СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества - Дипломная работа №33443

«Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества» - Дипломная работа

  • 29 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

§1 Кольца множеств.3

§2 Кольца, порожденные полукольца-ми.4

§3 Аддитивные функции множества.7

§4 Равностепенная абсолютная непрерывность возрастающих полумер.11

§5 Равностепенная абсолютная непрерывность полумер, обладающих свойством (С).18

Литература.29


Введение

§1. Кольца множеств.

Определение 1. Непустая система множеств K называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из и всегда следует, что

1) ;

2) .

Множество E называется единицей системы множеств M, если оно принадлежит M и если для любого имеет место равенство

.

Примеры.

1. Класс K, содержащий только пустое множество O.

2. Класс ,содержащий только два множества,пустое множество O и какое-нибудь множество .

3. Класс K всех подмножеств какого-нибудь множества E.

4. Класс K всех конечных подмножеств какого-нибудь множества E.

Теорема 1. Пересечение K = любого множества E колец L также является кольцом.

Доказательство.

Действительно, класс K непуст (он заведомо содержит множество O, поскольку его содержат все кольца L).Пусть , . Тогда , для каждого . Следовательно, , для каждого , поскольку Lкольцо. Следовательно, , . Таким образом, Kкольцо.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств M существует одно и только одно кольцо K(M), содержащее M и содержащееся в любом кольце R, содержащим M.

Доказательство.

Легко видеть, что кольцо K(M) определяется системой M однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение X= всех множеств A, входящих в M, и кольцо T(X) всех подмножеств множества X. Пусть — совокупность всех колец множеств, содержащихся в T(X) и содержащих M. Пересечение P= всех этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом K(M).

Действительно, каково бы ни было кольцо K*, содержащее M, пересечение будет кольцом из и, следовательно, , т. е. P действительно удовлетворяет требованию минимальности. Это кольцо называется минимальным кольцом над M или кольцом, порожденным M, и обозначается K(M).


Выдержка из текста работы

§2.Кольца, порожденные полукольцами.

В дальнейшем всякий набор попарно непересекающихся множеств , объединение которых есть заданное множество A, мы будем называть конечным разложением множества А.

Определение 1. Система множеств M называется полукольцом, если она содержит пустое множество , замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к M множеств A и вытекает возможность представления A в виде , где — попарно непересекающихся множества из M, первое из которых есть заданное множество А1.

Всякое кольцо множеств K является полукольцом, так как если A и входят в К, то имеет место разложение

, где .

Теорема 1. Пусть множества , А принадлежат полукольцу М, причем множества попарно не пересекаются и все содержатся в А. Тогда набор множеств можно дополнить множествами до конечного разложения

, ,

множества А.

Доказательство.

Доказательство проведем по индукции. При справедливость утверждения теоремы вытекает из определения полукольца. Предположим, что это утверждение справедливо для и рассмотрим множеств удовлетворяющих условиям теоремы. По сделанному предположению,

,

где все множества принадлежат М. Положим . По определению полукольца, имеется разложение , где все принадлежат М. Легко видеть, что

.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для , а следова-тельно, и вообще для всех п.

Для каждой системы множеств М существует единственное мини-мальное кольцо, содержащее М. Построение кольца K(М) по М обозримо в том случае, когда М представляет собой полукольцо. Это построение дается следующей теоремой.

Теорема 2. Если М — полукольцо, то К(М) совпадает с системой H множеств A, допускающих конечные разложения

на множества АkМ.

Доказательство.

Покажем, что система Н образует кольцо. Если А и В — два произвольных множества из Н, то имеют место разложения

, , Аi, .

Так как M — полукольцо, то множества

тоже входят в M. В силу теоремы 1 имеют место разложения

A = ; , (1)

где , Из равенств (1) вытекает, что множества и допускают разложения

,

и, следовательно, входят в H. Таким образом, H действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содержащих M, очевидна.

§ 3. Аддитивные функции множества.

Определение 1. Функцию называют аддитивной (конечно-аддитивной), если

- всякий раз, как и имеет место конечное разложение

, (1)

Примеры:

1.Пусть Kкласс всевозможных конечных промежутков Е числовой прямой. Функция задается на K условием длина промежутка Е с концами в точках (левый конец) и (правый конец). Случай не исключается.

2. Пусть — какая-нибудь действительная функция (непрерывная или разрывная) действительной переменной, заданная в некотором промежутке числовой прямой (или на всей числовой прямой). Положим для , где ,

— функция множества, заданная на классе K всевозможных конечных полуинтервалов с концами на . (Здесь можно было бы рас-сматривать и промежутки других типов).

3.Пусть K — класс всевозможных прямоугольников Е, лежащих в плоскости Оху. Функция  задается на K условием = пл. Е (пло-щадь Е).

Простейшие свойства аддитивных функций, заданных на классе К:

I. Если (т. е. пустое множество входит в класс, на котором задана функция), то ; в частности, это будет так, если К — кольцо или полукольцо.

Доказательство.

Так как О=ОО —разложение (слагаемые в правой части не имеют общих элементов!), то , откуда .

II. Если – см. рис.1, то

;

в частности, это будет так, если К – кольцо, .

Рис.1.

Доказательство.

Имеет место разложение и поэтому

, откуда и следует требуемое.

Следствие.

Если K — кольцо, то

,

.

Действительно, , причем справа — разложение; , причем ; все фигурирующие здесь множества принадлежат кольцу К. Поэтому . С другой стороны, и, следовательно, .

III. Если и аддитивны, то аддитивны и функции , (заданные на том же классе К).

В самом деле, если – конечное разложение, , , то

,

,

что, собственно, и требовалось доказать.

IV. Если К — кольцо, то в определении конечной аддитивности достаточно ограничиться случаем двух слагаемых, так как в данном случае это влечет за собой выполнение условия (1) для любого конечного числа слагаемых.

Действительно, если — разложение и , то

§4. Равностепенная абсолютная непрерывность возрастающих полумер.

Пусть - некоторое множество; и - некоторые кольца подмножеств множества , причем ; - нормированное пространство с нормой .

Если не оговоренно противное, предполагается, что рассматриваемые функции множества определенны на кольце и принимают значения из пространства или из .

Если - -значная функция множества, то положим

Очевидно, что если - значная функция - монотонна, то

, .

Определение 1. Говорят, что функции множества семейства обладают свойствами РОУН (равномерного отсутствия ускользающей нагрузки) на классе множеств , если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

равномерно относительно .

Определение 2. Функцию множества назовём полуаддитивной, если для любых двух дизъюнктивных множеств и выполняется соотношение

Определение 3. -значную функцию множества называют полумерой, если - полуаддитивная, монотонная и (Ø)=0.

Определение 4. Пусть и - две последовательности - значных функций множества. Говорят, что функции множества последовательности равностепенно абсолютно непрерывны на классе множеств относительно функций множества последовательности (пишем на ), если для любого существует такое, что для любого номера и для любого множества , для которых

В случае, если и , будем говорить, что функция абсолютно непрерывна относительно функции (и писать на ).

Из определения 4. непосредственно следует, что если на , то для любого номера на .

Следующий пример показывает, что, вообще говоря, из условия на для любого номера не вытекает условие на .

Пример:

Пусть ; S – алгебра, порожденная полуинтервалами , где ; - мера Лебега на отрезке . Положим

,

Очевидно, что и - меры, определенные на алгебре S, причем на S для любого номера

Так как , то условие на S не выпол-няется.

В следующей теореме доказано достаточное условие, которому должны удовлетворять функции множества последовательностей и , чтобы из условия: для любого номера n следовало .

Теорема 1. Пусть и - две последовательности R+ - знач-ных функций множества, заданных на кольце S, причём функции являются полумерами. Если

1) , на кольце ;

2) полумеры последовательностей обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность является возрастающей на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует такое число , что для любого числа и для любого номера N0 найдутся номер и множество , для которых

и (1)

Положим . Для числа найдем число в силу усло-вия . В силу (1) существует номер и множество , для которого и

Очевидно, что

и

Для числа найдем такое число , что как только

, так . (2)

По предположению существует номер и множество , для ко-торых

и (3)

Из (2), (3) и условия 3) теоремы следует

и

Продолжив процесс неограниченно, построим последовательность и последовательность полумер , такие, что

, (4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последовательность множеств , что

(21)

(22)

Так как не имеет ускользающей нагрузки на S, а последовательность множеств - убывающая, то существует такой номер N, что

.

Пусть . Тогда

,

что противоречит (22).

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Следствие 1. Пусть - некоторое семейство аддитивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - такая - значная функция множества, что на S для любой . Тогда на S.

Следствие 2. Пусть - некоторое семейство X- значных адди-тивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - неотрицательная конечно аддитивная функция множества такая, что на S. Тогда на S.

§5. Равностепенная абсолютная непрерывность полумер, обладающих свойством (С).

Определение 1. Будем говорить, что последовательность функций множества обладает свойством (С) на классе множеств , если для любой последовательности множеств , для которой выполняется условие

Определение 2. Пусть и - -значные функции множества. Будем говорить, что пара сконденсирована на классе множеств , если для любого и для любого существует такое, что

и

Из определения 1 следует, что любая возрастающая последовательность -значных функций множества обладает свойством (С), но, как показывает пример 1 §5, обратное не верно.

Теорема 1. Пусть и - две последовательности полумер, заданных на кольце S. Если

1) на кольце S, ;

2) полумеры последовательности обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность полумер обладает свойством (С) на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное.

Тогда существует число и последовательность множеств та-кие, что

(1)

Из (1) в силу условия 3) теоремы следует

(2)

Поэтому существует такая последовательность множеств , что

.

Так как

,

то существует такая подпоследовательность множеств , что

.

Аналогично выделим подпоследовательность множеств такую, что

.

Процесс продолжим неограниченно. В результате этого процесса построим подпоследовательность множеств и подпоследователь-ность функций множества ,такие, что

(3)

Полагая соотношения (3) можно записать в виде

(4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы 1 §4, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последова-тельность множеств , что

(21)

(22)

Так как полумеры, то из (21) и (14) следует

. (23)

Для числа найдем в силу условия . В силу (23) существует номер и номер ,такие, что

.

Тогда

,

но

.

Аналогично, исходя из условия 3) теоремы для числа найдем положительное число из соотношения (2),(3) (§4) следует, что существует номер и номер ,для которых

.

Тогда

,

но

.

Продолжив процесс неограниченно, построим подпоследователь-ность натуральных чисел , что

,

(24)

Положим

тогда

.

Так как - мера, то следует

(25)

Из (24) и (25) получим

.

Итак, получили

Получили противоречие, так как множества и попарно не пересекается.

Полученное противоречие и доказывает нашу теорему.

Пример 1. Пусть множество T, алгебра S и мера - те же, что и в примере 1 §4. Положим

Очевидно, что для любого номера . К последова-тельностям и теорема 1 §4 не применима, так как нарушено условие 3), но меры последовательности обладают свойством (С), а поэтому в силу теоремы 1 §5

на S.

Условие 3) в теореме 1 §5 является существенным. Ясно, что для любого номера . Меры последовательности не обла-дают свойством (С). Легко видеть, что условие не выполняется.


Заключение

Следствие 1. Пусть и - две последовательности полумер, задан-ных на кольце S. Если

1) на кольце ;

2) полумеры последовательности обладают свойством РОУН на R;

3) полумеры последовательности обладают свойством (С) на кольце R;

4) каждая пара полумер сконденсирована на кольце R, то на S.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует число и последовательность множеств , для которых

(26)

Так как каждая пара полумер сконденсирована на кольце , то для множества существует множество такое, что

(27)

Из (25) и (26) имеет достаточно больших номеров k

(28)

С другой стороны, в силу теоремы 1 §5 на кольце R, что противоречит (28).

Полученные противоречие и доказывает следствие.

Следствие 2. Пусть и - две последовательности аддитив-ных функций множества, заданных на кольце S. Если

1) на кольце ;

2) функции последовательности обладают свойством РОУН на ;

3) последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R;

4) каждая пара полумер сконденсирована на кольце R, то на S.

Доказательство.

В силу следствия 1 §4 достаточно доказать, что функции множества последовательности обладают свойством РОУН на кольце , а последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R.

Предположим, что последовательность функций не обладает свойством (С) на кольце R. Тогда существует последовательность мно-жеств , для которой

(1)

и существует число и номер k, для которых

.

Найдем такие множества , что

(2)

В силу условия сконденсированности существуют множества , для которых

(3)

Положим

Очевидно, что

,

, (4)

,

.

Из (2), (3), (4) в силу аддитивности функции получаем

(5)

С другой стороны, в силу неравенства и условия (1) имеем

.

По условию последовательность обладают свойством (С) на кольце R, поэтому

что противоречит (5).

Полученное противоречие доказывает, что последовательность не обладает свойством (С) на кольце R.


Список литературы

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории вещественной переменной (введение в теорию интеграла). Главная редакция физико-математической литературы «Наука» 1973.

2. Климким В.М. О равностепенной абсолютной непрывно-сти//Математические заметки №2, 1979.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов – 6-е издание, испр.- М.: Наука. Гл. Ред. Физ.- мат. Лит., 1989.

4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Главная редакция физико- математической литературы изда-тельства «Наука», 1974.

5. Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физико- ма-тематической литературы издательства «Наука», 1976.


Тема: «Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества»
Раздел: Математика
Тип: Дипломная работа
Страниц: 29
Цена: 1100 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Методика изучения равномерной ограниченности регулярных функций множества

    24 страниц(ы) 

    Введение .3
    1. Топологические пространства, компактные пространства 4
    2. Свойства слабо регулярных треугольных функций множества ….6
    3. Равномерная ограниченность регулярных треугольных функций множества .11
    Литература 21
  • Дипломная работа:

    Методическое обеспечение курса "теория функций действительной переменной"

    68 страниц(ы) 

    Введение. 4
    Предисловие 5
    Глава 1. Системы множеств 6
    §1. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
    §2. Кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    §3. Полукольцо множеств 10
    §4. σ-алгебры 12
    Глава 2. Общее понятие меры 13
    §1. Мера 13
    §2. Сигма-аддитивность 16
    §3. Лебегово продолжение меры 20
    §4. Мера Лебега на Rn 22
    Глава 3. Измеримые функции 26
    §1. Определения, основные свойства, действия над измеримыми функциями. 26
    §2. Сходимость измеримых функций. 29
    §3. Эквивалентность. 30
    §4. Сходимость почти всюду 31
    §5. Теорема Егорова. 32
    §6. Сходимость по мере. 34
    §7. Теорема Лузина. С- свойство. 35
    Глава 4. Интеграл Лебега 36
    §1. Простые функций. 36
    §2. Интеграл Лебега для простых функций. 37
    §3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. 39
    §4. σ - аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. 43
    §5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. 49
    §6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. 53
    §7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 54
    Глава 5. Прямые произведения мер. Теорема Фубини 57
    §1. Произведение мер. 57
    §2. Теорема Фубини. 58
    Глава 6. Пространства суммируемых функций 60
    §1. Пространство L1 60
    §2. Пространство L2 63
    Заключение. 67
    Литература 68
  • Контрольная работа:

    Теория вероятностей и математическая статистика

    44 страниц(ы) 

    ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 4
    ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 6
    ТЕМА 3. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ 11
    ТЕМА 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 13
    ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 17
    ТЕМА 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫИ ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 21
    ТЕМА 7. НЕКОТОРЫЕ ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 25
    ТЕМА 8. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 29
    ТЕМА 9. ОЦЕНКА ДОЛИ ПРИЗНАКА И ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ 34
    ТЕМА 10. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 40
    ТЕМА 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ 43
  • Дипломная работа:

    Рост целых функций и их приложение к школьному курсу математики

    28 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА . ПОНЯТИЕ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ 5
    1.1.Определение целых функции 5
    1.2.Порядок и рост целой функции 12
    1.3. -порядок целой функции 17
    ГЛАВА . 21
    ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 21
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
    ЛИТЕРАТУРА 24
  • Шпаргалка:

    Список вопросов к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

    117 страниц(ы) 

    Основные понятия теории функций
    1. Понятие множества. Отношения и операции над множествами.
    2. Множества натуральных N, целых Z, рациональных Q и вещественных R чисел.
    3. Представление вещественных чисел на числовой оси. Декартова система координат на плоскости.
    4. Числовые множества: интервалы, отрезки, полуотрезки, окрестности.
    5. Понятие функции, её области определения и множества значений. Способы задания функций.
    6. Числовые функции. Чётные, нечётные, возрастающие, убывающие, периодические функции. Примеры.
    7. Понятие сложной и обратной функций. Элементарные функции.
    8. Степенная функция: способ определения, область определения, основные свойства и графики.
    9. Показательная функция: способ и область определения, основные свойства и графики.
    10. Логарифмическая функция: способ и область определения, основные свойства и графики.
    11. Тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.
    12. Обратные тригонометрические функции: способ и область определения, основные свойства и графики.
    Теория пределов и непрерывность функции
    13. Понятие и определение предела функции в точке.
    14. Основные свойства пределов.
    15. Первый и второй замечательные пределы, их геометрическая интерпретация.
    16. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.
    17. Основные приёмы, применяемые при вычислении пределов. Раскрытие
    18. неопределённостей.
    19. Односторонние пределы функции.
    20. Предел функции в бесконечности.
    21. Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
    22. Классификация точек разрыва функции
    23. Понятие числовой последовательности и её предела.
    Основы дифференциального исчисления
    24. Определение производной и её геометрический и экономический смысл. Различные обозначения производной. Размерность производной.
    25. Касательная к графику функции.
    26. Дифференцируемость функции в точке и на интервале.
    27. Производные основных элементарных функций (табличные производные).
    28. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения функций.
    29. Правила дифференцирования сложной функции.
    30. Понятие дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.
    31. Производные высших порядков.
    32. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
    33. Формула Лагранжа.
    34. Формула Тейлора.
    35. Формула Маклорена.
    36. Возрастание и убывание функции на интервале. Использование производной для определения интервалов возрастания и убывания функции.
    37. Понятие локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции в точке.
    38. Поиск экстремума функции на отрезке.
    39. Выпуклость графика функции. Определение интервалов и направления выпуклости графика функции.
    40. Понятие точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции в точке.
    41. Асимптоты графика функции.
    42. Общая схема исследования функции и построения её графика.
    Основы интегрального исчисления
    43. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его основные свойства.
    44. Табличные интегралы. Понятие о "неберущихся" интегралах.
    45. Метод интегрирования с помощью замены переменной (подстановкой).
    46. Метод интегрирования по частям.
    47. Определённый интеграл и его геометрический и экономический смысл.
    48. Основные свойства определённого интеграла.
    49. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница).
    50. Вычисление определённых интегралов с помощью замены переменной.
    51. Вычисление определённых интегралов интегрированием по частям.
    52. Вычисление площадей фигур с криволинейными границами.
    53. Понятие несобственных интегралов первого рода и их сходимость.
    54. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
    Ряды
    55. Понятие числового ряда и его сходимости. Классификация рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
    56. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
    57. Признак сходимости знакопеременных рядов.
    58. Степенной ряд. Радиус сходимости и множество сходимости.
    Функции многих переменных
    59. Частные производные функции многих переменных и правила их вычисления.
    60. Линия уровня, градиент и производная по направлению функции многих переменных и их смысл.
    61. Частные производные высших порядков.
    62. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
    Дифференциальные уравнения
    63. Понятие об ОДУ. Частное и общее решение ОДУ. Интеграл ОДУ. Начальные условия.
    64. ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и метод их решения.
    65. Линейные ОДУ первого порядка и метод их решения.
  • Реферат:

    Предмет и метод математики_Уравнения_Классификация функций.

    18 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Предмет и метод математики 4
    2 Уравнения: понятия, классификация 6
    2.1 Линейные уравнения 6
    2.2 Системы линейных уравнений 7
    2.3 Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним 9
    2.4 Возвратные уравнения 11
    3 Функция и её свойства, виды функций 13
    Заключение 17
    Список использованной литературы 18

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Учет особенностей подросткового возраста в профилактической деятельности социального педагога

    70 страниц(ы) 

    Введение….
    Глава I. Теоретические основы профилактической деятельности социального педагога с учетом особенностей подросткового возраста
    1.1. Подростковый возраст в психолого-педагогических концепциях….7
    1.2. Особенности биологического и психологического развития подростков….19
    1.3. Основные направления профилактической деятельности социального педагога образовательной школы с подростками…33
    Выводы по первой главе….41
    Глава II. Опытная работа социального педагога МБОУ Гимназия села Кушнаренково МР Кушнаренковский район РБ по профилактике с учетом особенностей подросткового возраста
    2.1. Общее состояние профилактической деятельности с учащимися в МБОУ Гимназия с.Кушнаренково МР Кушнаренковский район РБ….43
    2.2. Программа профилактической деятельности социального педагога с детьми, находящимися в трудной жизненной ситуации….52
    2.3. Анализ результатов опытной работы. ….57
    Выводы по второй главе….59
    Заключение….61
    Список литературы…65
  • Отчет по практике:

    Работа с макросами в приложениях Word и Excel.

    18 страниц(ы) 


    Лабораторная работа №5 2
    Ход работы 5
    Задание 1….….5
    Задание 2….7
    Задание 3….….12
    Задание 4…15
    Задание 5…16
    Контрольные вопросы 16
    Вывод 17
  • Дипломная работа:

    Методическое обеспечение лекционными зaнятиями по курсу «мaтемaтикa»

    102 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ…6
    ГЛAВA 1. ЛИНЕЙНAЯ AЛГЕБРA….7
    Лекция № 1 …7
    1.1.Определители второго порядкa….7
    1.2.Определители.третьего порядкa….8
    1.3.Свойствa1определителей….….9
    Лекция № 2….….…13
    2.1. Мaтрицы….….13
    2.2.Типы мaтриц….…14
    2.3. Действия нaд мaтрицaми….….16
    2.4. Обрaтнaя мaтрицa….….18
    2.5. Метод Гaуссa….…20
    ГЛAВA 2. AНAЛИТИЧЕСКAЯ ГЕОМЕТРИЯ…26
    Лекция № 3…26
    3.1. Векторы….….26
    3.2. Оперaции нaд векторaми….29
    Лекция № 4….….31
    4.1. Скaлярное произведение….31
    4.2. Угол между векторaми….….32
    4.3. Свойствa скaлярного произведения….….…32
    4.4. Векторное произведение….….32
    4.5. Свойствa векторного произведения….….…33
    4.6. Смешaнное произведение….….…34
    4.7. Свойствa смешaнного произведения….….35
    Лекция № 5….…36
    5.1. Урaвнение прямой с угловым коэффициентом….….…36
    5.2. Общее урaвнение прямой….….…37
    5.3. Урaвнение примой в отрезкaх….…38
    5.4. Нормaльное урaвнение прямой….…38
    5.5. Пaрaметрическое и кaноническое урaвнение прямой….…39
    5.6.Рaсстояние от точки до прямой….….40
    ГЛAВA 3. МAТЕМAТИЧЕСКИЙ AНAЛИЗ….41
    Лекция №6….41
    6.1. Функция….41
    6.2. Способы зaдaния функции….41
    6.3. Элементaрные функции….….43
    6.4. Понятие обрaтной функции….….47
    Лекция № 7….….47
    7.1. Числовaя последовaтельность….….47
    7.2. Предел числовой последовaтельности….….49
    7.3. Предел функции в точке….…50
    Лекция № 8….…51
    8.1. Предел функции….….51
    8.2. Производнaя функции. ….….52
    8.3. Мехaнический смысл производной….….53
    8.4. Геометрический смысл производой….….53
    8.5. Прaвилa дифференцировaния….54
    8.6. Тaблицa производных. ….54
    8.7. Дифференциaл функции….…55
    8.8. Прaвило Лопитaля….55
    Лекция № 9….56
    9.1. Неопределенный интегрaл…57
    9.2.Тaблицa основных интегрaлов….58
    9.3. Свойствa неопределенного интегрaлa….58
    9.4. Основные методы интегрировaния. …60
    9.5. Интегрировaние рaционaльных дробей….62
    Лекция № 10….63
    10.1. Определенный интегрaл. ….64
    10.2. Геометрический смысл определенного интегрaлa….65
    10.3. Свойствa определенного интегрaлa….66
    10.4. Интегрировaние подстaновкой(зaменой переменной)….….68
    10.5. Интегрировaние по чaстям. ….….68
    Лекция № 11….69
    11.1. Функции многих переменных….79
    11.2.Чaстные производные. ….71
    11.3. Производнaя сложной функции…72
    Лекция № 12….72
    12.1. Числовые ряды…73
    12.2. Признaк Дaлaмберa….75
    12.3. Признaк Лейбницa….75
    12.4. Aбсолютнaя и условнaя сходимость…76
    ГЛAВA 4. ДИФФЕРЕНЦИAЛЬНЫЕ УРAВНЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ….78
    Лекция № 13….78
    13.1. Дифференциaльные урaвнения….78
    13.2. Урaвнения с рaзделяющимися переменными….….80
    13.3. Однородные урaвнения….81
    13.4. Линейные урaвнения первого порядкa….82
    13.5. Урaвнение Бернулли….…82
    Лекция № 14….83
    14.1. Линейные дифференциaльные урaвнения второго порядкa….84
    14.2. Линейные дифференциaльные урaвнения второго порядкa….….85
    14.3. Линейные однородные урaвнения второго порядкa с постоянными коэффициентaми….85
    Лекция № 15. …86
    15.1. Элементы теории вероятности….87
    15.2. Мaтемaтическое ожидaние….90
    15.3. Свойствa мaтемaтического ожидaния дискретной случaйной величины….…91
    15.4. Дисперсия….….92
    15.5. Свойствa дисперсии дискретной случaйной величины….92
    Заключение….94
    Литерaтурa….95
  • Дипломная работа:

    Особенности перевода молодежного сленга в сериале «Pretty little liars» («Милые обманщицы»)

    47 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    Глава I. СЛЕНГ КАК ЯЗЫКОВОЕ ЯВЛЕНИЕ В СОВРЕМЕННОЙ ЛИНГВИСТИКЕ 6
    1.1 Трудности определения понятия «сленг» 6
    1.2 История развития сленга 12
    1.3 Современные подходы к изучению молодежного сленга 15
    1.4 Типы сленгизмов 16
    Выводы по главе I 22
    Глава II. ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕВОДА МОЛОДЕЖНОГО СЛЕНГА . 23
    2.1 Проблема перевода молодежного сленга 23
    2.2 Способы перевода молодежного сленга 25
    Выводы по главе II 33
    Глава III. Особенности перевода сленгизмов в сериале «Pretty Little Liars» («Милые обманщицы») 34
    3.1 Типы сленгизмов в сериале «Pretty Little Liars» («Милые обманщицы») 34
    3.2 Способы перевода сленгизмов в сериале «Pretty Little Liars» («Милые обманщицы») 35
    Выводы по главе III 42
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
  • Дипломная работа:

    Использование современной музыки башкирских композиторов

    85 страниц(ы) 

    Введение…3
    Глава I. Теоретические основы изучения произведений современных башкирских композиторов на уроке музыки в общеобразовательной школе
    1.1. История развития башкирской национальной композиторской школы….….7
    1.2. Особенности использования национальной музыки в общеобразовательной школе….36
    1.3. Аналитический обзор произведений башкирских композиторов, используемых на уроке музыки в общеобразовательной школе….47
    Глава II. Педагогические условия использования произведений современных башкирских композиторов в общеобразовательной школе
    2.1. Содержание, формы и методы использования произведений современных башкирских композиторов на уроке музыки в общеобразовательной школе….….….59
    2.2.Педагогический эксперимент и его результаты….67
    Список литературы….….77
    Приложение….….84
  • Дипломная работа:

    Методическое обеспечение курса «дифференциальное исчисление»

    80 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ….5
    Лекция № 1. Функции одной переменной
    § 1. Определение функции….6
    § 2. Способы задания функций….7
    § 3. Операции над функциями…8
    § 4. Понятие сложной функции….9
    § 5. Элементарные функции….10
    Лекция № 2. Числовая последовательность
    § 1. Понятие числовой последовательности….13
    § 2. Монотонные и ограниченные последовательности…14
    § 3. Понятие предела числовой последовательности….15
    § 4. Теоремы о пределах числовой последовательности….17
    Лекция № 3. Числовая последовательность
    §1. Понятие бесконечно малой….20
    § 2. Понятие бесконечно большой….20
    § 3. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой…21
    § 4. Теоремы о бесконечно малых….22
    § 5. Неравенство Бернулли….25
    § 6. Число е….25
    Лекция 4. Предел функции.
    § 1. Предельная точка числового множества….27
    § 2. Определение предела функции по Гейне….28
    § 3 Определение предела функции по Коши. …29
    § 4. Теоремы о пределах функций. ….31
    § 5. Предел сложной функции. …31
    Лекция 5. Предел функции
    § 1. Первый замечательный предел. ….32
    § 2. Односторонние пределы…33
    § 3. Второй замечательный предел. …34
    § 4. Критерий Коши существования конечного предела функции….35
    § 5. Сравнение бесконечно малых. ….36
    Лекция №6. Непрерывные функции
    § 1. Определение непрерывности функции в точке….38
    § 2. Классификация точек разрыва функции….40
    § 3. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций….41
    § 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке….42
    § 5. Непрерывность сложной функции…44
    § 6. Непрерывность основных элементарных функций….44
    § 7. Равномерная непрерывность функции….45
    Лекция №7. Производная и дифференциал
    §1. Задача о касательной….46
    §2. Определение производной….47
    § 3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой….48
    § 4. Правила вычисления производных….….48
    § 5. Непрерывность функции, имеющей производную….49
    § 6. Производная обратной функции….49
    § 7. Сводка формул для производных….50
    § 8. Производная сложной функции…51
    § 9. Понятия дифференцируемой функции и дифференциала функции….51
    Лекция №8. Производная и дифференциал
    § 1. Связь между дифференцируемостью и существованием производной…52
    § 2. Геометрический смысл дифференциала….53
    § 3. Основные формулы и правила дифференцирования….53
    § 4. Производная функции, заданной параметрически….55
    § 5. Дифференциалы как источник приближенных формул….55
    § 6. Производные высших порядков…56
    § 7. Дифференциалы высших порядков….57
    Лекция № 9. Производная и дифференциал
    Основные теоремы дифференциального исчисления
    §1. Теорема Ферма….…58
    § 2. Теорема Ролля. ….59
    § 3. Теорема Лагранжа….60
    § 4. Теорема Коши….62
    Лекция №10. Исследование функций с помощью производных
    § 1. Условие постоянства функции. …63
    § 2. Условие возрастания-убывания функции….64
    § 3. Определение экстремума функции….64
    § 4. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции…65
    § 7. Наибольшее и наименьшее значения функции….65
    § 6. Достаточные условия существования экстремума….66
    § 5. Другие возможные точки экстремума функции…67
    § 8. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя….68
    § 9.Направление вогнутости кривой….69
    § 10. Точки перегиба….70
    § 11. Асимптоты….71
    § 12. Общая схема исследования функций и построение их графиков по характерным точкам….73
    Задачи….…78
    Заключение….….79
    Список используемой литературы….….…80
  • Практическая работа:

    Основы иудейской культуры

    27 страниц(ы) 

    нет
  • Дипломная работа:

    Формирование познавательных интересов младших школьников во внеурочной деятельности

    70 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ …
    ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНОВАТЕЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ
    МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
    1.1. Сущность понятия «познавательный интерес младшего школьника»…
    1.2. Особенности познавательных универсальных учебных
    действий младших школьников ….
    1.3. Возможности внеурочной деятельности в формировании познавательных интересов младших школьников …
    Выводы по первой главе ….…
    ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ В МЛАДШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
    2.1. Диагностика уровня познавательных интересов младших школьников ….….
    2.2. Программа формирования познавательных интересов младших школьников во внеурочной деятельности ….….
    2.3. Анализ опытно-экспериментальной работы по формированию познавательных интересов младших школьников и разработка рекомендаций для учителей начальных классов ….….
    Выводы по второй главе .
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ ….
    ЛИТЕРАТУРА ….
    ГЛОССАРИЙ ПО КАТЕГОРИАЛЬНОМУ АППАРАТУ …
    ГЛОССАРИЙ ПО ПЕРСОНАЛИЯМ ….
  • Дипломная работа:

    Формирование универсальных учебных действий у обучающихся основной школы в процессе организации внеклассных мероприятий

    112 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования универсальных учебных действий у подростков во внеклассной работе в рамках реализации образовательного стандарта 11
    1.1. Понятие «универсальные учебные действия» 11
    1.2. Особенности организации внеклассных мероприятий в рамках внеурочной деятельности обучающихся по ФГОС в основной школе 20
    Выводы по 1 главе 29
    ГЛАВА 2. Организация процесса формирования универсальных учебных действий у подростков в процессе проектирования внеклассных мероприятий 31
    2.1. Возрастная специфика формирования универсальных учебных действий у подростков 31
    2.2. Организационно-педагогические условия формирования
    универсальных учебных действий у обучающихся основной школы на внеклассных мероприятиях 43
    Выводы по 2 главе 57
    ГЛАВА 3. Опытно-экспериментальная работа по выявлению эффективности организационно-педагогических условий формирования универсальных учебных действий у обучающихся основной школы на внеклассных мероприятиях 59
    3.1. Констатирующий этап опытно-экспериментальной работы по формированию универсальных учебных действий у подростков на внеклассных мероприятиях 59
    3.2. Формирующий этап эксперимента опытно-экспериментальной работы по формированию универсальных учебных действий у подростков на внеклассных мероприятиях 72
    3.3. Анализ результатов опытно-экспериментального исследования 83
    Выводы по 3 главе 95
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 96
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 99
    ПРИЛОЖЕНИЕ 105
  • Курсовая работа:

    Личностная зрелость первокурсника

    65 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ ….….…3
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИЧНОСТНОЙ ЗРЕЛОСТИ ПЕРВОКУРСНИКА В УСЛОВИЯХ ОБУЧЕНИЯ В ВЫСШЕМ УЧЕБНОМ ЗАВЕДЕНИИ ….5
    1.1 Понятие личностной зрелости отечественной и зарубежной психологии….5
    1.2 Личностные особенности потребностей первокурсников.10
    Вывод по первой главе….….…19
    ГЛАВА 2. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИЧНОСТНОЙ ЗРЕЛОСТИ ПЕРВОКУРСНИКА В УСЛОВИЯХ ОБУЧЕНИЯ В ВЫСШЕМ УЧЕБНОМ ЗАВЕДЕНИИ …21
    2.1. Описание выборки, методов и методик исследования….….21 2.2 Анализы результатов исследования….30
    Вывод по второй главе….33
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ …34
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …36
    ПРИЛОЖЕНИЯ….39