«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «математические методы для экологов»» - Дипломная работа

Содержание

Введение….….3

Глава I. Ряды….….4

§ 1. Числовые ряды….….4

§2.Функциональные ряды….…17

Упражнения…28

Глава II. Дифференциальные уравнения….31

§2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, их частные случаи….31

§ 2.2. Линейные уравнения второго порядка….….45

Упражнения…52

Глава III. Событие и вероятность….54

§ 3.1. Основные понятия. Определение вероятности….54

§ 3.2. Случайные величины….67

§ 3.3. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания….69

§ 3.4. Дисперсия дискретной случайной величины….71

Упражнения…73

Глава IV. Элементы математической статистики…75

§ 4.1. Генеральная совокупность и выборка….75

§ 4.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке….80

Упражнения….85

Заключение…87

Список литературы….88

Введение

Данное методическое пособие предназначено для студентов естественно-геогрaфического фaкультетa второго курсa очной формы обучения специaльность «Экология». В лекции дaнa прогрaммa курсa, примеры зaдaч по соответствующим темaм, список рекомендовaнной литерaтуры. Рaссмотрены основные темы высшей мaтемaтики с подробным изложением теоретического мaтериaлa, с примерaми зaдaч по кaждой теме.

Актуальность: в современный период роль математических методов в естествознании все возрастает. Эти методы теперь широко используют и в биологии, и в химии, и в географии, и в экологии.

Целью данной работы является:

Разработка и создание учебного пособия по теме «Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «Математические методы для экологов».

Основные задачи:

1. Проанализировать имеющийся объем научной литературы по проблеме исследования.

2. Проанализировать методические разработки по данной теме из различных источников.

3. Определить структуру и содержание методического пособия по курсу «Математика» для студентов направления «Экология».

4. Структурировать изученный материал для дальнейшего использования в качестве методического обеспечения лекционных занятий по курсу «Математические методы для экологов».

Объект исследования – профессиональная подготовка по курсу «Математические методы для экологов» в педагогических вузах.

Предмет исследования – методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «Математические методы».

Выдержка из текста работы

Глава I. Ряды.

§1. Числовые ряды.

Основные понятия. Основные свойства рядов.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

∑_(n=1)^∞▒u_n = u_1+ u_2+ ∙∙∙u_n+…, (1)

Где u_1,〖 u〗_2,…,u_n,… − действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, 〖 u〗_n – общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда u_n, выражений как функция его номера n:〖 u〗_n = ƒ (n) .

Сумма первых n членов ряда (1) называется n – й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е 〖 S〗_n =u_1 +u_(2 ) + ∙∙∙ +u_n.

Рассмотрим частичные суммы

S_(1 )= u_1, S_2 = u_1 + u_2, S_(3 )= u_1 + u_2 + u_3, … .

Если существует конечный предел S = lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 последовательности частичных сумм ряда (1),то этот предел называется суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S=∑_(n=1)^∞▒u_n .[11]

Если lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = ∞,то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим примеры.

Ряд 2 + 17 - 3 1/4 + 196 + … нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 + …− можно: его общий член задается формулой 〖 u〗_n = 3n – 1.

Ряд 0 + 0 +0 + ∙∙∙ + 0 + … сходится, его сумма равна 0.

Ряд 1 + 1+ 1+ ∙∙∙ + 1 + … расходится,〖 S〗_(n )= n→∞ при n→∞.

Ряд 1 - 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0, … (S_(1 ) = 1, S_2 = 0, S_(3 ) = 1, …) не имеет предела.

Ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(n(n+1)) сходится. Действительно,

S_(1 )= 1/(1∙2) = 1 - 1/2,

S_2=1/(1∙2) + 1/(2∙3) = ( 1 - 1/2) + ( 1/2 - 1/3) = 1- 1/3,

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ,

S_n = 1/(1∙2) + 1/(2∙3) + 1/(3∙4) + ∙∙∙ + 1/(n(n+1)) = ( 1- 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3-1/(4 ))+ ∙∙∙ +(1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1).

Следовательно ,

lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = lim┬(n→∞)⁡〖( 1- 1/(n+1)〗 ) = 1,

т.е ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

∑_(n=1)^∞▒〖cu〗_n = 〖cu〗_1 + 〖cu〗_2 + ∙∙∙ + 〖cu〗_n + … , (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

Обозначим n – ю частичную сумму ряда (2) через S_n^((u)). Тогда

S_n^((u))= 〖cu〗_1+ 〖cu〗_2 + ∙∙∙ + 〖cu〗_n = c(u_1+ u_2 + ∙∙∙ +u_n) = c∙S_n.

Следовательно,

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗 =lim┬(n→∞)⁡〖〖cS〗_n 〗 = c ∙ lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = c ∙ S,

т.е. ряд (2) сходится и имеет сумму сS .

Покажем теперь ,что если ряд (1) расходится, с≠ 0, то и ряд (2) расходится. Допустим противное: ряд (2) сходится и имеет сумму S_1.

Тогда

〖 S〗_1 = 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗= lim┬(n→∞)⁡〖〖cS〗_n 〗 = c ∙ lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗.

Отсюда получаем:

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S_1/c,

т.е ряд (1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (1)

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

∑_(n=1)^∞▒〖 v〗_n , (3)

а их суммы равны S_1 и S_2 соответственно, то сходится и ряды

∑_(n=1)^∞▒〖(u_n 〗±v_(n )), (4)

Причем сумма каждого равна соответственно 〖 S〗_1± S_2.

Обозначим n –e частичные суммы рядов (1), (3) и (4) через S_n^((u)),

〖 S〗_n^((v)) и S_n соответственно. Тогда

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(S_n^((u)) 〗 ± 〖 S〗_n^((v))) = 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗 ± lim┬(n→∞)⁡〖S_n^((v)) 〗 = 〖 S〗_1± S_2,

т.е. каждый из рядов (4) сходится, и сумма его равна 〖 S〗_1± S_2 соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.[11]

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n > k ,будет выполняться равенство S_n - S_n^' = S, где S_n^' - это n –я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S + 〖 lim〗┬(n→∞) 〖 S〗_n^'. Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

u_(n+1) + u_(n+2) + ∙∙∙ = ∑_(k=n+1)^∞▒u_k (5)

Называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся и расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток

r_n = S - S_n = u_(n+1) +u_(n+2) + ∙∙∙ стремится к нулю при n →∞,т.е. lim┬(n→∞)⁡〖r_n 〗= 0.

[14]

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Нахождение n – й частичной суммы S_n и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливаются специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член u_n стремится к нулю, т.е. lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = 0.

Пусть ряд (1) сходится и 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S. Тогда и lim┬(n→∞)⁡〖S_(n-1) 〗 = S (при n→∞ и (n →1) → ∞). Учитывая, что u_n = S_n - S_(n-1) при n>1, получаем: lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = 〖lim⁡(〗┬(n→∞) S_n - S_(n-1 ))= 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 - lim┬(n→∞)⁡〖S_(n-1) 〗 = S – S = 0.[16]

Следствие 1. (достаточное условие расходимости ряда). Если lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗≠ 0 или этот предел не существует ,то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) : lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗= 0 . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.[14]

Пример 1. Исследовать сходимость ряда ∑_(n=1)^∞▒(3n-2)/(n+5).

Решение: Ряд ∑_(n=1)^∞▒(3n-2)/(n+5) расходится , т.к.

lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = lim┬(n→∞) (3n-2)/(n+5) = 3≠ 0,

т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

(1 + 1/1 )1 + ( 1+ 1/2 )2 + ∙∙∙ + (1 + 1/n )n + …

Решение: Данный ряд расходится, т.к. lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = lim┬(n→∞) (1 + 1/n )n = e ≠ 0.

Признак сравнения положительных числовых рядов.

Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.

Пусть даны два числовых ряда с положительными членами:

a1 + a2 +a3 +. . .+ an +. . . (1) и

b1 + b2 +b3 +. . .+ bn +. . . (2),

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1.

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.

an ≤ bn (n= 1, 2, …) (3)

И ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то и ряд (2) тоже расходится.[11]

Доказательство.

обозначим через Sn и σn частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Из условия (3) следует, что

Sn ≤ σn (4)

Так как ряд (2) сходится, то существует lim┬(n→∞)⁡〖σ_n =σ〗, а из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что σn < σ и тогда в силу неравенства (4) Sn< σ .

Мы доказали, что частичные Sn суммы ограничены, а так как последовательность частичных сумм является ещё и возрастающей, то она имеет предел lim┬(n→∞) S_n , причем, очевидно, что

S≤σ

2)Докажем теперь, что из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Предположим, что ряд (2) сходится, но тогда по только что доказанной теореме сходился бы и ряд (1), что противоречит условию теоремы.[16]

Исследуем ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

Пример 1.

Пусть дан ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(n(n+1))

Сравним его с рядом∑_(n=1)^∞▒1/n^2 - обобщенный гармонический ряд т.к.

α =2>1 то он сходится.

Сравним общие члены рядов:

Это значит, что из сходимости ряда с большими членами будет следовать сходимость данного ряда.

Пример 2.

∑_(n=1)^∞▒(〖cos〗^2 n)/n^4 , так как

0 ≤〖cos〗^2 n≤1, то 0 ≤ (〖cos〗^2 n)/n^4 ≤1/n^4 , но ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n^4 сходится, следовательно, и данный ряд тоже сходится.

Пример 3.

Исследовать на сходимость ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(3+2^n ).

Решение : Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии ∑_(n=1)^∞▒1/2^n , который сходится (q = 1/2 < 1). Имеем 1/(3+ 2^n ) < 1/2^n . Следовательно, данный ряд сходится.

Признак Даламбера.

Теорема 1. Пусть дан (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l.

Тогда ряд сходится при l> 1.

Так как lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l, то по определению предела для любого ε > 0 найдется натуральное число N такое, что при n > N выполняется неравенство

|u_(n+1)/u_n - l| < ε или l - ε < u_(n+1)/u_n < l + ε. (3.1)

Пусть l < 1. Можно подобрать ε так, что число l + ε < 1. Обозначим l + ε = q, q < 1. Тогда из правой части неравенства (3.1) получаем u_(n+1)/u_n < q, или u_(n+1) < q ∙ u_n, n > N. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что u_(n+1) < q ∙ u_n для всех n = 1,2,3, … Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:

〖 u〗_2 < q ∙ u_n,

u_3 < q ∙u_2 < q2u_1 ,

〖 u〗_4 < q ∙u_3 < q3u_1,

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ,

u_n < q ∙ u_n < qn-1 u_1,

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ,

т.е. члены ряда u_2 + u_3 + u_(4 )+ ∙∙∙ + u_n + ∙∙∙ меньше соответствующих членов ряда qu_1 + q2u_1 + q3u_1 + ∙∙∙ + qn+1 u_1 + … , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд u_2 + u_3 + u_(4 )+ ∙∙∙ + u_n + ∙∙∙ , следовательно, сходится и исходный ряд (1)[11]

Пусть l > 1. В этом случае lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l> 1. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N,выполняется неравенство u_(n+1)/u_n > 1, или u_(n+1) > u_n, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому lim┬(n→∞) u_n≠ 0. На основании следствия из необходимого признака ряд (1) расходится.

Замечания.

Если l = 1, то ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит вида n! или a^n.[16]

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n!.

Решение : Находим

l = lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = lim┬(n→∞) (1/(n+1)!)/(1/n!) = lim┬(n→∞) n!/(n+1)! = lim┬(n→∞) 1/(n+1) = 0.

Так как l = 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда ∑_(n=1)^∞▒3^n/n^2 .

Решение: Вычисляем

l = lim┬(n→∞)(3^(n+1)/〖(n+1)〗^2 : 3^n/n^2 ) = lim┬(n→∞) (3^n∙ 3 ∙ n^2)/(3^n ∙ 〖(n+1)〗^2 ) = 3 lim┬(n→∞)(n/(n+1))2 = 3 lim┬(n→∞)(1/(1+ 1/n))2 = 3.

Так как l = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

Глава I. Ряды.

§1. Числовые ряды.

Основные понятия. Основные свойства рядов.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

∑_(n=1)^∞▒u_n = u_1+ u_2+ ∙∙∙u_n+…, (1)

Где u_1,〖 u〗_2,…,u_n,… − действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, 〖 u〗_n – общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда u_n, выражений как функция его номера n:〖 u〗_n = ƒ (n) .

Сумма первых n членов ряда (1) называется n – й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е 〖 S〗_n =u_1 +u_(2 ) + ∙∙∙ +u_n.

Рассмотрим частичные суммы

S_(1 )= u_1, S_2 = u_1 + u_2, S_(3 )= u_1 + u_2 + u_3, … .

Если существует конечный предел S = lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 последовательности частичных сумм ряда (1),то этот предел называется суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S=∑_(n=1)^∞▒u_n .[11]

Если lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = ∞,то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим примеры.

Ряд 2 + 17 - 3 1/4 + 196 + … нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 + …− можно: его общий член задается формулой 〖 u〗_n = 3n – 1.

Ряд 0 + 0 +0 + ∙∙∙ + 0 + … сходится, его сумма равна 0.

Ряд 1 + 1+ 1+ ∙∙∙ + 1 + … расходится,〖 S〗_(n )= n→∞ при n→∞.

Ряд 1 - 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0, … (S_(1 ) = 1, S_2 = 0, S_(3 ) = 1, …) не имеет предела.

Ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(n(n+1)) сходится. Действительно,

S_(1 )= 1/(1∙2) = 1 - 1/2,

S_2=1/(1∙2) + 1/(2∙3) = ( 1 - 1/2) + ( 1/2 - 1/3) = 1- 1/3,

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ,

S_n = 1/(1∙2) + 1/(2∙3) + 1/(3∙4) + ∙∙∙ + 1/(n(n+1)) = ( 1- 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3-1/(4 ))+ ∙∙∙ +(1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1).

Следовательно ,

lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = lim┬(n→∞)⁡〖( 1- 1/(n+1)〗 ) = 1,

т.е ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

∑_(n=1)^∞▒〖cu〗_n = 〖cu〗_1 + 〖cu〗_2 + ∙∙∙ + 〖cu〗_n + … , (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

Обозначим n – ю частичную сумму ряда (2) через S_n^((u)). Тогда

S_n^((u))= 〖cu〗_1+ 〖cu〗_2 + ∙∙∙ + 〖cu〗_n = c(u_1+ u_2 + ∙∙∙ +u_n) = c∙S_n.

Следовательно,

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗 =lim┬(n→∞)⁡〖〖cS〗_n 〗 = c ∙ lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = c ∙ S,

т.е. ряд (2) сходится и имеет сумму сS .

Покажем теперь ,что если ряд (1) расходится, с≠ 0, то и ряд (2) расходится. Допустим противное: ряд (2) сходится и имеет сумму S_1.

Тогда

〖 S〗_1 = 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗= lim┬(n→∞)⁡〖〖cS〗_n 〗 = c ∙ lim┬(n→∞)⁡〖S_n 〗.

Отсюда получаем:

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S_1/c,

т.е ряд (1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (1)

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

∑_(n=1)^∞▒〖 v〗_n , (3)

а их суммы равны S_1 и S_2 соответственно, то сходится и ряды

∑_(n=1)^∞▒〖(u_n 〗±v_(n )), (4)

Причем сумма каждого равна соответственно 〖 S〗_1± S_2.

Обозначим n –e частичные суммы рядов (1), (3) и (4) через S_n^((u)),

〖 S〗_n^((v)) и S_n соответственно. Тогда

〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(S_n^((u)) 〗 ± 〖 S〗_n^((v))) = 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n^((u)) 〗 ± lim┬(n→∞)⁡〖S_n^((v)) 〗 = 〖 S〗_1± S_2,

т.е. каждый из рядов (4) сходится, и сумма его равна 〖 S〗_1± S_2 соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.[11]

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n > k ,будет выполняться равенство S_n - S_n^' = S, где S_n^' - это n –я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S + 〖 lim〗┬(n→∞) 〖 S〗_n^'. Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

u_(n+1) + u_(n+2) + ∙∙∙ = ∑_(k=n+1)^∞▒u_k (5)

Называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся и расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток

r_n = S - S_n = u_(n+1) +u_(n+2) + ∙∙∙ стремится к нулю при n →∞,т.е. lim┬(n→∞)⁡〖r_n 〗= 0.

[14]

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Нахождение n – й частичной суммы S_n и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливаются специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член u_n стремится к нулю, т.е. lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = 0.

Пусть ряд (1) сходится и 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗= S. Тогда и lim┬(n→∞)⁡〖S_(n-1) 〗 = S (при n→∞ и (n →1) → ∞). Учитывая, что u_n = S_n - S_(n-1) при n>1, получаем: lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = 〖lim⁡(〗┬(n→∞) S_n - S_(n-1 ))= 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖S_n 〗 - lim┬(n→∞)⁡〖S_(n-1) 〗 = S – S = 0.[16]

Следствие 1. (достаточное условие расходимости ряда). Если lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗≠ 0 или этот предел не существует ,то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) : lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗= 0 . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.[14]

Пример 1. Исследовать сходимость ряда ∑_(n=1)^∞▒(3n-2)/(n+5).

Решение: Ряд ∑_(n=1)^∞▒(3n-2)/(n+5) расходится , т.к.

lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = lim┬(n→∞) (3n-2)/(n+5) = 3≠ 0,

т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

(1 + 1/1 )1 + ( 1+ 1/2 )2 + ∙∙∙ + (1 + 1/n )n + …

Решение: Данный ряд расходится, т.к. lim┬(n→∞)⁡〖u_n 〗 = lim┬(n→∞) (1 + 1/n )n = e ≠ 0.

Признак сравнения положительных числовых рядов.

Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.

Пусть даны два числовых ряда с положительными членами:

a1 + a2 +a3 +. . .+ an +. . . (1) и

b1 + b2 +b3 +. . .+ bn +. . . (2),

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1.

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.

an ≤ bn (n= 1, 2, …) (3)

И ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то и ряд (2) тоже расходится.[11]

Доказательство.

обозначим через Sn и σn частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Из условия (3) следует, что

Sn ≤ σn (4)

Так как ряд (2) сходится, то существует lim┬(n→∞)⁡〖σ_n =σ〗, а из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что σn < σ и тогда в силу неравенства (4) Sn< σ .

Мы доказали, что частичные Sn суммы ограничены, а так как последовательность частичных сумм является ещё и возрастающей, то она имеет предел lim┬(n→∞) S_n , причем, очевидно, что

S≤σ

2)Докажем теперь, что из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Предположим, что ряд (2) сходится, но тогда по только что доказанной теореме сходился бы и ряд (1), что противоречит условию теоремы.[16]

Исследуем ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

Пример 1.

Пусть дан ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(n(n+1))

Сравним его с рядом∑_(n=1)^∞▒1/n^2 - обобщенный гармонический ряд т.к.

α =2>1 то он сходится.

Сравним общие члены рядов:

Это значит, что из сходимости ряда с большими членами будет следовать сходимость данного ряда.

Пример 2.

∑_(n=1)^∞▒(〖cos〗^2 n)/n^4 , так как

0 ≤〖cos〗^2 n≤1, то 0 ≤ (〖cos〗^2 n)/n^4 ≤1/n^4 , но ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n^4 сходится, следовательно, и данный ряд тоже сходится.

Пример 3.

Исследовать на сходимость ряд ∑_(n=1)^∞▒1/(3+2^n ).

Решение : Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии ∑_(n=1)^∞▒1/2^n , который сходится (q = 1/2 < 1). Имеем 1/(3+ 2^n ) < 1/2^n . Следовательно, данный ряд сходится.

Признак Даламбера.

Теорема 1. Пусть дан (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l.

Тогда ряд сходится при l> 1.

Так как lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l, то по определению предела для любого ε > 0 найдется натуральное число N такое, что при n > N выполняется неравенство

|u_(n+1)/u_n - l| < ε или l - ε < u_(n+1)/u_n < l + ε. (3.1)

Пусть l < 1. Можно подобрать ε так, что число l + ε < 1. Обозначим l + ε = q, q < 1. Тогда из правой части неравенства (3.1) получаем u_(n+1)/u_n < q, или u_(n+1) < q ∙ u_n, n > N. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что u_(n+1) < q ∙ u_n для всех n = 1,2,3, … Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:

〖 u〗_2 < q ∙ u_n,

u_3 < q ∙u_2 < q2u_1 ,

〖 u〗_4 < q ∙u_3 < q3u_1,

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ,

u_n < q ∙ u_n < qn-1 u_1,

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ,

т.е. члены ряда u_2 + u_3 + u_(4 )+ ∙∙∙ + u_n + ∙∙∙ меньше соответствующих членов ряда qu_1 + q2u_1 + q3u_1 + ∙∙∙ + qn+1 u_1 + … , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд u_2 + u_3 + u_(4 )+ ∙∙∙ + u_n + ∙∙∙ , следовательно, сходится и исходный ряд (1)[11]

Пусть l > 1. В этом случае lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = l> 1. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N,выполняется неравенство u_(n+1)/u_n > 1, или u_(n+1) > u_n, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому lim┬(n→∞) u_n≠ 0. На основании следствия из необходимого признака ряд (1) расходится.

Замечания.

Если l = 1, то ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит вида n! или a^n.[16]

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n!.

Решение : Находим

l = lim┬(n→∞) u_(n+1)/u_n = lim┬(n→∞) (1/(n+1)!)/(1/n!) = lim┬(n→∞) n!/(n+1)! = lim┬(n→∞) 1/(n+1) = 0.

Так как l = 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда ∑_(n=1)^∞▒3^n/n^2 .

Решение: Вычисляем

l = lim┬(n→∞)(3^(n+1)/〖(n+1)〗^2 : 3^n/n^2 ) = lim┬(n→∞) (3^n∙ 3 ∙ n^2)/(3^n ∙ 〖(n+1)〗^2 ) = 3 lim┬(n→∞)(n/(n+1))2 = 3 lim┬(n→∞)(1/(1+ 1/n))2 = 3.

Так как l = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

Глава III. Событие и вероятность

§ 3.1. Основные понятия. Определение вероятности

1 . События. Виды событий. Вероятность событий.

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие A может произойти совместно с событием B, в другом – не может.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.[12]

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Проводя несколько опытов, можно дать определение относительной частоты появления события.

Определение. Относительной частотой события A называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие A к общему числу опытов W(A)= m/n. .

Замечание: отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.[14]

Пример 1. В коробке находится шары. Из коробки наугад извлекают 5 шаров и 2 из них оказались красными. Найти относительную частоту появления красного шара.

Решение:

Т.к. из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события, т.е.P(A)=lim⁡W(A).

Определение. Вероятностью события A называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события A равна отношению числа, благоприятствующих событию A исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий P(A)= m/n.

Исход опыта является благоприятствующим событию A, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события A.

Очевидно, относительная частота и вероятность могут не совпадать.

Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример 2.

Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: 1) выпадает 2 очка? 2) выпадает нечетное число очков?

Решение : В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), так как нет оснований предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (если, конечно, кость симметрична). Поэтому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном подбрасывании равна 1/6.

Событию A, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5), поэтому по формуле (1) получаем

P(A)= 3/6 = 0,5 .

Пример 3.

В урне 5 белых и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение. В этом примере имеется 15 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, причем ожидаемому событию (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому искомая вероятность составит 5/15.

2. Сумма событий. Вероятность суммы событий.

Суммой A+B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A, или события B, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и A — попадание при первом выстреле, B — попадание при втором выстреле, то A+B — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события A и B — несовместные, то A+B — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие A+B+Cсостоит в появлении одного из следующих событий: A,B,C,A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Пусть события A и B — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Доказательство.

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m_1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m_2— число исходов, благоприятствующих событию B.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m_1+m_2. Следовательно,

P(A+B)= (m_1+m_2)/n = m_1/n+m_2/n.

Приняв во внимание, что m_1/n = P(A)и m_2/n = P(B) окончательно получим

P(A+B)=P(A)+P(B).

[11]

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие A) P(A)= 10/30 = 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие B) P(B)= 5/30 = 1/6.

События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P(A+B)=P(A)+P(B)= 1/3 + 1/6 = 1/2.

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События A — "стрелок попал в первую область" и B — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,45 + 0,35=0,80

3. Произведение событий. Условная вероятность.

Произведение событий. Произведением двух событий A и B называют событие AB, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A — деталь годная, B — деталь окрашенная, то AB — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если A,B,C — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условная вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие A. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.[15]

Условной вероятностью P_A (B) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Исходя из классического определения вероятности, формулу P_A (B)= (P(AB))/(P(A)) (P(A)>0)можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна

P_A (B)= (P(AB))/(P(A)) (P(A)>0).

Пример . В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие B), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие A).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

P_A (B)= 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

P_A (B)= (P(AB))/(P(A)) (P(A)>0) (*)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

P(A)= 3/6 = 1/2.

Найдем вероятность P(AB)того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений A_6^2=6*5=30. Из этого числа исходов событию AB благоприятствуют 3*3=9 исходов. Следовательно,

P(AB) = 9/30 = 3/10.

Искомая условная вероятность

P_A (B)= (P(AB))/(P(A)) = (3/10)/(1/2) = 3/5.

Получен прежний результат.

Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий B_1,B_2,…,B, обладающая следующими свойствами:

1) все события попарно несовместны: B_i∩B_j=∅; i,j=1,2,…,n; i≠j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов :

Ω= B_1∪B_2∪… B_n .

В этом случае будем говорить, что B_1,B_2,…,B_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.[16]

Пусть A– некоторое событие: A⊂Ω. Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A)=P(A/B_1 )P(B_1 )+ P(A/B_2 )P(B_2 )+⋯+P(A/B_n )P(B_n )=∑_(i=1)^n▒〖P(A/B_i )P(B_i)〗

Доказательство. Очевидно: A=(A∩B_1 )∪(A∩B_2 )∪… ∪(A∩B_n), причем все события A∩B_i (i=1,2,…n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A)=P(A∩B_1 )+P(A∩B_2 )+⋯+P(A∩B_n)

Если учесть, что по теореме умножения P(A∩B_i )=P(A/B_i )P(B_i) (i=1,2,…n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30, второго - 50, третьего - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 3 и 2. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Решение: Пусть событие B_1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, B_2 на втором, B_3 - на третьем заводе. Очевидно:

P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.

Пусть событие A состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/B_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/B_1 ) = 5/10 ; P (A/B_2 ) = 3/10 ; P (A/B_3 ) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

P(A)= 3/10∙5/100 + 5/10∙3/100 + 2/10∙2/100 = 17/500

5. Формула Бейеса.

Пусть событие A происходит одновременно с одним из n несовместных событий B_1,B_2,… ,B_n . Требуется найти вероятность события B_i, если известно, что событие A произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

P(AB_i )=P(A)*P(B_i/A)=P(B_i)*P(A/B_i )

Откуда

P(B_i/A)=(P(B_i)*P(A/B_i ))/(P(A))

или

P(B_i/A)=(P(B_i )∙P(A/B_i ))/(∑_(i=1)^n▒〖P(B_i)∙P(A/B_i )〗)

(*)

Формула (*) носит название формулы Бейеса.[11]

Пример. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460—на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а B_1,B_2,B_3 - гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют

P(B_1) =200/1000 = 0,2

P(B_2) =460/1000 =0,46

P(B_3) =340/1000 = 0,34

Из условия задачи следует, что

p_1=P_(B_1 ) (A)=0,03

〖 p〗_2=P_(B_2 ) (A)=0,02

p_3=P_(B_3 ) (A)=0,01

Найдем P_A (B_1 ), т.е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем P_A (B_1 )= (P(B_1 ) p_1)/(P(B_1 ) p_1+P(B_2 ) p_2+P(B_3 ) p_3 )=(0,2∙0,03)/(0,2∙0,03+0,46∙0,02+0,34∙0,01) ≈0,322

Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.

6. Формула Бернулли.

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми (p).

Пусть, в общем случае, производится n независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в m испытаниях наступит событие A, если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна p. В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых m испытаниях событие A наступит, а в остальных n-m испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

P=p^m∙q^(n-m), где q=1-p.

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие A произошло только в первых m испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е. C_n^m.

Таким образом, вероятность того, что событие A наступит ровно в m испытаниях определяется по формуле

P_n^m= C_n^m∙p^m∙q^(n-m), (*)

где C_n^m= n!/(n-m)!m!.

Формула (*) носит название формулы Бернулли.[12]

Пример 1. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

Решение. По формуле Бернулли находим

P_4^3=C_4^3∙〖0,5〗^3∙0,5 = 4!/3! ∙〖0,5〗^3∙0,5=4∙〖0,5〗^3∙0,5=0,25

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0.8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение.

В этом примере n=5, p=0,8 и k=2; по формуле Бернулли находим:

P_5^2=C_5^2 p^2 q^3=C_5^2∙〖0,8〗^2∙〖0,2〗^3=0,0512

§ 3.2. Случайные величины.

Понятие <<случайные величины>>.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина X называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.[16]

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Закон распределения случайной величины.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x x_1 x_2 x_3 ⋯ x_n

p p_1 p_2 p_3 ⋯ p_n

где p_1+p_2+⋯+p_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд p_1+p_2+⋯+p_n+⋯ сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i )= φ(x_i ), i=1,2,3,⋯n.

Пример 1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины X- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x_1= 0, x_2=1,x_3=2.

Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:

A-"студент сдаст экзамен по математическому анализу\"" ;

A ̅- "студент не сдаст экзамен по математическому анализу";

B-"студент сдаст экзамен по органической химии\";"

B ̅- ""студент не сдаст экзамен по органической химии\"."

По условию:

P(A)=0,7⇒P(A ̅ )=1-P(A)=0,3

P(B)=0,8 ⇒P(B ̅ )=1-P(B)=0,2

Тогда:

P(x=0)=P(A ̅B ̅ )=P(A ̅ )∙P(B ̅ )=0,3∙0,2=0,6

P(x=1)=P(AB ̅+A ̅B)=P(A)∙P(B ̅ )+P(A ̅ )∙P(B)=0,7∙0,2+0,3∙0,8 =0,38

P(x=2)= P(AB)=P(A)∙P(B)=0,7∙0,8=0,56

Итак, закон распределения случайной величины X задается таблицей

x 0 1 2

p 0,6 0,38 0,56

Контроль: 0,6+0,38+0,56=1[11]

§ 3.3. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.

1. Понятие математического ожидания.

Определение: Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

M(X)=∑_(i=1)^n▒〖x_i p_i=x_1 p_1+x_2 p_2+⋯+x_n p_n 〗

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.[16]

2. Свойства математического ожидания:

1) M(C)=C, где -постоянная величина;

2) M(C∙X)=C∙M(X),

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4) M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5) M(X±C)=M(X)±C, где -постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины

Z=X+2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y:M(X)=5,M(Y)=3.

Решение. Используя свойства 3 и 2 математического ожидания , получаем

M(Z)=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)=5+2∙3=11

Пример 2. Независимые случайные величины заданы законами распределения

x 1 2

p 0,2 0,8

x 0,5 1

p 0,3 0,7

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

M(X)=1∙0,2+2∙0,8=1,8

M(Y)=0,5∙0,3+1∙0,7=0,15+0,7=0,85.

Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

M(XY)=M(X)∙M(Y)=1,8∙0,85=1,53.

§ 3.4. Дисперсия дискретной случайной величины

Понятие дисперсии.

Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания M(X) (или просто отклонением случайной величины X ) называют случайную величину X-M(X).

Определение 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Y называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

D(X)=M[(X-〖M(X))〗^2] .

Из закона распределения величины [X-M(X)]^2 , следует, что

D(X)=[x_1-M(X)]^2 p_1+[x_2-M(X)]^2 p_2+⋯+[x_n-M(X)]^2 p_n.

Свойства дисперсии :

Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(X)=M(X^2 )-M^2 (X).

Действительно, используя свойства математического ожидания, имеем

D(X)=M[(X-M(X) )^2 ]=M[X^2-2XM(X)+M^2 (X) ]==M(X^2 )-2M^2 (X)+M^2 (X)=M(X^2 )-M^2 (X).

С помощью этого свойства и свойства математического ожидания устанавливаются следующие свойства.

Дисперсия постоянной величины C равна нулю.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=C^2 D(X).

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Следствием свойств 3 и 4 является свойство 5.

Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий:

D(X-Y)=D(X)+D(Y).[11]

Пример 1. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: a) -3X; b)4X+3.

Решение: Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем

D(-3X)=9D(X)=9∙3=27;

D(4X+3)=D(4X)+D(3)=16D(X)+0=16∙3=48.

Пример 2. M(X)=5,6;D(X)=3,04. Вычислить M(Y)и D(Y), если

Y=3x+2.

Решение: M(Y)=3M(X)+2=3∙5,6+2=18,8

D(Y)=3^2∙D(X)+0=9∙3,04=27,3.

Упражнения

В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное. [0,05.]

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков. [0,5.]

В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? [0,5.]

Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет. [0,25.]

Пусть всхожесть семян оценивается вероятность 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно? [0,91.]

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза? [1/105.]

Вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что он не умрет на 71-м году? [0,96.]

В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? [0,05.]

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков. [2/3.]

В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые. [0,1.]

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. [0,81.]

При транспортировке из 1000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь? [0,005.]

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что делать первого набора стандартна, равна 0,8, а второго -0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

[0,85.]

Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. [7.]

Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p_1=0,4,p_2=0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий. [0,7 попаданий.]

Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

[12,25.]

[11]

Заключение

Разработка является учебным пособием для студентов ВУЗа, обучающихся по специальности «Экология».

Входе данной работы нами были достигнуты задачи:

1. Был проанализирован имеющийся объем научной литературы по проблеме исследования.

2. Была рассмотрена методические разработки по данной теме из различных источников.

3. Нами определена структура и содержание методического пособия по курсу «Математика» для студентов направления «Экология».

4. Было создано методическое пособие по курсу «Математика» для студентов направления «Экология».

Список литературы

1. Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.

2. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1959.

3. Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1967.

4. А.Н. Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1980.

5. А.Ф.Филлипов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1973.

6. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974.

7. И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970.

8. Ю.Н.Бибиков. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. ЛГУ, 1981.

9. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971.

10. А.А.Розенблюм. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. - Горький, ГГУ, 1980.

11. Баврин И. И. Высшая математика: Учеб. для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов / Иван Иванович Баврин. – 4-е изд., испр. И доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 616с. ISBN 5-7695-1737-9.

12. Н.В. Богомолов Прaктические зaнятия по мaтемaтике. М, 2002.

13. В.Е. Гмурмaн. Теория вероятностей и мaтемaтическaя стaтистикa: Учеб. Пособие для вузов/В.Е. Гмурман.-9-е изд., стер.-М.: Высш. Шк., 2003. – 479 с.: ил. ISBN 5-06-004214-6.

14. Письменный Д.Т. Конспект лекции по высшей математики: [в 2 ч.]. Ч. 1 / Дмитрий Письменный. – 9-е изд. – М.:Айрис-пресс, 2008. – 288с.: ил. – (Высшее образование). ISBN 5-8112-1778-1

15. В.П. Минорский Сборник зaдaч по высшей мaтемaтике. М., 1987.

16. В.Н. Кaлинин, В.Ф. Пaнкин. Мaтемaтическaя стaтистикa. М.: Высшaя школa, 1998.