«Методика исследования параболического уравнения второго порядка» - Дипломная работа

Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn, n > 2, x =

(x1, x2, ., xn) ∈ Rn. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассмотрим

линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut =

Σn

i;j=1

(aij(t, x)Uxi)xj . (1)

Коэффициенты уравнения aij(t, x) - измеримые функции, удовлетворяющие

условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные γ, Γ

такие, что для любого вектора y = (y1, ., y2) ∈ Rn и почти для всех (t, x) ∈ D

справедливы неравенства:

γ|y|2 ≤

Σn

i;j=1

aij(t, x)yiyj ≤ Γ|y|2. (2)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (14) с начально-краевыми

условиями:

U(t, x) |{t>0}×@Ω= 0; (3)

U(0, x) = φ(x). (4)

Дипломная работа посвящена изучению зависимости скорости убывания L2-

нормы решения задачи (1)- (4) от геометрических характеристик неограниченной

области. Такая задача рассматривалась многими авторами: Мукминовым Ф.Х.

(1980 г.), Кожевниковой Л.М. (2000 г.), Гилимшиной В.Ф. (2008 г.).

В дипломной работе предлагается для получения оценки сверху использовать

следующие понятия λ-последовательности.

Неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел {yj}∞j=0

называется λ-последовательностью задачи (1)- (4), если существует число θ > 1

такое, что справедливо неравенство:

1. Вспомогательные утверждения

Введем обозначение:Db

a = (a, b) × Ω. Гильбертово пространство ˜W 1;1

2 (DT ) опре-

делим как пополнение множества всех гладких в DT функций с ограниченным

носителем, равных нулю в окрестности боковой по верхности ∂Ω × (0, T), по нор-

ме

∥u∥2

˜W

1;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT + ∥ut∥2

DT ,

гильбертово пространство ˜W 0;1

2 (DT ) как пополнение того же множества функций

по норме

∥u∥2

˜W

0;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT .

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в DT будем называть

функцию

u(t, x) ∈ ˜W 0;1

2 (DT ),

удовлетворяющую интегральному тождеству

∫

DT

(−uvt +

Σn

i;j=1

aij(t, x)uxivxj )dxdt =

∫

Ω

φ(x)v(0, x)dx (14)

для любой функции v(t, x) ∈ ˜W 1;1

2 (DT ) такой, что v(T, x) = 0.

Функция u(t, ) - решение задачи (1), (3), (4) в D, если при всех T > 0 она

является решением задачи (1), (3), (4) в DT .

Решение задачи (1), (3), (4) существует и единственно. Существование доказы-

вается методом Галеркина [1, с.181-186].

Установим неравенство Фридрихса.

6

Рассмотрим функцию f ∈ C1[0, 1] такую, что f(0) = 0.

f(x) = f(x) − f(0) =

∫x

0

f′(t)dt по формуле Ньютона-Лейбница.