«Методика изучения асимптотики решения одномерного оператора шредингера» - Курсовая работа

В работе рассматривается одномерное возмущенное уравнение Шредингера на собственные значения на положительной части полуоси с нулевым краевым условием в начале координат. Возмущением является потенциал, зависящий от малого параметра. При стремлении малого параметра к нулю носитель потенциала сжимается в некоторую фиксированную точку. Под предельным уравнением понимается уравнение без потенциала. Предполагается, что предельное уравнение имеет бесконечное число собственных значений [4].

Целью работы является построение формальной асимптотики собственных значений возмущенного уравнения при стремлении малого параметра к нулю. Построение асимптотики проводится методом согласования асимптотических разложений [1].

Построение формальной асимптотики

Рассматриваем задачу

(1)

(2)

- собственное значение,

-соответствующая собственная функция,

- малый положительный параметр,

х0 из интервала (0;+∞) – фиксированная точка,

W – известная функция, , ,

V – финитная бесконечно дифференцируемая функция носитель которой содержится в интервале (0;+∞).

Решение ищется в классе

Задачу (1), (2) будем называть возмущенной на собственные значения. Предельной для нее будем называть задачу

(3)

число будет называться собственным значением, а y0 соответствующей собственной функцией y0Î и

Известно [4], что задача (3) имеет бесконечный набор собственных значений . Аналогично [3] можно показать, что задача (1), (2) также имеет бесконечный набор собственных значений , сходящихся к при .

Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Формальная асимптотика собственного значения задачи (1) при имеет вид

Перейдем к доказательству теоремы.

Асимптотика собственного значения будем строить методом согласования асимптотического разложения [1].

Следуя методу согласования асимптотического разложения, асимптотику собственного значения будем строить в виде

Асимптотику собственной функции будем строить в виде

Функция y0Î .