«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ, ПРИ РЕШЕНИИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ» - ВКР

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ В ОБЩЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ

ОБРАЗОВАНИИ 8

1.1. Сущность понятий «логика», «логическое мышление» и «математическое мышление» 8

1.2. Элементы логики на уроках математики 14

1.3. Обучение решению олимпиадных задач как средств развития логического мышления обучающихся 23

Выводы по первой главе 35

ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ 38

2.1. Методика применения логических (олимпиадных задач) на уроках математики 38

2.2. Эксперимент и его результаты 44

Выводы по второй главе 50

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 53

Введение

Актуальность исследования. Математике как базовому предмету сегодня отдается большое внимание в процессе модернизации российского образования, так как именно в процессе его изучения формируются способности к рассуждению, обоснованию, аргументации, планированию, ориентировки в пространстве, числовых вычислениях, необходимых для осуществления трудовой деятельности. Помимо этого в предмете «математика» заложены развивающие возможности и все необходимые инструменты, влияющие на развитие логического мышления и мыслительную деятельность обучающихся. Отсюда содержание математики должно содержать не только фиксированные стандартные правила, формулы и способы действий, но и эвристическое начало, которое необходимо для решения логических и олимпиадных задач, для получения знаний при решении новых и нестандартных ситуаций. Для того чтобы развить у обучающихся логическое мышление посредством олимпиадных и логических задач необходимо объяснение способов их решения, систематическое знакомство с ними и практическое их освоение.

Следует отметить, что большинство психологических исследований проблемы логического мышления направлено на выявление его процессуального и динамического аспектов, индивидуальных различий. Современной психолого-педагогической литературой проблема применения методов, средств, содержания и условий формирования логического мышления посредством олимпиадных задач на уроках математики представлена крайне не достаточно. Отсюда актуальность в изучении данной проблемы не вызывает сомнений. Кроме того, актуальность усиливается в связи с необходимостью решения возникших противоречий между:

 потребностью в людях умеющих логически размышлять, рассуждать, осуществлять поиск решения в ситуациях неопределенности и недостаточной методической разработанностью данного процесса;

 потребностью образовательных учреждений в обучающихся, обладающих высоким логическим мышлением и практическим отсутствием элемента логики в рамках уроков математики.

Исходя из сложившейся проблемы исследования, выдвинутых противоречий для нас важно рассмотреть проблему применения элемента логики на уроках математики. Обозначенная проблема стала основой сформулированной темы исследования: «Элемент логики в школьной математике как инструмент решения олимпиадных задач».

Объект исследования: логическое мышление обучающихся в процессе решения олимпиадных задач.

Предмет исследования: процесс применения элемента логики в решении олимпиадных задач на уроках математики.

Цель исследования: теоретически выявить сущность проблемы и экспериментально проверить эффективность применения элементов логики при решении олимпиадных задач в процессе обучения математике как инструмента развития логического мышления обучающихся.

В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: развитие логического мышления обучающихся посредством логических и олимпиадных задач на уроках математики может быть успешным при систематическом и целенаправленном использовании элементов логики, специально подобранной и разработанной серии логических задач.

Задачи исследования:

1. теоретически раскрыть сущность понятий «логика», «логическое мышление» и «математическое мышление»;

2. проанализировать элементы логики на уроках математики;

3. охарактеризовать обучение решению олимпиадных задач как средств развития логического мышления обучающихся;

4. раскрыть методику применения логических (олимпиадных задач) на уроках математики;

5. разработать диагностический инструментарий и организовать опытно-экспериментальное исследование на выявление уровня логического мышления при изучении логических (олимпиадных задач) на уроках математики.

Теоретико-методологической базой исследования являются труды, направленные на:

1. изучение развития логического и математического мышления учащихся на уроках математики (А.А. Антонов О.Н. Булаева, Е.В. Бурмистрова, А.П. Вилякина, В. Герман, Л.Я. Воронцова, З.А. Дулатова, Е.С. Лапшина, Л.Г. Зверева, М.В. Редькина, Ф.Т. Кущетерова, Л.К. Максимов, Е.И. Фертикова, Т.С. Хазыкова, А.А. Хлебникова, П.В. Хмара);

2. разработку головоломок, логических упражнений и занимательных задач (С. Барр, В.Н. Белов, В.Н. Болховитинов, Б.И. Колтовой, И.К. Лаговский, М. Гарднер, П.М. Горев, Н.Н. Новосёлова, Г.Э. Дьюдени, М.А. Екимова, Г.П. Кукин, М.И. Зайкин, Е.И. Игнатьев, Ф. Картер, К.Рассел, Б.А. Кордемский, Л.М. Лихтарников, Е.М. Минскин, Л.П. Мочалов, Я.И. Перельман, Н.А. Подгорецкая, Д. Пойа, Дж. Харди);

3. развитие образного и логического мышления школьников (Т.Г. Брестель);

4. изучение применения элементов математический логики в курсе математики средней школы (М.И. Деркач, Н.А. Деркач, А.П. Замятин, В.М. Караева, О.А. Маслова, Л.В. Ончукова, К. Останов, А.А. Азимзода, И.В. Раскина, Н.Х. Розов, К.А. Стамалиева, М.М. Шайланова, М.А. Ушакова, Ю.С. Юношева, К.А. Халатян, Л.А. Янкина);

5. разработку содержания уроков математики (О.Б. Епишева, В.И. Крупич, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, С.В. Лебедева, З.П. Матушкина, Л.П. Терентьева, Л.С. Трегуб, Г.Фрейденталь, Л.М. Фридман, И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева, И.С. Якиманская);

6. теоретическое изучение «логики» (А.А. Ивин и другие).

Научная новизна исследования состоит:

 в уточнении понятийного аппарата исследования, в частности – понятий: «логика», «логическое мышление», «мышление», «математическое мышление»;

 в разработанном диагностическом инструментарии для выявления уровня развития логического мышления и интереса к решению олимпиадных задач;

 в методической разработке применения элементов логики при решении олимпиадных задач на уроках математики.

Теоретическая значимость исследования заключается в теоретическом осмыслении проблемы исследования.

Практическая значимость исследования заключается:

 в предложенном методическом сопровождении применения элемента логики на уроках математики при решении олимпиадных задач;

 в разработанной диагностике уровня развития логического мышления обучающихся 6 классов.

Базой исследования стала МАОУ «Гимназия 111» г. Уфы Республики Башкортостан.

Опытно-экспериментальное исследование осуществлялось в три этапа: констатирующий, формирующий, контрольный.

На первом этапе (констатирующем) была поставлена цель, определены задачи, методы исследования; было осуществлено теоретическое осмысление проблемы исследования, в частности, раскрыты понятия

«логика», «логическое мышление», «математическое мышление»; было определено содержание уроков математики с элементами логики, направленные на развитие логического мышления путем применения олимпиадных задач. На данном этапе разработан диагностический инструментарий и проведено посредством него первичное исследование уровня развития логического мышления обучающихся старших классов в ЭГ и КГ.

На втором этапе (формирующем) была осуществлено содержание уроков с элементами логики, а именно в рамках уроков математики была организована работа по решению олимпиадных задач.

Третий этап (результативный) был направлен на повторную диагностику уровня развития логического мышления в ЭГ и КГ, проведены сравнительные результаты; подведены выводы и заключение исследования.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ В ОБЩЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

1.1. Сущность понятий «логика», «логическое мышление» и «математическое мышление»

Термин «логика» от греческого происхождения «лотос», характеризуется как «разум», «умение мыслить», «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения», «речь», «мысль». «Процесс думанья есть величайшее удовольствие человеческого рода». Данные мнение поддерживалось Галилеем (Бертольд Брехт «Жизнь Галилея»). Понятие «логика» понимается каждым и в обыденной жизни часто используются для определения и характеристики поступков, часто говоря о логичном развитии событий, о логичном мышлении человека. «Логичность» характеризуется как последовательная, непротиворечивая в словах и действиях операция или ход мысли.

В словаре «логика» обозначается как научная область, занимающаяся изучением законов мышления и его форм [42, С. 301]. М.И. Ненашевым «логика» определяется как наука о формах мышления, в процессе работы которого человек способен рассуждать и познавать окружающий мир» [41, С. 3]. Отсюда, понятие «логики» можно рассматривать в двух аспектах. С одной стороны, логика – есть наука, которая изучает человеческие рассуждения об истинном знании, об окружающей среде. С другой стороны, логика обозначает рассуждения, умение выводить умозаключение. Логика направлена на изучение способов постижения истинного знания не посредством чувств и чувственного опыта, а посредством знаний, которые были получены ранее. Поэтому она определяется как наука о способах получения выводного знания. Логика является совокупностью научных теорий, каждая из которых направлена на получение определенных способов доказательства и опровержения. Родоначальником «логики» как науки является Аристотель.

Логика – это наука, изучающая схемы, формы рассуждений. Таким образом, объектом изучения науки логики является мышление человека, а предметом – рассуждение. Рассуждение – это мыслительный процесс, в результате которого из уже имеющейся, известной информации получают новое знание. Рассуждаем мы постоянно: когда решаем математическую задачу, когда планируем выходные или выбираем, что надеть в том или ином случае. Чаще всего этот процесс происходит стихийно, не осознанно (или, по крайней мере, не до конца осознанно), логика же позволяет проанализировать рассуждение и даже проверить его с точки зрения его правильности. Для того чтобы сделать это, нам как раз и необходимо знать, какие схемы (или формы) рассуждений являются правильными, а какие – нет. Вот в этом и состоит первостепенная задача логики. Логическая форма рассуждения – это способ связи входящих в него высказываний; это – структура рассуждения, которую можно выделить с помощью абстрагирования от его содержания.

Так как логика понимается как наука о мышлении. Следует обратиться к пониманию понятия «мышление». Это сложный процесс, изучаемый многими науками: психологией, физиологией, философией. Еще античными философами рассматривалось мышление (Аристотель, Сократ, Демокрит, Парменид и другие) как форма познания. И. Кант, Г. Гегель и другие изучали мышление обыденное и научное, его конструкцию, функциональную особенность, сам процесс его протекания и особенность. Современные теории рассматривают «мышление» (К.А. Абульханова-Славской, Б.Г. Ананьевым, А.В. Брушлинским, Л.С. Выготским, П.Я. Гальпериным, А.Н. Леонтьевым, А.М. Матюшкиным, С.Л. Рубинштейном и др.) как обобщенную и опосредованную форму, необходимую человеку для отражения действительной окружающей среды, ее существенные связи и отношения. В педагогике развитие мышления рассматривается И.Я. Лернером, М.И. Махмутовой, П.И. Пидкасистым и другими.

Посредством мышления человек может познавать как осуществляются процессы материального мира, выявить причинно-следственную связь природы и общества, а также закономерности психического процесса людей. Мышление необходимо для осуществления любой осмысленной деятельности людей: оно возникло и получило развитие «внутри исторического изменения способов данной деятельности» [14, С. 249]. Следовательно, мышление имеет конкретно предметную основу, и соотноситься с какой-либо сферой действительности: мышление является процессом, при котором взаимодействует познающий, мыслящий субъект со своим объектом познания для того чтобы решить задачу объективного содержания» [52, С. 12-13]. Характером данного материала является качество критерия различных видов мышления. Отсюда виды мышление подразделяется на такие виды мышления как общественное, историческое, лингвистическое, математическое, экономическое, математическое, логическое.

Заключение

Анализ психолого-педагогической, методической литературы, опыта работы учителей математики показывает, что формирование математических способностей детей и подростков имеет на сегодняшний день огромное значение. Ко всему прочему, необходимо создавать для учащихся условия, способствующие возникновению познавательной потребности в приобретении знаний, в овладении способами их использования и влияющие на формирование навыков самостоятельной мыслительной деятельности, которая позволила бы им реализоваться в жизни, используя внутренний потенциал, как интеллектуальный, так и творческий. Обучающиеся должны освоить как неэквивалентную формальную логику, так и «житейские» нестандартные ситуации. Данная разница понимаема обучающимися только на конкретных примерах, при их решении. Безусловно, формальную и математическую логику не всегда можно применить в жизни, однако она вырабатывает способы рассуждения, вырабатывает способы логических приемов. Обучающиеся должны понять, что данные логические приемы и способы можно использовать в жизненной практике. Именно поэтому элемент логики необходим на уроках математики, а именно через применение олимпиадных и логических задач.

На сегодняшний день любая методическая система обучения математике немыслима без определённого набора задач. Задачи используются как очень эффективное средство усвоения школьниками понятий, методов, как наиболее действенное средство развития культуры мышления учащихся, как незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практическом применении математики. Сегодня наработаны значительные по объему и содержанию материалы, посвященные применению логических или олимпиадных задач и их решению во внеклассной форме. Несмотря на то, что многие авторы соотносят решение логических задач с непосредственной математической деятельностью, что определяет их место именно в математическом образовании детей и подростков. Однако в рамках предмета «Математика» логические или олимпиадные задачи применяются крайне редко.

Олимпиадные задачи являются задачами повышенной сложности и не только определяют предметные умения обучающихся, но и служат мощнейшим инструментом для развития логического мышления: способности к сильному абстрактному мышлению, комбинаторных способностей, способностей к пространственному представлению и оперированию пространственными образами, способностей к критическому мышлению, математической памяти как специфической способности математической деятельности.

Использование олимпиадных задач на уроках математики как позволяет улучшить результаты освоения учениками программного материала. Мониторинг результатов учебной деятельности обучающихся и диагностика уровня логического мышления показала положительную динамику. При решении олимпиадных задач обучающиеся стали больше проявлять креативность мышления, инициативу, находчивость, активность, способность к эмоциональному восприятию задач и рассуждений, пытались взять на себя ответственность за выбор способа решения и ответа. Значит, олимпиадные задачи могут быть средством достижения не только предметных, но и личностных результатов.

Таким образом, непосредственный опыт применения олимпиадных задач как элемента логики на уроках математики реализует основные требования к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования, сформулированным в ФГОС. Показателями этого становятся не только участие и победы наших обучающихся в конкурсах и олимпиадах различного уровня, но и то, что они сами становятся инициаторами новой математической деятельности, основанной на решении и создании логических и олимпиадных задач.

Список литературы

1. Антонов, А.А. Развитие логического мышления учащихся на уроках математики [Текст] / А.А. Антонов // Вестник науки. – 2018. – Т. 4. – № 8 (8). – С. 13-21.

2. Архипова, А.И. Формула знаний – Дидактическая интернет технология с применением понятий алгебры логики [Текст] / А.И. Архипова, А.Г. Шевляк // Современные проблемы науки и образования. – 2011. – № 5. – С. 82.

3. Барр, С. Россыпи головоломок [Текст] / С. Барр. – М.: Мир, 1987. – 415 с.

4. Белов, В.Н. Фантасмагория с головоломками [Текст] / В.Н. Белов. – М.:Мир, 2002. –190 с.

5. Болховитинов, В.Н. Твоё свободное время. Занимательные задачи, опыты, игры [Текст] / В.Н. Болховитинов, Б.И. Колтовой, И.К. Лаговский. – М.: Детская литература, 1975. – 464 с.

6. Брестель, Т.Г. Развитие образного и логического мышления младших школьников через обучение игре в шахматы [Текст] / Т.Г. Брестель

// Начальная школа плюс До и После. – 2011. – № 9. – С. 81-85.

7. Булаева, О.Н. Развитие логического мышления на уроках математики [Текст] / О.Н. Булаева, Е.В. Бурмистрова, А.П. Вилякина // Актуальные проблемы преподавания в начальной школе. Кирюшкинские чтения Материалы Всероссийской научно-практической конференции / Под редакцией Е.Н. Ахтырской, Л.В. Борзовой, М.А. Мазаловой. – 2017. – С. 68- 70.

8. Вейль, Г. Математическое мышление [Текст] / Вейль Герман. – М.: Наука, 1989. – 400 с.

9. Виленкин, Н.Я. Математика: учебник для 5 класса средней школы [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – М.: Просвещение, 1990. – 304 с.

10. Воронцова, Л.Я. Развитие логического мышления на уроках математики [Текст] / Л.Я. Воронцова // Образование в современной школе. – 2007. – №2. – С. 49-54.

11. Галканов, А.Г. Метод от противоположного и его применения к доказательству теорем [Текст] / А.Г. Галканов. – М.: Изд-во МГУЛ, 2011. – 59 с.

12. Гарднер, М. Математические досуги [Текст] / М. Гарднер. – М.: Мир, 2000. – 443 с.

13. Горев, П.М. Механизмы апробации и внедрения курса «Развивающая математика» для учащихся 5–6-х классов в практику работы основной школы [Электронный ресурс] / П.М. Горев, Н.Н. Новосёлова // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2017. – No 4. – URL: http://e-koncept.ru/2017/170096.htm. – Дата обращения: 12.12.2019.

14. Давыдов, В.В. Виды обобщения в обучении (логико- психологические проблемы построения учебных предметов) [Текст] / В.В. Давыдов. – М.: Педагогика, 1972. – 456 с.

15. Деркач, М.И. Элементы математический логики в курсе математики средней школы [Текст] / М.И. Деркач, Н.А. Деркач // Прикладные задачи математики. Материалы XXIII международной научно- технической конференции. ФГАОУ ВО «Севастопольский государственный университет» / Науч. ред. С.О. Папков. – М.: ФГАОУ ВО «Севастопольский государственный университет», 2015. – С. 13-16.

16. Дулатова, З.А. О развитии логического мышления учащихся средствами математики [Текст] / З.А. Дулатова, Е.С. Лапшина // Сибирский педагогический журнал. – 2016. – № 3. – С. 7-12.

17. Дьюдени, Г.Э. 520 головоломок [Текст] / Г.Э. Дьюдени. – М.: Мир, 2000. – 333 с.

18. Екимова, М.А. Задачи на разрезание [Текст] / М.А. Екимова, Г.П. Кукин. – М.:МЦНМО, 2002. – 120 с.

19. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя [Текст] / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. – М.: Просвещение, 1990 – 128 с.

20. Зайкин, М.И. Математический тренинг: развиваем комбинационные способности [Текст] / М.И. Зайкин. – М.:ВЛАДОС, 1996. – 176 с.

21. Замятин, А.П. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие / А.П. Замятин. – Екатеринбург: УрГУ, 2008. – 273 с.

22. Зверева, Л.Г. Особенности развития логического мышления учащихся на уроках математики [Текст] / Л.Г. Зверева, М.В. Редькина // Colloquium-journal. – 2018. – № 12-3 (23). – С. 10-11.

23. Зубарева, И.И. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений [Текст] / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007. – 264 с.

24. Ивин, А.А. Логика [Текст] / А.А. Ивин. – М.: Просвещение, 1996. – 206 с.

25. Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки. Книга 3 [Текст] / Е.И. Игнатьев. – СПб.: Новое время, 1915. –322 с.

26. Икрамов, Дж. Теория и практика развития математической культуры школьников [Текст] / Дж. Икрамов. – Ташкент, 1983. – 123 с.

27. Караева, В.М. Элементы логики в обучении школьной математике [Текст] / В.М. Караева // Colloquium-journal. – 2018. – № 1-1 (12). – С. 11-13.

28. Картер, Ф. Логические головоломки [Текст] / Ф. Картер, К.Рассел. – М.: Астрель, 2007.–223 с.

29. Козубовский, В.М. Общая психология: познавательные процессы: учебное пособие [Текст] / В.М. Козубовский. – 3-е изд. – Минск: Амалфея, 2008. – 368 с.

30. Кордемский, Б.А. Математические завлекалки [Текст] / Б.А. Кордемский. – М.: Изд. дом «ОНИКС», 2000. –512 с.

31. Кордемский, Б.А. Удивительный квадрат [Текст] / Б.А. Кордемский, Н.В. Русалев. – М.: Столетие, 1994. –160 с.

32. Кущетерова, Ф.Т. Развитие логического мышления на уроках математики [Текст] / Ф.Т. Кущетерова // Мир науки, культуры, образования. – 2016. – № 3 (58). – С. 111-113.

33. Лебедева, С.В. Конструирование открытых заданий как средства развития интеллектуально-творческой деятельности учащихся при обучении математики [Текст] / С.В. Лебедева // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. – 2007. –

№10. – С. 197-202.

34. Лихтарников, Л.М. Числовые ребусы и способы их решения [Текст] / Л.М. Лихтарников. – СПб.: Лань, 1996. – 125 с.

35. Лойд, С. Математическая мозаика [Текст] / С. Лойд. – М.: Рипол, 1995. –352 с.

36. Максимов, Л.К. Развитие основных компонентов теоретического мышления школьников: На математическом материале: диссертация . кандидата психологических наук: 19.00.07. [Текст] / Л.К. Максимов. – Москва, 1979. – 128 с.

37. Маслова, О.А. Формирование у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений при изучении математической логики [Текст] / О.А. Маслова // Известия Волгоградского государственного технического университета. Серия: Проблемы социально- гуманитарного знания. – 2014. – Т. 16. – № 5 (132). – С. 97-100.

38. Матушкина, З.П. Приемы обучения учащихся решению математических задач [Текст]: учеб. пособие / З.П. Матушкина; М-во образования Рос. Федерации, Курган. гос. ун-т. – Курган: Курган. гос. ун-т, 2003. – 140 с.

39. Минскин, Е.М. От игры к знаниям: Развивающие и познават. игры мл. школьников. Пособие для учителей [Текст] / Е.М. Минскин. – М.: Просвещение, 1982. – 192 с.

40. Мочалов, Л.П. Головоломки [Текст] / Л.П. Мочалов. – М.: Просвещение, 1996. –190 с.

41. Ненашев, М.И. Введение в логику [Текст] / М.И. Ненашев. – Киров, 1997. – 240 с.

42. Ожегов, С.И. Словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов. – М.: Советская энциклопедия, 1972. – 848 с.

43. Ончукова, Л.В. Логические задачи в школьном курсе математики [Текст] / Л.В. Ончукова // Научно-методический электронный журнал Концепт. – 2012. – № 12. – С. 106-118.

44. Останов, К. Особенности изучения элементов математической логики в школе [Текст] / К. Останов, А.А. Азимзода // Современные научные исследования: теория и практика. Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции / Под общей редакцией А.И. Вострецова: Научно-издательский центр «Мир науки», 2018. – С. 369-372.

45. Перельман, Я.И. Для юных математиков. Веселые задачи [Текст]

/ Я.И. Перельман. –М.:Ремис, 2007. –136 с.

46. Платонов, К.К. Краткий словарь системы психологических понятий: [Учеб. пособие для инж.-пед. работников профтехобразования] [Текст] / К.К. Платонов. – М.: Высш. школа, 1981. – 175 с.

47. Подгорецкая, Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых [Текст] / Н.А. Подгорецкая. – М.: Изд-во МГУ, 1980. – 149 с.

48. Пойа, Д. Математическое открытие [Текст] / Д. Пойа. – М.: Наука, 1970. – 456 с.

49. Примерные программы по учебным предметам. Математика 5-9 классы [Электронный ресурс]. – URL:http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2629. – Дата обращения: 12.09.19.

50. Раскина, И.В. Логика для всех. От пиратов до мудрецов [Текст] / И.В. Раскина. – М.: Литагент МЦНМО, 2016. – 206 с.

51. Розов, Н.Х. Логика и школа [Текст] / Н.Х. Розов // Математическое образование. – 2016. – № 1 (77). – С. 2-5.

52. Рубинштейн, С.Л. Бытие и сознание [Текст] / С.Л. Рубинштейн. — М.: Изд-во АН СССР, 1957. – 328 с.

53. Стамалиева, К.А. Законы математической логики и их применение [Текст] / К.А. Стамалиева, М.М. Шайланова // Известия ВУЗов Кыргызстана. – 2017. – № 4. – С. 130-133.

54. Терентьева, Л.П. Решение нестандартных задач. Учебное пособие [Текст] / Л.П. Терентьева. – Чебоксары: Изд-во ЧГПУ, 2002. – 35 с.

55. Трегуб, Л.С. Элементы современного введения в математику. Равенство. Числовые структуры / Л.С. Трегуб, Ташкентский университет им. В.И. Ленина. – Ташкент: Фан, 1973. – 355 с.

56. Утёмов, В.В. Педагогика креативности: прикладной курс научного творчества [Текст] / В.В. Утёмов, М.М. Зиновкина, П.М. Горев. – Киров: Изд-во МЦИТО, 2013. – 212 с.

57. Ушакова, М.А. Изучение элементов математической логики в школьном курсе математики [Текст] / М.А. Ушакова // Новое слово в науке: стратегии развития сборник материалов VII Международной научно- практической конференции. – 2018. – С. 79-83.

58. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 декабря 2010 г. №413 г. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/55070507/. – Дата обращения: 09.12.19.

59. Фертикова, Е.И. Развитие логического мышления учащихся при обучении геометрии [Текст] / Е.И. Фертикова // Вестник Псковского государственного педагогического университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. – 2010. – № 10. – С. 133-136.

60. Фрейнденталь, Г. Математика в науке и вокруг нас [Текст] / Ганс Фрейденталь; пер. с нем. Ю.А. Данилова. - Москва: Мир, 1977. – 261 с.

61. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи [Текст] / Л.М. Фридман; Акад. пед. и соц. наук. Моск. психол.-соц. ин-т. – М.; Воронеж: Моск. психол.-соц. ин-т, 1999. – 235 с.

62. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.

63. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших заведений [Текст] / Л.М. Фридман; Акад. пед. и социал. наук. Моск. психол.- социал. ин-т. – Москва: Моск. психол.-социал. ин-т: Флинта, 1998. – 216 с.

64. Хазыкова, Т.С. Развитие логического мышления младшего школьника на уроках математики [Текст] / Т.С. Хазыкова // Образование и наука: современные тренды Сер. «Научно-методическая библиотека» – Чебоксары, 2016. – С. 158-176.

65. Харди, Дж. Головоломки, нелепицы, обманки [Текст] / Дж. Харди. – М.:АСТ-ПРЕСС, 1998. – 96 с.

66. Хлебникова, А.А. Развитие логического мышления на уроках математики [Текст] / А.А. Хлебникова. – Начальная школа. – 2015. – № 4. – С. 53-56.

67. Хмара, П.В. Взаимосвязь развития логического мышления и повышения математической культуры обучающихся [Текст] / П.В. Хмара // Лучшая научно-исследовательская работа 2016 сборник статей победителей V Международного научно-практического конкурса. – Пенза, 2016. – С. 208- 210.

68. Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 классы [Текст] / И.Ф.

Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – М.: Дрофа, 2001. –192 с.

69. Ширяева, В.А. Новая образовательная область знания как ресурс развития мышления [Текст] / В.А.Ширяева Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. – 232 с.

70. Эйлер, Л. Письма к ученым [Текст] / Под ред. академика В.И. Смирнова.– М.; Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1963. – С. 152-158.

71. Юношева, Ю.С. Изучение вопросов математической логики в школе в условиях реализации ФГОС [Текст] / Ю.С. Юношева, К.А. Халатян

// Вопросы педагогики. – 2019. – № 6-1. – С. 174-176.

72. Яглом, И.М. Как разрезать квадрат? [Текст] / И.М. Яглом. – М.:Наука, 1968. – 112 с.

73. Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования [Текст] / И.С. Якиманская. – М.: ИЦ «Академия», 2004. – 320 с.

74. Янкина, Л.А. Использование элементов логики при изучении математических понятий [Текст] / Л.А. Янкина // ПМНО: Поиск. Мастерство. Новаторство. Опыт: Материалы всероссийской научно-практической конференции / Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева. – Саранск, 2013. – С. 122–125.