СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества - Дипломная работа №33443

«Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества» - Дипломная работа

  • 29 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

§1 Кольца множеств.3

§2 Кольца, порожденные полукольца-ми.4

§3 Аддитивные функции множества.7

§4 Равностепенная абсолютная непрерывность возрастающих полумер.11

§5 Равностепенная абсолютная непрерывность полумер, обладающих свойством (С).18

Литература.29


Введение

§1. Кольца множеств.

Определение 1. Непустая система множеств K называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из и всегда следует, что

1) ;

2) .

Множество E называется единицей системы множеств M, если оно принадлежит M и если для любого имеет место равенство

.

Примеры.

1. Класс K, содержащий только пустое множество O.

2. Класс ,содержащий только два множества,пустое множество O и какое-нибудь множество .

3. Класс K всех подмножеств какого-нибудь множества E.

4. Класс K всех конечных подмножеств какого-нибудь множества E.

Теорема 1. Пересечение K = любого множества E колец L также является кольцом.

Доказательство.

Действительно, класс K непуст (он заведомо содержит множество O, поскольку его содержат все кольца L).Пусть , . Тогда , для каждого . Следовательно, , для каждого , поскольку Lкольцо. Следовательно, , . Таким образом, Kкольцо.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств M существует одно и только одно кольцо K(M), содержащее M и содержащееся в любом кольце R, содержащим M.

Доказательство.

Легко видеть, что кольцо K(M) определяется системой M однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение X= всех множеств A, входящих в M, и кольцо T(X) всех подмножеств множества X. Пусть — совокупность всех колец множеств, содержащихся в T(X) и содержащих M. Пересечение P= всех этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом K(M).

Действительно, каково бы ни было кольцо K*, содержащее M, пересечение будет кольцом из и, следовательно, , т. е. P действительно удовлетворяет требованию минимальности. Это кольцо называется минимальным кольцом над M или кольцом, порожденным M, и обозначается K(M).


Выдержка из текста работы

§2.Кольца, порожденные полукольцами.

В дальнейшем всякий набор попарно непересекающихся множеств , объединение которых есть заданное множество A, мы будем называть конечным разложением множества А.

Определение 1. Система множеств M называется полукольцом, если она содержит пустое множество , замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к M множеств A и вытекает возможность представления A в виде , где — попарно непересекающихся множества из M, первое из которых есть заданное множество А1.

Всякое кольцо множеств K является полукольцом, так как если A и входят в К, то имеет место разложение

, где .

Теорема 1. Пусть множества , А принадлежат полукольцу М, причем множества попарно не пересекаются и все содержатся в А. Тогда набор множеств можно дополнить множествами до конечного разложения

, ,

множества А.

Доказательство.

Доказательство проведем по индукции. При справедливость утверждения теоремы вытекает из определения полукольца. Предположим, что это утверждение справедливо для и рассмотрим множеств удовлетворяющих условиям теоремы. По сделанному предположению,

,

где все множества принадлежат М. Положим . По определению полукольца, имеется разложение , где все принадлежат М. Легко видеть, что

.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для , а следова-тельно, и вообще для всех п.

Для каждой системы множеств М существует единственное мини-мальное кольцо, содержащее М. Построение кольца K(М) по М обозримо в том случае, когда М представляет собой полукольцо. Это построение дается следующей теоремой.

Теорема 2. Если М — полукольцо, то К(М) совпадает с системой H множеств A, допускающих конечные разложения

на множества АkМ.

Доказательство.

Покажем, что система Н образует кольцо. Если А и В — два произвольных множества из Н, то имеют место разложения

, , Аi, .

Так как M — полукольцо, то множества

тоже входят в M. В силу теоремы 1 имеют место разложения

A = ; , (1)

где , Из равенств (1) вытекает, что множества и допускают разложения

,

и, следовательно, входят в H. Таким образом, H действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содержащих M, очевидна.

§ 3. Аддитивные функции множества.

Определение 1. Функцию называют аддитивной (конечно-аддитивной), если

- всякий раз, как и имеет место конечное разложение

, (1)

Примеры:

1.Пусть Kкласс всевозможных конечных промежутков Е числовой прямой. Функция задается на K условием длина промежутка Е с концами в точках (левый конец) и (правый конец). Случай не исключается.

2. Пусть — какая-нибудь действительная функция (непрерывная или разрывная) действительной переменной, заданная в некотором промежутке числовой прямой (или на всей числовой прямой). Положим для , где ,

— функция множества, заданная на классе K всевозможных конечных полуинтервалов с концами на . (Здесь можно было бы рас-сматривать и промежутки других типов).

3.Пусть K — класс всевозможных прямоугольников Е, лежащих в плоскости Оху. Функция  задается на K условием = пл. Е (пло-щадь Е).

Простейшие свойства аддитивных функций, заданных на классе К:

I. Если (т. е. пустое множество входит в класс, на котором задана функция), то ; в частности, это будет так, если К — кольцо или полукольцо.

Доказательство.

Так как О=ОО —разложение (слагаемые в правой части не имеют общих элементов!), то , откуда .

II. Если – см. рис.1, то

;

в частности, это будет так, если К – кольцо, .

Рис.1.

Доказательство.

Имеет место разложение и поэтому

, откуда и следует требуемое.

Следствие.

Если K — кольцо, то

,

.

Действительно, , причем справа — разложение; , причем ; все фигурирующие здесь множества принадлежат кольцу К. Поэтому . С другой стороны, и, следовательно, .

III. Если и аддитивны, то аддитивны и функции , (заданные на том же классе К).

В самом деле, если – конечное разложение, , , то

,

,

что, собственно, и требовалось доказать.

IV. Если К — кольцо, то в определении конечной аддитивности достаточно ограничиться случаем двух слагаемых, так как в данном случае это влечет за собой выполнение условия (1) для любого конечного числа слагаемых.

Действительно, если — разложение и , то

§4. Равностепенная абсолютная непрерывность возрастающих полумер.

Пусть - некоторое множество; и - некоторые кольца подмножеств множества , причем ; - нормированное пространство с нормой .

Если не оговоренно противное, предполагается, что рассматриваемые функции множества определенны на кольце и принимают значения из пространства или из .

Если - -значная функция множества, то положим

Очевидно, что если - значная функция - монотонна, то

, .

Определение 1. Говорят, что функции множества семейства обладают свойствами РОУН (равномерного отсутствия ускользающей нагрузки) на классе множеств , если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

равномерно относительно .

Определение 2. Функцию множества назовём полуаддитивной, если для любых двух дизъюнктивных множеств и выполняется соотношение

Определение 3. -значную функцию множества называют полумерой, если - полуаддитивная, монотонная и (Ø)=0.

Определение 4. Пусть и - две последовательности - значных функций множества. Говорят, что функции множества последовательности равностепенно абсолютно непрерывны на классе множеств относительно функций множества последовательности (пишем на ), если для любого существует такое, что для любого номера и для любого множества , для которых

В случае, если и , будем говорить, что функция абсолютно непрерывна относительно функции (и писать на ).

Из определения 4. непосредственно следует, что если на , то для любого номера на .

Следующий пример показывает, что, вообще говоря, из условия на для любого номера не вытекает условие на .

Пример:

Пусть ; S – алгебра, порожденная полуинтервалами , где ; - мера Лебега на отрезке . Положим

,

Очевидно, что и - меры, определенные на алгебре S, причем на S для любого номера

Так как , то условие на S не выпол-няется.

В следующей теореме доказано достаточное условие, которому должны удовлетворять функции множества последовательностей и , чтобы из условия: для любого номера n следовало .

Теорема 1. Пусть и - две последовательности R+ - знач-ных функций множества, заданных на кольце S, причём функции являются полумерами. Если

1) , на кольце ;

2) полумеры последовательностей обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность является возрастающей на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует такое число , что для любого числа и для любого номера N0 найдутся номер и множество , для которых

и (1)

Положим . Для числа найдем число в силу усло-вия . В силу (1) существует номер и множество , для которого и

Очевидно, что

и

Для числа найдем такое число , что как только

, так . (2)

По предположению существует номер и множество , для ко-торых

и (3)

Из (2), (3) и условия 3) теоремы следует

и

Продолжив процесс неограниченно, построим последовательность и последовательность полумер , такие, что

, (4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последовательность множеств , что

(21)

(22)

Так как не имеет ускользающей нагрузки на S, а последовательность множеств - убывающая, то существует такой номер N, что

.

Пусть . Тогда

,

что противоречит (22).

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Следствие 1. Пусть - некоторое семейство аддитивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - такая - значная функция множества, что на S для любой . Тогда на S.

Следствие 2. Пусть - некоторое семейство X- значных адди-тивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - неотрицательная конечно аддитивная функция множества такая, что на S. Тогда на S.

§5. Равностепенная абсолютная непрерывность полумер, обладающих свойством (С).

Определение 1. Будем говорить, что последовательность функций множества обладает свойством (С) на классе множеств , если для любой последовательности множеств , для которой выполняется условие

Определение 2. Пусть и - -значные функции множества. Будем говорить, что пара сконденсирована на классе множеств , если для любого и для любого существует такое, что

и

Из определения 1 следует, что любая возрастающая последовательность -значных функций множества обладает свойством (С), но, как показывает пример 1 §5, обратное не верно.

Теорема 1. Пусть и - две последовательности полумер, заданных на кольце S. Если

1) на кольце S, ;

2) полумеры последовательности обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность полумер обладает свойством (С) на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное.

Тогда существует число и последовательность множеств та-кие, что

(1)

Из (1) в силу условия 3) теоремы следует

(2)

Поэтому существует такая последовательность множеств , что

.

Так как

,

то существует такая подпоследовательность множеств , что

.

Аналогично выделим подпоследовательность множеств такую, что

.

Процесс продолжим неограниченно. В результате этого процесса построим подпоследовательность множеств и подпоследователь-ность функций множества ,такие, что

(3)

Полагая соотношения (3) можно записать в виде

(4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы 1 §4, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последова-тельность множеств , что

(21)

(22)

Так как полумеры, то из (21) и (14) следует

. (23)

Для числа найдем в силу условия . В силу (23) существует номер и номер ,такие, что

.

Тогда

,

но

.

Аналогично, исходя из условия 3) теоремы для числа найдем положительное число из соотношения (2),(3) (§4) следует, что существует номер и номер ,для которых

.

Тогда

,

но

.

Продолжив процесс неограниченно, построим подпоследователь-ность натуральных чисел , что

,

(24)

Положим

тогда

.

Так как - мера, то следует

(25)

Из (24) и (25) получим

.

Итак, получили

Получили противоречие, так как множества и попарно не пересекается.

Полученное противоречие и доказывает нашу теорему.

Пример 1. Пусть множество T, алгебра S и мера - те же, что и в примере 1 §4. Положим

Очевидно, что для любого номера . К последова-тельностям и теорема 1 §4 не применима, так как нарушено условие 3), но меры последовательности обладают свойством (С), а поэтому в силу теоремы 1 §5

на S.

Условие 3) в теореме 1 §5 является существенным. Ясно, что для любого номера . Меры последовательности не обла-дают свойством (С). Легко видеть, что условие не выполняется.


Заключение

Следствие 1. Пусть и - две последовательности полумер, задан-ных на кольце S. Если

1) на кольце ;

2) полумеры последовательности обладают свойством РОУН на R;

3) полумеры последовательности обладают свойством (С) на кольце R;

4) каждая пара полумер сконденсирована на кольце R, то на S.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует число и последовательность множеств , для которых

(26)

Так как каждая пара полумер сконденсирована на кольце , то для множества существует множество такое, что

(27)

Из (25) и (26) имеет достаточно больших номеров k

(28)

С другой стороны, в силу теоремы 1 §5 на кольце R, что противоречит (28).

Полученные противоречие и доказывает следствие.

Следствие 2. Пусть и - две последовательности аддитив-ных функций множества, заданных на кольце S. Если

1) на кольце ;

2) функции последовательности обладают свойством РОУН на ;

3) последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R;

4) каждая пара полумер сконденсирована на кольце R, то на S.

Доказательство.

В силу следствия 1 §4 достаточно доказать, что функции множества последовательности обладают свойством РОУН на кольце , а последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R.

Предположим, что последовательность функций не обладает свойством (С) на кольце R. Тогда существует последовательность мно-жеств , для которой

(1)

и существует число и номер k, для которых

.

Найдем такие множества , что

(2)

В силу условия сконденсированности существуют множества , для которых

(3)

Положим

Очевидно, что

,

, (4)

,

.

Из (2), (3), (4) в силу аддитивности функции получаем

(5)

С другой стороны, в силу неравенства и условия (1) имеем

.

По условию последовательность обладают свойством (С) на кольце R, поэтому

что противоречит (5).

Полученное противоречие доказывает, что последовательность не обладает свойством (С) на кольце R.


Список литературы

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории вещественной переменной (введение в теорию интеграла). Главная редакция физико-математической литературы «Наука» 1973.

2. Климким В.М. О равностепенной абсолютной непрывно-сти//Математические заметки №2, 1979.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов – 6-е издание, испр.- М.: Наука. Гл. Ред. Физ.- мат. Лит., 1989.

4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Главная редакция физико- математической литературы изда-тельства «Наука», 1974.

5. Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физико- ма-тематической литературы издательства «Наука», 1976.


Тема: «Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества»
Раздел: Математика
Тип: Дипломная работа
Страниц: 29
Цена: 1100 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Методика изучения равномерной ограниченности регулярных функций множества

    24 страниц(ы) 

    Введение .3
    1. Топологические пространства, компактные пространства 4
    2. Свойства слабо регулярных треугольных функций множества ….6
    3. Равномерная ограниченность регулярных треугольных функций множества .11
    Литература 21
  • Дипломная работа:

    Методическое обеспечение курса "теория функций действительной переменной"

    68 страниц(ы) 

    Введение. 4
    Предисловие 5
    Глава 1. Системы множеств 6
    §1. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
    §2. Кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    §3. Полукольцо множеств 10
    §4. σ-алгебры 12
    Глава 2. Общее понятие меры 13
    §1. Мера 13
    §2. Сигма-аддитивность 16
    §3. Лебегово продолжение меры 20
    §4. Мера Лебега на Rn 22
    Глава 3. Измеримые функции 26
    §1. Определения, основные свойства, действия над измеримыми функциями. 26
    §2. Сходимость измеримых функций. 29
    §3. Эквивалентность. 30
    §4. Сходимость почти всюду 31
    §5. Теорема Егорова. 32
    §6. Сходимость по мере. 34
    §7. Теорема Лузина. С- свойство. 35
    Глава 4. Интеграл Лебега 36
    §1. Простые функций. 36
    §2. Интеграл Лебега для простых функций. 37
    §3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. 39
    §4. σ - аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. 43
    §5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. 49
    §6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. 53
    §7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 54
    Глава 5. Прямые произведения мер. Теорема Фубини 57
    §1. Произведение мер. 57
    §2. Теорема Фубини. 58
    Глава 6. Пространства суммируемых функций 60
    §1. Пространство L1 60
    §2. Пространство L2 63
    Заключение. 67
    Литература 68
  • Контрольная работа:

    Теория вероятностей и математическая статистика

    44 страниц(ы) 

    ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 4
    ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 6
    ТЕМА 3. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ 11
    ТЕМА 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 13
    ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 17
    ТЕМА 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫИ ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 21
    ТЕМА 7. НЕКОТОРЫЕ ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 25
    ТЕМА 8. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 29
    ТЕМА 9. ОЦЕНКА ДОЛИ ПРИЗНАКА И ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ 34
    ТЕМА 10. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 40
    ТЕМА 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ 43
  • Дипломная работа:

    Рост целых функций и их приложение к школьному курсу математики

    28 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА . ПОНЯТИЕ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ 5
    1.1.Определение целых функции 5
    1.2.Порядок и рост целой функции 12
    1.3. -порядок целой функции 17
    ГЛАВА . 21
    ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 21
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
    ЛИТЕРАТУРА 24
  • Шпаргалка:

    Список вопросов к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

    117 страниц(ы) 

    Основные понятия теории функций
    1. Понятие множества. Отношения и операции над множествами.
    2. Множества натуральных N, целых Z, рациональных Q и вещественных R чисел.
    3. Представление вещественных чисел на числовой оси. Декартова система координат на плоскости.
    4. Числовые множества: интервалы, отрезки, полуотрезки, окрестности.
    5. Понятие функции, её области определения и множества значений. Способы задания функций.
    6. Числовые функции. Чётные, нечётные, возрастающие, убывающие, периодические функции. Примеры.
    7. Понятие сложной и обратной функций. Элементарные функции.
    8. Степенная функция: способ определения, область определения, основные свойства и графики.
    9. Показательная функция: способ и область определения, основные свойства и графики.
    10. Логарифмическая функция: способ и область определения, основные свойства и графики.
    11. Тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.
    12. Обратные тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.
    Теория пределов и непрерывность функции
    13. Понятие и определение предела функции в точке.
    14. Основные свойства пределов.
    15. Первый и второй замечательные пределы, их геометрическая интерпретация.
    16. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.
    17. Основные приёмы, применяемые при вычислении пределов. Раскрытие
    18. неопределённостей.
    19. Односторонние пределы функции.
    20. Предел функции в бесконечности.
    21. Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
    22. Классификация точек разрыва функции
    23. Понятие числовой последовательности и её предела.
    Основы дифференциального исчисления
    24. Определение производной и её геометрический и экономический смысл. Различные обозначения производной. Размерность производной.
    25. Касательная к графику функции.
    26. Дифференцируемость функции в точке и на интервале.
    27. Производные основных элементарных функций (табличные производные).
    28. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения функций.
    29. Правила дифференцирования сложной функции.
    30. Понятие дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.
    31. Производные высших порядков.
    32. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
    33. Формула Лагранжа.
    34. Формула Тейлора.
    35. Формула Маклорена.
    36. Возрастание и убывание функции на интервале. Использование производной для определения интервалов возрастания и убывания функции.
    37. Понятие локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции в точке.
    38. Поиск экстремума функции на отрезке.
    39. Выпуклость графика функции. Определение интервалов и направления выпуклости графика функции.
    40. Понятие точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции в точке.
    41. Асимптоты графика функции.
    42. Общая схема исследования функции и построения её графика.
    Основы интегрального исчисления
    43. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его основные свойства.
    44. Табличные интегралы. Понятие о "неберущихся" интегралах.
    45. Метод интегрирования с помощью замены переменной (подстановкой).
    46. Метод интегрирования по частям.
    47. Определённый интеграл и его геометрический и экономический смысл.
    48. Основные свойства определённого интеграла.
    49. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница).
    50. Вычисление определённых интегралов с помощью замены переменной.
    51. Вычисление определённых интегралов интегрированием по частям.
    52. Вычисление площадей фигур с криволинейными границами.
    53. Понятие несобственных интегралов первого рода и их сходимость.
    54. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
    Ряды
    55. Понятие числового ряда и его сходимости. Классификация рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
    56. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
    57. Признак сходимости знакопеременных рядов.
    58. Степенной ряд. Радиус сходимости и множество сходимости.
    Функции многих переменных
    59. Частные производные функции многих переменных и правила их вычисления.
    60. Линия уровня, градиент и производная по направлению функции многих переменных и их смысл.
    61. Частные производные высших порядков.
    62. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
    Дифференциальные уравнения
    63. Понятие об ОДУ. Частное и общее решение ОДУ. Интеграл ОДУ. Начальные условия.
    64. ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и метод их решения.
    65. Линейные ОДУ первого порядка и метод их решения.
  • Реферат:

    Предмет и метод математики_Уравнения_Классификация функций.

    18 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Предмет и метод математики 4
    2 Уравнения: понятия, классификация 6
    2.1 Линейные уравнения 6
    2.2 Системы линейных уравнений 7
    2.3 Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним 9
    2.4 Возвратные уравнения 11
    3 Функция и её свойства, виды функций 13
    Заключение 17
    Список использованной литературы 18

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • ВКР:

    Кейс-технология на уроках информатики как средство развития познавательного интереса

    52 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЕЙС-ТЕХНОЛОГИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ОБУЧАЮЩИХСЯ 6
    1.1. Понятие познавательного интереса обучающихся 6
    1.2. Кейс-технология: история разработки и реализация в образовательном процессе 13
    1.3. Применение кейс-технологии на уроках информатики для развития познавательного интереса обучающихся 20
    Выводы по первой главе 26
    ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗВИТИЮ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ОБУЧАЮЩИХСЯ 28
    2.1. Диагностика уровня сформированности познавательного интереса на уроках информатики 28
    2.2. Реализация кейс-технологии на уроках информатики для развития познавательного интереса обучающихся 34
    2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по развитию познавательного интереса обучающихся 43
    Выводы по второй главе 47
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 50
    ПРИЛОЖЕНИЕ
  • Дипломная работа:

    Реализация принципа учета родного языка при обучении грамматике английского языка

    63 страниц(ы) 

    Введение….3
    Глава 1. Принцип учета родного языка как ведущий принцип современной методики обучения иностранным языкам….6
    1.1. Роль родного языка в овладении иноязычной речью на различных этапах развития методики обучения иностранным языкам…6
    1.2. Современная трактовка роли родного языка в обучении иностранному языку….12
    Выводы по главе 1….19
    Глава 2. Теоретические основы обучения грамматике иностранного языка….22
    2.1. Цели и содержание обучения грамматике иностранного языка….22
    2.2. Краткая сравнительная характеристика грамматических явлений иностранного и русского языков. Методическая классификация грамматических явлений английского языка….27
    2.3. Проблема межъязыковой интерференции и пути ее преодоления.34
    Выводы по главе 2….39
    Глава 3. Исследование реализации принципа учета родного (русского) языка в обучении грамматике на базе МОУ СОШ № 4 ГО г.Уфа….41
    3.1.Сравнительный анализ учебников английского языка “Happy English.ru” для 5 класса авторы Кауфман М. и Кауфман К. и “English-5” для 5 класса автор Кузовлев В.П.….41
    3.2. Обобщение собственного опыта работы….48
    Выводы по главе 3….53
    Заключение….55
    Список использованной литературы….60
    Приложения….65
  • Дипломная работа:

    Хәзерге татар прозасында герой проблемасы һәм аны хәл итүдә әдәби тәнкыйтьнең эшчәнлеге

    72 страниц(ы) 

    I бүлек. Хәзерге татар прозасында герой проблемасы һәм аны хәл итүдә әдәби тәнкыйтьнең эшчәнлеге….
    II бүлек. ХХ гасырның 90 нчы еллар тәнкыйтендә әдәби мираска
    мөнәсәбәт…
    Хәзерге татар әдәбиятында милләт язмышы мәсьәләсе….
    Ђдәбиятта милли каһарман образын тергезү…
    Милләт язмышы мәсьәләсен яктырту….
    Ђдәбияттагы яңа сыйфатны бәяләү….

    ЙОМГАК ….….…. 66
    БИБЛИОГРАФИЯ …. 68
  • Дипломная работа:

    Развитие музыкального вкуса у детей младшего школьного возраста на уроках музыки

    61 страниц(ы) 

    Введение….…3
    Глава I.Теоретические основы формирования музыкального вкуса у школьников.7
    1.1.Развитие музыкального вкуса как педагогическая проблема.7
    1.2. Особенности развития музыкального вкуса у детей младшего школьного возраста….14
    Глава II. Экспериментальное исследование развития музыкального вкуса учащихся….22
    2.1. Содержание, формы и методы развития музыкального вкуса на музыкальных занятиях….22
    2.2. Педагогический эксперимент и его результаты….39
    Заключение….47
    Список литературы…49
    Приложения….….53
  • Дипломная работа:

    Названия деревьев в толковом словаре башкирского языка и их использование на уроках

    44 страниц(ы) 

    ИНЕШ….….
    I БҮЛЕК. АҒАС АТАМАЛАРЫН ӨЙРӘНЕҮ ҮҘЕНСӘЛЕКТӘРЕ…
    1.1. Ағас атамаларының өйрәнелеү тарихы…
    1.2. Ағас һәм урман кәсептәренең тарихи һәм лингвоэтнографик үҫеше
    II БҮЛЕК. БАШКОРТ ТЕЛЕНДӘ АҒАС АТАМАЛАРЫ ҺӘМ УЛАРҘЫ КЛАССИФИКАЦИЯЛАУ….….
    2.1. Ағас атамаларына килеп сығышы буйынса характеристика
    2.2. Ағас атамаларының лексик-семантик классификацияһы.….
    2.3. Ағас атамаларын һүҙьяһалыш күҙлегенән тикшереү…
    III БҮЛЕК. МӘКТӘПТӘ АҒАС АТАМАЛАРЫН ӨЙРӘНЕҮ ҮҘЕНСӘЛЕКТӘРЕ….….
    3.1. Башҡорт теле дәрестәрендә ағас атамаларын экологик тәрбиә сараһы булараҡ ҡулланыу…
  • Дипломная работа:

    Коммуникативное пространство современного музея как дидактический феномен

    91 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МУЗЕЯ С ПОСЕТИТЕЛЯМИ 10
    1.1 Информационно-коммуникативные средства деятельности музея 10
    1.2 Формы и методы коммуникационного взаимодействия в пространстве музея 16
    1.3 Музейный квест как одна из форм взаимодействия посетителей в современном музее 22
    ГЛАВА 2. МУЗЕЙНАЯ ПЕДАГОГИКА В СИСТЕМЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СОВРЕМЕННОГО МУЗЕЯ 35
    2.1 Научно-практический характер музейной педагогики и ее направления 35
    2.2 Изучение музейной аудитории и результативность форм и методов культурно-образовательного взаимодействия с ней 44
    2.3 Психолого-педагогическая оценка музейного квеста и эффективность его использования в современном музее 49
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 61
    ПРИЛОЖЕНИЕ 70
  • Дипломная работа:

    Развитие художественного вкуса будущих дизайнеров

    99 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 5
    ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ВКУСА БУДУЩИХ ДИЗАЙНЕРОВ В ПРОЦЕССЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ 15
    Профессиональная подготовка дизайнеров в системе высшего образования 15
    1.2. Развитие художественного вкусабудущих дизайнеров как составная часть профессиональной подготовки 24
    1.3. Педагогические условия развития художественного вкуса будущих дизайнеров.в системе высшего профессионального образования 38
    Выводы по первой главе 58
    ГЛАВА II. ОРГАНИЗАЦИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО РАЗВИТИЮ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ВКУСА У БУДУЩИХ ДИЗАЙНЕРОВ СРЕДСТВАМИ ДЕКОРАТИВНО-ПРИКЛАДНОГО ИСКУССТВА 60
    2.1. Измерение первоначальных уровней развития художественного вкуса студентов 60
    2.2. Реализация педагогических условийразвития художественного вкуса будущих дизайнеров в процессе обучения художественной росписи по ткани. 75
    Выводы по второй главе 82
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 83
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 85
  • Дипломная работа:

    Творческий портрет а. тагировой: перспектива изучения в школе

    93 страниц(ы) 

    ИНЕШ…3
    I БҮЛЕК. ӘНИСӘ ТАҺИРОВА ИЖАДЫНЫҢ ЛИРИК АСЫЛЫ….….….7
    1.1. Пейзаж лирикаһы….….….….13
    1.2. Гражданлыҡ лирикаһы….….…18
    1.3. Мөхәббәт лирикаһы….22
    1.4. Әнисә Таһирова – тәржемәсе.….29
    II БҮЛЕК. ӘНИСӘ ТАҺИРОВА ИЖАДЫН МӘКТӘПТӘ ӨЙРӘНЕҮ….42
    2.1. Шағирәнең биографияһын өйрәнеү.42
    2.2. Сонет жанрының теоретик нигеҙҙәре һәм уның башҡорт әҙәбиәтендә тотҡан урынын өйрәнеү….…54
    2.3. Әнисә Таһирова сонеттарын яңы талаптарға ярашлы рәүештә мәктәптә өйрәнеү юлдары.….….66
    ЙОМҒАҠЛАУ….79
    ӘҘӘБИӘТ….….….….84
    ҠУШЫМТА 1….….…90
    ҠУШЫМТА 2….96
  • Дипломная работа:

    Особенности когнитивных нарушений у лиц с алкогольной зависимостью

    117 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОСОБЕННОСТЕЙ КОГНИТИВНЫХ НАРУШЕНИЙ У ЛИЦ С АЛКОГОЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ 8
    1.1. Различные подходы к изучению когнитивных процессов в психологии 8
    1.2. Патологии психических процессов 12
    1.3. Психологические факторы алкоголизма и особенности больных алкоголизмом 22
    1.4. Механизмы влияния алкоголя на когнитивные нарушения у лиц, страдающих алкогольной зависимостью 29
    Выводы по первой главе 35
    ГЛАВА II. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ КОГНИТИВНЫХ НАРУШЕНИЙ У ЛИЦ С АЛКОГОЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ 37
    2.1. Организация и методы исследования 37
    2.2. Результаты исследования и их интерпретация 39
    2.3. Программа тренинга по профилактике когнитивных нарушений для лиц с алкогольной зависимостью 50
    Выводы по второй главе 55
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 56
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 58
    ПРИЛОЖЕНИЕ
  • Шпаргалка:

    Информатика в экономике

    255 страниц(ы) 


    ПРЕДИСЛОВИЕ
    ВВЕДЕНИЕ
    Часть 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ
    ГЛАВА 1. ИНФОРМАТИКА И ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА
    1.1. Цель, задачи, предмет и метод информатики
    1.2. Основные понятия и определения
    1.3. Информационные системы и системы управления
    1.4. Информационные процессы и технологии
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 2. ОСНОВЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ
    2.1. Кодирование и измерение информации
    2.2. Позиционные системы счисления
    2.3. Арифметические и логические операции
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 3. АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
    3.1. Состав и назначение основных элементов компьютера. Принципы его работы
    3.2. Выполнение программы процессором
    3.3. Вычислительные системы
    3.4. Понятие, назначение, отличительные особенности, архитектура и классификация персональных компьютеров
    3.5. Критерии выбора персонального компьютера
    3.6. Перспективы и направления развития персонального компьютера
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА РЕАЛИЗАЦИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
    4.1. Назначение программных средств, их состав и классификация
    4.2. Системное программное обеспечение
    4.3. Понятие, назначение и состав прикладного программного обеспечения
    4.4. Технология программирования
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 5. КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ
    5.1. Понятие и архитектура компьютерных сетей
    5.2. Классификация компьютерных сетей
    5.3. Эталонная модель взаимодействия открытых систем
    5.4. Архитектура «клиент-сервер
    5.5. Локальные вычислительные сети
    5.6. Понятие, назначение, структура и компоненты корпоративной сети
    5.7. Назначение, структура и состав сети Интернет. Административное устройство Интернета
    5.8. Порталы
    Контрольные вопросы и задания
    Часть 2. РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА
    ГЛАВА 6. МОДЕЛИ КАК ОСНОВА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРОВ В ПРАКТИКЕ УПРАВЛЕНИЯ
    6.1. Информационное моделирование экономических процессов
    6.2. Алгоритмы и формы их представления
    6.3. Структуры и модели данных
    6.4. Базы знаний
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА
    7.1. Режимы работы пользователя на компьютере
    7.2. Базы данных и системы управления базами данных
    7.3. Содержание типовых информационных процессов
    7.4. Методы компьютерного решения экономических задач
    7.5. Этапы компьютерного решения экономических задач
    Контрольные вопросы и задания
    Часть 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БАЗОВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ СРЕДСТВ В ЭКОНОМИКЕ
    ГЛАВА 8. РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДЕ MS OFFICE
    8.1. Табличные вычисления в среде MS Excel
    8.2. Постановка и решение экономической задачи в среде MS Excel
    8.3. Общие сведения и организация вычислений в среде MS Access
    8.4. Постановка и решение экономических задач в среде MS Access
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СРЕДЕ MS NAVISION
    9.1. Общие сведения о MS Navision
    9.2. Хранилища данных и их применение для аналитической обработки данных
    9.3. Постановка и решение аналитической задачи
    для формирования решений в среде MS Navision
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 10. СЕРВИС И ТЕХНОЛОГИИ ИНТЕРНЕТА
    10.1. Поиск информации в Интернете
    10.2. Электронная почта
    10.4. Создание Web-страниц
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 11. СОЗДАНИЕ И ПРОВЕДЕНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИЙ
    11.1. Основные сведения о системе презентаций MS PowerPoint
    11.2. Создание презентации
    11.3. Использование презентаций, эффекты анимации
    Контрольные вопросы и задания
    ГЛАВА 12. ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ И ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
    12.1. Методы и средства защиты информации
    12.2. Криптографические методы защиты информации
    12.3. Организация защиты данных в среде MS Access
    Контрольные вопросы и задания
    СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
    ЛИТЕРАТУРА