«Асимптотическое разложение решения одного параболического уравнений второго рода» - Дипломная работа

Теория дифференциальных уравнений в частных производных является важной и хорошо изученной ветвью математического анализа. Эта теория представляет собой чисто математический интерес, служит важным рабочим инструментом для многих приложений.

Многие специальные уравнения весьма детально изучены по причине, что они часто встречаются в вопросах физики и техники. При математическом описании физического процесса надо, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Почти во всех случаях такая задача имеет особенности, которые не позволяет автоматически воспользоваться общей теорией.

Например, может, случится, что рассматриваемая область неограниченна, или граница имеет угловые точки, или коэффициенты имеют особенность, или сама краевая задача носит необычный характер. Задача была решена необходимо проделать некоторую самостоятельную работу. Однако общая теория может подсказать, какими методами следует воспользоваться и какие результаты можно ожидать.

Дифференциальные уравнения с обыкновенными и частными производными имеют бесконечно много решений. Поэтому в том случаи, когда физическая задача приводится к уравнению с обыкновенными и частными производными для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. В случае уравнений второго порядка решение может быть определено начальными условиями, т.е. заданием функций и ее первой производной, при начальном значении аргумента (задача Коши).

Задача, поставленная в выпускной квалификационной работе, связана с задачей о диффузии около сферической частицы при обтекании ее потоком жидкости и при наличии объемной химической реакции. Процессы массо- и теплообмена в дисперсионных средах является предметом многочисленных экспериментальных и теоретических исследований в связи с их большим значением для химической технологии и других областей техники.

Глава I.

§ 1. Краевые задачи для уравнений второго порядка.

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнениям этого типа является уравнение Лапласа u =0.

Функция u называется гармонической в области Т, если она непрерывная в этой области вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

При изучении свойств гармонических функции были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и параболического типов.

Рассмотрим краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

Задача о стационарном распределении температуры u(x,y,z) внутри тела Т, ограниченной поверхностью S, формулируется следующим образом:

Найти функцию u(x,y,z), удовлетворяющую внутри Т уравнению

 u=-f(x, y, z) и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

1.u=f1 на S(первая краевая задача),

2. на S (вторая краевая задача)

3. на S (третья краевая задача)

где f1,,f2,,f3 ,h заданные функции, - производная по внешней нормали к поверхности S

.

Первую краевую задачу для уравнения Лапласа  u=0 часто называют задачей Дирихле, а вторую – задачей Неймана.

Если нужно найти решение в области Т0, внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней краевой задачей).

Наилучшие результаты по разрешению задачи Дирихле в ограниченных областях D были доказаны Шаудером и частично Каччопполи. Они формулируются в терминах пространства Гельдера Cl+ (D). Элементы С (D)являются функции u(x), непрерывные в D в смысле Гельдера с

показателем ((,1)), т.е. u(x) непрерывна в D и для нее конечна построенная Гельдера.

Элементами Сl+ (D), l  1 , является непрерывные в D функции, имеющие всевозможные производные до порядка l, причем производные порядка l суть элементы С (D). Норма в С+l (D) определяется равенством:

В ней выражение (k) означает суммирование по всем производным порядка k. Пространства Cl+(D) , l  1 являются банаховыми. Таковыми же являются и пространства Cl(D), j=0,1… , состоящие из непрерывных в D функций, имеющих непрерывные в D производные до порядка l. Норма в Cl (D) определяется следующим образом:

Вместо С0(D) принято писать просто C(D). Будем говорить, что граница S в области D  Rn принадлежит классу Cl+,l1,  (0,1), если существует число  > 0, такое, что пересечение S с шаром В радиуса  с центром в произвольной точке x0  S есть связанная поверхность. Уравнение, которое в местной декартовой системе координат (y1, …,yn) с началом в точке x0 имеет вид

yn = (y1,…,yn-1), причем (y1…yn-1) есть функция класса Сl+ в замкнутой области В(x0,), которая является ортогональной проекцией пересечения на плоскость yn = 0.

Термин «местная декартовая система координат с началом в точке

x0  S» означает, что ось yn направлена по нормали к S в точке x0, а остальные, ортогональные друг другу yi лежит в гиперплоскости, касательной к S в точке x0 . Для функции , заданной на поверхности S класса Сl+ , принадлежность к Сk+(S), k+ l+ , будет означать, что она как Функция местных координат (y1,…yn-1) принадлежит Сk+(B(x0,)) для всех x0  S.