«ФОРМИРОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПЛОЩАДИ ФИГУР В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКЕ» - ВКР

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПЛОЩАДИ ФИГУР 7

1.1. Роль и место понятия «площадь» в школьном курсе математики 7

1.2. Знакомство с понятием площади 10

1.3. Методика изучения данной темы 12

1.4. Площадь прямоугольника 12

1.5. Площадь параллелограмма 15

1.6. Площадь треугольника 17

1.7. Площадь круга 21

1.8. Площадь произвольного n-угольника 22

1.9. Площадь правильного n-угольника 23

1.10. Площадь криволинейной трапеции 23

Выводы по 1 Главе «Теоретические аспекты площади фигур» 26

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПЛОЩАДИ ФИГУР 28

2.1. Фрагменты уроков математики с использованием площади фигур 28

Фрагмент урока в 5 классе на тему «Площадь. Формула площади прямоугольника» 28

Фрагмент урока в 8 классе на тему «Площадь многоугольников» 31

Выводы по 2 Главе «Практические аспекты использования площади фигур» 34

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35

ЛИТЕРАТУРА 37

Приложение 1 40

Приложение 2 47

---

Введение

Актуальность исследования. Обучение математике в школе призвано развивать познавательные и творческие способности каждого ребенка. Его интеллект, культуру и должно быть направлено на развитие личности школьника. Изучение математики вооружает учащихся конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, а также при изучении смежных дисциплин. Изучение математики способствует становлению гуманитарной культуры человека, раскрывает представление о том, что математика - часть общечеловеческой культуры.

По этой причине одной из основных целей обучения математике (в частности, геометрии) является привитие учащимся интереса к этому предмету, используя особенности самой математики. Особая роль здесь отводится задачам. Которые призваны возбудить у учащихся интерес к изучаемому предмету, стимулирующим познавательную активность школьников и оказывающим эстетическое воздействие на них.

Чтобы заинтересовать школьников, привлечь их внимание к геометрии, к процессу решения геометрических задач, к процессу геометрического творчества, необходимо показать этот предмет во всем его многообразии, акцентируя внимание на интересных, занимательных моментах. При этом, важно учесть, что у одних школьников интерес вызывает поиск результата, у других - обоснование, у третьих - поиск неординарного, оригинального решения. Один из возможных путей удовлетворения указанных требований - создание специального сборника задач по одному из вопросов курса геометрии. Важно при этом, чтобы задачи сборника были упорядочены (по каким-то принципам) и могли выполнять различные дидактические, развивающие и воспитательные функции. Собственно этой проблеме и посвящена данная работа. Ведь воспитание познавательного интереса у школьников - одно из важнейших условий эффективности учебного процесса.

Большими возможностями в этом плане обладает тема «Формирования представлений о площади фигур в школьном курсе математике». Тема «Понятие фигуры» заключена в рамках содержательно-методической линии «Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин», но вместе с тем, эта тема имеет непосредственную связь и с другими содержательными линиями школьного курса математики.

Выбор данной темы не случаен: она способна «вобрать» в себя большой теоретический и практический материал. Который накапливают школьники ко времени изучения данной темы и, кроме того, располагает огромными возможностями по формированию системы знаний, умений и навыков решения различных типов задач, творческого мышления и интуиции учащихся; способствует развитию интеллекта, мировоззрения, нравственных качеств учащихся при решении планиметрических задач непосредственно на уроках и во внеклассной работе. Здесь можно предложить учащимся и задачи на непосредственное измерение площадей, и на вычисление площадей с помощью формул (опосредованное измерение), и всевозможные задачи на разрезание и перекраивание фигур, на конструирование из бумаги, и задачи на равновеликие и равносоставленные фигуры, и наконец, задачи с привлекательным чертежом, условием и т.д. Ведь школьникам особенно нравится, если условия задач имеют занимательную форму.

Выбор темы исследования «Формирования представлений о площади фигур в школьном курсе математике» обусловлен также и иными причинами. Во-первых, эта тема имеет важное историческое значение для математики как науки: само слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить). Во-вторых, площади находят широкое применение при изучении других тем курса геометрии, а также алгебры, физики, химии, географии, экологии и т.д. Ведь с помощью площадей можно по-иному доказать уже изученные геометрические факты, теоремы. Площади дают также метод решения задач, основанный на применении свойств площадей и формул для вычисления площадей тех или иных геометрических фигур, и именуемый методом площадей. В-третьих, данная тема имеет самую непосредственную связь с практической деятельностью людей. Ведь, действительно, мы сталкиваемся с площадями на каждом шагу: это и площади наших квартир, и все, что касается ремонта квартир также основывается на этом понятии (сколько квадратных метров керамической плитки необходимо купить, чтобы выложить ею ванную комнату, сколько рулонов обоев необходимо затратить на оклейку комнаты и т.д.). Площади находят непосредственное применение в быту, в технике, строительстве, искусстве и т.д.

Цель работы – разработка и обоснование системы задач по теме «Формирования представлений о площади фигур в школьном курсе математике», направленных на всестороннее развитие учащихся и возбуждение интереса к геометрии.

Объект исследования: организация учебно-воспитательного процесса в период изучения темы «Формирования представлений о площади фигур в школьном курсе математике».

Предмет исследования: обучение учащихся основной школы приемам нахождения площади многоугольников.

В соответствии с целью исследования нами были определены задачи исследования:

1. Изучить научную и педагогическую литературу по данному вопросу;

2. Теоретически раскрыть структуру понятия площадей фигуры;

3. Изучить опыт работы учителей по данной теме;

4. Рассмотреть пример урока по математике для сравнительного анализа методики преподавания темы.

Гипотеза исследования: при целенаправленном и грамотном использовании методик и современных ТСО, в том числе электронных презентаций, развивается интерес к изучению рассматриваемой темы и более глубокому и качественному усвоению материала.

Для реализации поставленных в работе целей и задач использовался комплекс методов исследования: общенаучные методы (сравнительный анализ и синтез литературы по исследуемой проблеме, анализ документации, терминологический анализ основных понятий).

---

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПЛОЩАДИ ФИГУР

1.1. Роль и место понятия «площадь» в школьном курсе математики

Словом, площадь школьники пользуются уже в начальной школе. Математика в начальных классах – это, прежде всего знакомство с основными математическими терминами, понятиями и величинами, одной из которых и является площадь. Однако, непосредственное введение понятия «площадь» и изучение площади как величины начинается только в пятом классе. Геометрический материал в I – VI классах распределен по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического курса геометрии. Основные цели этого курса – подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии VII – IX классов. Задачами данного курса являются развитие у учащихся логического мышления, знакомство их с основными геометрическими понятиями, развитие пространственного мышления; формирование навыков измерения геометрических величин, построения геометрических фигур и т.д. Но и перейдя в пятый класс, учащиеся не сразу приступают к изучению площади. Это понятие вводится только во второй четверти. Как и в случае введения любого другого понятия, введению понятия «площадь» должно предшествовать изучение ряда объектов и понятий, на которые учащиеся опираются при изучении данного понятия. В нашем случае такими понятиями являются отрезок, длина отрезка, квадрат числа.

В школьных учебниках площадь многоугольника определяется с помощью указания ее свойств:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т.е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей составляющих многоугольников (многоугольники, не имеющие общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице. В различных учебниках определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше.

Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию S(F), заданную на множестве {F} всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами (их иногда называют аксиомами площади):

1) (положительность площади) для любого многоугольника F справедливо S(F) > 0;

2) (инвариантность площади) если F1  F2 , то S(F1 )  S(F2 ) символ «  »

здесь обозначает, что многоугольники движением;

F1 и F2

могут быть совмещены

3) (аддитивность площади) если F  F1  F2 и многоугольники F1 и F2 не перекрываются, то S(F) = S(F2) + S(F2);

4) (нормированность площади) для квадрата Е со стороной единичной длины S(E) = 1.

Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня b  n a(a  0) : b — есть неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Ведь и в этом случае арифметический корень b определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции f(x) =

хn ( x [0,) и n N ) есть [0,) . Второе следует из строго монотонного

возрастания рассматриваемой функции.

Для корректного определения площади многоугольников — функции S(F) — требуется доказать, что такая функция существует и единственна.

Многим сам вопрос (об определении площади) покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению.

Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что «площадь» нуждается в специальном определении.

---

Заключение

Теперь попытаемся подытожить и обобщить все вышесказанное. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе знакомятся с понятием площади плоской фигуры. На первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении о площади, а не о строгом математическом обосновании этого понятия.

Первоначально у учащихся представление о площади плоской фигуры связывается с подсчетом числа единичных квадратов. Изучение площади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника (стороны которого соизмеримы с линейной единицей измерения). Программа курса геометрии предусматривает знакомство учащихся с вычислением площади с помощью палетки. Использование ее позволяет сделать не только доступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади (подсчет числа единичных квадратов, помещающихся в данной фигуре). Переходя от непосредственного измерения площади путем сравнения ее с единицей измерения к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что для измерения площадей нет столь удобных приборов, какие были для измерения длин отрезков и величин углов. Поэтому стоит более внимательно разобраться с величиной – площадью и выявить способы ее нахождения.

Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин, как расстояние, угол, мы убеждаемся в том, что:

а) площади можно складывать между собой и умножать на положительные числа;

б) за единицу измерения площади можно выбрать некоторую площадь S, где S=ku, где k – некоторое число, u – единица площади.

С понятием «Площади фигур» впервые учащиеся знакомятся в курсе геометрии V класса. Понятие площади фигуры вводится аксиоматически, но делается это неявно, с опорой на жизненный опыт учащихся. Сначала вводится формула площади прямоугольника (с целыми длинами сторон; длины сторон – конечные десятичные дроби; длины сторон – бесконечные десятичные дроби). На ее основе выводится формула площади параллелограмма; последняя выводится при выводе формул площади треугольника:

S  1 ah ;

S  1 absin

(вводится немного позднее);

S  , трапеции, выпуклого многоугольника, описанного около круга; должное внимание уделяется формуле площади круга; формула выводится неявно на уровне наглядных представлений; VII – IX классы – основа – предельный переход от площади правильных вписанных и описанных n-угольников к площади круга. Рассматриваются такие площади подобных фигур: зависимость площади подобных фигур от отношения их линейных размеров; соответствующее соотношение выводится и для простых фигур с помощью разбиения их на конечное число треугольников.

---

Список литературы

1. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. Сборник задач по элементарной математике [Текст] / Н.П. Антонов – М.: Наука, гл. ред. Физ.-мат. лит., 1972, 318 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10 – 11 кл. ср. шк. – 3-е изд. [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев – М.: Просвещение, 1994, 255 с. – ISBN 978-5-09-020368-5.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. ср. шк. – 4-е изд. [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев – М.: Просвещение, 1994, 384 с. – ISBN 978-5-09-023915-8.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 – 11 кл. ср. шк. – 2-е изд. [Текст] / М.И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992, 351 с. – ISBN 5-09-003877-5.

5. Блох А.Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студ. пед. ин- тов по фтз.-мат. спец. [Текст] / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев – М.: Просвещение, 1987, 416 с.

6. Блох А.Я., Канин Е.С., Килина Н.Г. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» [Текст] / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина – М.: Просвещение, 1985, 336 с.

7. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика: Учеб. для 5 кл. ср. шк. – 2-е изд. [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов – М.: Просвещение, 1992, 278 с.

8. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика: Учеб. для 6 кл. ср. шк. [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов – М.: Просвещение, 1991, 286 с.

9. Дроздов В. Площадь четырехугольника//Математика: Приложение к газете «Первое сентября», [Текст] / В. Дроздов – с.21 - №39 2003.

10. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса [Текст] / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: Просвещение, 2007, 163 с.

11. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразоват. Учреждений [Текст] / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский – М.: Просвещение, 2008, 271 с.

12. Кокотушкин В.А., Панфилов Н.Г. 200 задач по геометрии для поступающих в вузы [Текст] / В.А. Кокотушкин, Н.Г. Панфилов – М.: "Уникум-Центр", "Поматур", 2007, 95 с. – ISBN 5-86208-029-5.

13. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6-8: Учеб. пособие для 6-8 классов средней школы [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов – М.: Просвещение, 2010, 384 с.

14. Корешкова Т.А., Цукерман В.В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики. Математика в школе [Текст] / Т.А. Корешкова, В.В. Цукерман – с.70 - №3 – 2003, 215 с.

15. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студ. физ.- мат. фак. пед. ин-тов. – 2-е изд. перераб. и доп. [Текст] / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин – М.: Просвещение, 1980, 480 с.

16. Перышкин А.В., Родина И.А. Физика: учеб. для 8 класса ср. шк. [Текст] / А.В. Перышкин, И.А. Родина – М.: Просвещение 1980, 240 с.

17. Петрушко И.М. Сборник задач по алгебре, геометрии и началам анализа [Текст]: учебное пособие / И. М. Петрушко, В. И. Прохоренко, В. Ф. Сафонов. - Изд. 2-е, испр. – СПб.: Лань, 2007, 574 с.

18. Погорелов А.В. Геометрия 7-11 кл.: Решение задач из учебника А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» [Текст] / А.В. Погорелов – М.: Дрофа, 2007, 184 с.

19. Погорелов А.В. Геометрия 7-11: Учебник для 7-11 классов средней школы [Текст] / А.В. Погорелов – М.: Просвещение, 2010, 384 с.

20. Рязановский А.Р., Фролова О.В. Геометрия 7-9 кл.: Дидактические материалы [Текст] / А.Р. Рязанский, О.В. Фролов – М.: Дрофа, 2007, 220 с. – ISBN 5-7107-2788-1.

21. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на клетчатой бумаге [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов – М.: Чистые пруды, 2009, 31 с. – ISBN 978-5-9667-0574-9.

22. ЕГЭ-Студия. Все формулы по геометрии. Площади фигур [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/formuly-geometrii/.

23. Инженерное дело. Техническая и учебно-методическая документация [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.pppa.ru/additional/01geodesy/06/02topo.php.

24. Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика профильного уровня [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/.

25. Федеральные государственные образовательные стандарты [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://fgos.ru/.

26. Яндекс – поисковая система интернет-портал [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/.

---