«Асимптотика функции Грина оператора четвертого порядка» - Дипломная работа

Одной из основных задач спектральной теории дифференциальных операторов являются задачи исследования поведения собственных значений оператора при или задача исследования асимптотического поведения функции

В дипломной работе рассматривается оператор четвертого порядка

Далее условия. Найдена асимптотика функции Грина , ее следа при . Далее к интегралу

Основным результатом дипломной работы является численные расчеты (см. графики), показывающие, когда на асимптотику функции влияет только коэффициент при нулевой производной и когда влияет оба коэффициента.

Глава 1.

1.1. Основные условия на коэффициенты

Рассмотрим дифференциальный оператор, порожденный на всей числовой оси дифференциальным выражением

(1.1)

Предположим, что характеристический многочлен дифференциального выражения (1.2)

при всех достаточно больших и достаточно больших при всех положителен, т. е. . Далее, предположим, что коэффициенты дифференциального выражения и корни его характеристического многочлена на протяжении настоящей главы удовлетворяют следующим основным условиям.

Существуют такие положительные постоянные А и В, что

1)

2)

3) и при

где и

где и

4) ,

где - некоторая постоянная, зависящая от характеристических корней , и определяется ниже;

5) ;

6) функция суммируема, т. е.

7) при всех

Заметим, теперь, что из условий 1) и 2) следует, что при всех

(1.3)

(1.4)

В самом деле, из условия 1) получаем

Аналогично из условия 2) имеем

,

Откуда

,

тем более . (1.5)

И, наконец, из равенства

и неравенства (1.3) получаем при . (1.6)

Обозначим через функцию Грина оператора с «замороженными» коэффициентами

Вычислим функцию . Эта функция удовлетворяет следующему уравнению:

функция Дирака. Применяя преобразование Фурье к обеим частям последнего равенства, находим

А теперь, взяв обратное преобразование Фурье, отсюда получаем что

Вычисляя этот интеграл при помощи вычетов, имеем

где – характеристические корни, у которых .

К условиям 1) – 7) присоединим еще одно условие. Потребуем, чтобы для функции было выполнено условие

8)

Характер наложенных условий 1) – 8) весьма понятен. Мы требуем, чтобы все корни характеристического многочлена были в «одну силу» и без «вырождения».