь сложного сооружения, будь то машина, мост, здание, самолет, необходим целый ряд расчетов, которые при помощи средств одной лишь элементарной математики выполнить было бы невозможно. И в процессе обучения в высших технических учебных заведениях студентам постоянно приходится пользоваться высшей математикой, так как такие предметы, как физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, радиотехника и другие, широко применяют методы высшей математики. Все это объясняет, почему в учебных планах всех технических ВУЗов курсу высшей математики уделяется значительное внимание.

Остановимся коротко на том, чем высшая математика отличается от элементарной, изучаемой в средней школе. Провести между ними совершенно отчетливую границу невозможно, но можно выделить наиболее характерные черты каждой из них.

Основной особенностью всех математических наук является их отвлеченный или абстрактный характер. Но действительность всегда конкретна, и потому математические предложения, как и всякая теория, отражает ее лишь с некоторым приближением.

Те величины, с которыми мы имеем дело при изучении природы, являются величинами, изменяющимися или переменными. В элементарной математике мы обычно отвлекаемся от того, что рассматриваемые величины являются переменными, и принимаем их за постоянные. Это возможно далеко не всегда, а только тогда, когда мы занимаемся величинами, изменения которых невелики, и ими можно пренебречь. Это объясняет, почему область приложения методов элементарной математики, математики постоянных величин, весьма ограничена.

Выдержка из текста работы

1 Предмет и метод математики

На вопрос "Что же такое математика?", как и на вопрос "Что же такое философия" ответить однозначно и конкретно в принципе не возможно. Эти две области мировоззрения весьма обширны и постоянно богатеют все новыми и новыми идеями, так что даже для того чтобы сделать только поверхностный обзор математики потребуется очень много времени, поэтому этим я заниматься не буду, а рассмотрю со своей точки зрения, опираясь на точку зрения Канта, только небольшой вопрос касающийся математики и может частично (далеко не полностью) попытаюсь ответить, что же все таки такое математика. Всякая математика по Канту имеет приложение только к области явлений, а математика чистая т.е. теоретическая, -только к априорно-созерцательным формам, будучи ими же порождена. Кант отрицает, что математические построения отражают свойства объективной реальности. Он прав, полагая, что собственно геометрическое пространство реально вне нас не существует, а абсолютное пространство Ньютона не реально. У Канта пространство и время тоже "абсолютны", но уже в том смысле, что абсолютно не зависят ни от вещей в себе, ни от чувственной эмпирии. Однако очень трудной задачи выяснения статуса математических абстракций и их отношения к действительности он разрешить не смог. Хотя исторически арифметика и геометрия выросли из практического опыта древних, но исходными пунктами при аксиоматическом построении математических дисциплин оказываются не индуктивные обобщения и во многих случаях даже не идеализирующие абстракции от этих обобщений, а так называемые чистые идеальные конструкты.

Правда, в случае, например, геометрии Евклида, в единственности и абсолютной универсальности которой у Канта в общем нет сомнений, ее аксиомы и постулаты в совокупности представляют собой гносеологически еще более сложное образование, будучи совокупным результатом идеализируещего абстрагирования и идеального, т.е. чисто абстрактного, конструирования. В последнем случае отражение объективной реальности в теории происходит "окольным" путем приблизительной интерпретации. Только физическая интерпретация, проверяемая затем в практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из известных ныне геометрических систем истинна, т.е. соответствует свойствам реального физического пространства. Заметим так же, что изображенная Кантом структура математики, которая включает в себя не только чувственную интуицию и синтезирующую конструкцию, но и аналитичность, как бы по частям возродилась в интуиционистском, конструктивистском и чисто аналитическом направлениях философии математики ХХ в.

2 Уравнения: понятия, классификация

Функция вида

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,

где n — натуральное, a0, a1,…, an — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,

где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x)  0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x)  0.

2.1 Линейные уравнения

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

2.4 Возвратные уравнения

Уравнение вида

anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a  0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

— разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a  0;

— группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;

— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2 + bt + c – 2a = 0;

— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

3 Функция и её свойства, виды функций

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов[4, c. 126].

Заключение

Для более полной характеристики предмета высшей математики следует указать, что она изучает переменные величины не изолированно, а в их взаимной связи. Точным математическим понятием, выражающим такую взаимосвязь переменных, является понятие функции. Это основное и важнейшее понятие высшей математики. С ним школьники знакомятся в курсе алгебры, но систематически его изучает именно высшая математика в том разделе, который называется математическим анализом. Дифференциальное и интегральное исчисления представляют собой ветви этого раздела.

В заключение отметим, что при изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Конечно, полностью с этим согласиться нельзя, но нет сомнения, что для инженера одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно. Поэтому студенты должны сочетать изучение лекций с решением задач из задачников по высшей математике.

Список литературы

1. Алгебраический тренажёр. А. Г. Мерзляк. Москва  Харьков, изд. “Илекса”, изд. “Гимназия”, 2003.

2. Готовимся к экзамену по математике. Д. Т. Письменный. Москва, изд. “Айрис”, 1996.

3. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Вавилов В. В., Мельников И. И. Москва, изд. “Наука”, 2003.

4. Алгебра и начала анализа. Издание второе, переработанное и дополненное. А. Г. Мордкович. Москва, изд. “Высшая школа”, 1987.

5. Алгебра. Пособие для самообразования. С. М. Никольский. Москва, изд. “Наука”, 1985.