«Рост целых функций и их приложение к школьному курсу математики» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА . ПОНЯТИЕ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ 5

1.1.Определение целых функции 5

1.2.Порядок и рост целой функции 12

1.3. -порядок целой функции 17

ГЛАВА . 21

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23

ЛИТЕРАТУРА 24

Введение

Целые функции - самые простые и самые часто встречающиеся функции. В курсе математики средней школы рассматриваются либо целые функции (степень с натуральным показателем, многочлен, показательная функция, синус, косинус), либо функции дробные, т. е. частное двух целых функций (дробно-рациональные, тангенс, котангенс), либо обратные функции по отношению к целым и дробным (корень с натуральным показателем, логарифмические и обратные тригонометрические функции).[5,5]

Актуальность. Теория целых функций является одной из классических областей теории функций. Вопросы связи распределения корней целой функции с ее ростом были исследованы еще в 90-х годах века в начале века в работах Алаиара, Бередя, Линделефа, явившихся дальнейшим развитием классических теории Сохоцкого, Зейеритрасса, Пиара. К проблемам целых функций сводятся многие задачи теории дифференциальных уравнений (задачи единственности, задачи полноты в минимальности семейств решений и др.), задачи теории интерполирования, проблемы полноты экспоненциальных семейств и др.

Многочисленные применения теория целых функции нашла в различных областях функционального анализа. Многообразно применение целых функции многих переменных и в ряде разделов физики. В теории целых функции основными являются вопросами роста целых функции и распределения корней. В настоящее время интерес к целым функциям все возрастает как со стороны специалистов по дифференциальным уравнениям, так и со стороны специалистов в области функционального анализа. Мы же в нашей работе хотим выяснить, существует ли взаимосвязь между двумя различными характеристиками роста целой функции. [2,7]

Гипотеза нашего исследования состоит в том, что две различные характеристики роста целой функции могут быть при некоторых условиях равны или иметь какую-либо взаимосвязь.

Объектом исследования являются целые функции.

Предметом исследования являются свойства целой функции, влияющие на ее рост.

Цель нашей работы состоит в изучении целых функции и исследования зависимостей их роста.

Мы ставим перед собой следующие задачи:

-Проработать литературу по изучаемой теме;

-Изучить понятие «целая функция» и ее основные свойства;

-Узнать в каких сферах применяется теория целых функции;

-Выяснить некоторые зависимости роста целых функций;

-Изучить приложения целых функций к школьному курсу математики.

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются теоретические основы понятия «целые функции», которые необходимы нам для решения поставленных задач. Во второй мы непосредственно рассмотрели некоторые зависимости возрастания целых функции, для достижения цели работы, сформулированной автором.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА . ПОНЯТИЕ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ

1.1.Определение целых функции

Обобщением понятия многочлена можно считать всюду сходящиеся, степенные ряды:

.

Вышеуказанный степенной ряд будет сходиться при любом тогда и только тогда, когда

Маркушевич А.И. доказывает достаточность этого условия, которое мы обозначим цифрой (1). При ряд сходится.

Пусть Тогда в силу условия (1) можно найти такое , что при будет выполняться неравенство , или

| || |< . Но это означает, что все члены ряда при по абсолютной величине меньше, чем члены геометрической прогрессии со знаменателем . Получим, что ряд из модулей сходится, поэтому ряд сходится и притом абсолютно. [5,7]

Итак, сумма всюду сходящегося степенного ряда называют целой функцией. Отсюда следует, что каждый многочлен является целой функцией. Существуют и другие примеры целых функций всем известные: показательная, . С помощью формулы Тейлора доказывается, что каждая из них представляется в виде суммы всюду сходящегося степенного ряда.

Условие (1) наложенное на коэффиценты ряда выполняется и для коплексного числа Любую целую функцию можно рассмотреть, как функцию комплексного переменного , определенную во всей комплексной плоскости. Данное условие формулируется в теореме Коши-Адамара,которая будет рассмотрена ниже.

Степенной ряд

где …, - фиксированные комплексные числа, а z-комплексное переменное, является простейшим примером функционального ряда, то есть ряда, члены которого суть некоторые функции от z. Такой ряд, вообще говоря, сходится при одних значениях z и расходится при других.Сведения о том,где это происходит и дает теорема Коши-Адамара:

Заключение

При написании данной работы была изучена литература, касающаяся темы «целые функции». Изучены понятие «целая функция» и ее основные свойства. Нами было выяснено, что целые функции встречаются уже в школьном курсе математики и играют важную роль в развитии математики в целом.

Мы рассмотрели некоторые характеристики роста целых функции. В частности такие характеристики, как порядок целой функции и - порядок целой функции. Целью исследование было нахождение взаимосвязи между двумя различными характеристиками. Из второй главы данной работы можно сделать следующий вывод. Порядок роста и - порядок целой функции могут совпадать, в некотором случае, такой случай мы рассмотрели в нашей работе.

Итак, выдвинутая нами гипотеза, что две различные характеристики роста целой функции могут быть при некоторых условиях равны или иметь какую-либо взаимосвязь,была доказана.

Цели и задачи, поставленные перед нами, были достигнуты в полном объеме.

Список литературы

1)Еврграфов, М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» , 310c;

2)Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа-Физматлит,2003-– ISBN 5-71074119-1.;

3)Леонтьев, А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1983-176с

4)Леонтьев, А.Ф. Ряды экспонент. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» ,1976-536с;

5)Маркушевич, А. И. Целые функции. Элементарный очерк.

М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1965-108с;

6) Маркушевич, А. И.Краткий курс теории аналитических функций.

М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1950-384с;

7) Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316c ;

8)Ронкин, Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1971-432с;

9)Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1964-388с;

10)Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного (краткий курс). Издательство РнД, 1965 - 208 с.