«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу “Евклидово пространство” для студентов направления “Педагогическое образование”» - Дипломная работа

Содержание

Введение….…4

Глава 1. Общая теория кривых второго порядка….5

1.1 Общее уравнение кривой второго порядка….5

1.2 Инварианты кривой второго порядка….11

1.3 Асимптотические направления…16

1.4 Пересечение кривой с прямой….18

1.5 Касательная к кривой…20

1.6 Асимптота кривой второго порядка….…21

1.7 Диаметр кривой второго порядка….24

1.8 Центр кривой….25

1.9 Вид уравнения если начало координат совпадает с началом кривой….27

1.10 Вид уравнения если оси координат направлены по сопряженным направлениям относительно кривой….….27

1.11 Главные направления кривой второго порядка….28

1.12 Главные диаметры….….30

1.13 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью инвариантов….…33

Глава 2. Преобразование плоскости и пространства….36

2.1 Преобразование плоскости….36

2.2 Композиция отображений….…37

2.3 Линейное отображение….39

2.4 Изменение координат вектора при линейном отображении….39

2.5 Произведение преобразований….…45

2.6 Движение плоскости….….47

2.7 Формулы движений….48

2.8 Виды движений….49

2.9 Поворот. Вращение….53

2.10 Формулы поворота….54

2.11 Центральная симметрия….56

2.12 Осевая симметрия…58

2.13 Теоремы о композиции осевой симметрии….62

2.14 Классификация движений двух осевых симметрий….64

2.15 Группа движений.…67

2.16 Преобразование подобия. Гомотетия….70

Глава 3. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании….75

3.1 Параллельное проектирование….….76

3.2 Изображение плоских фигур….…74

3.3 Изображение пространственных фигур. Изображение многогранника.79

Заключение….87

Литература…88

Введение

Данное методическое пособие предназначено для студентов первого курса направления “Педагогическое образование”.

Цель преподавания курса геометрии в педагогическом университете для студентов направления "Педагогическое образование" состоит в том, чтобы сформировать в сознании будущего специалиста представление об основных понятиях и методах геометрии на высоком теоретическом и практическом уровне в соответствии с современной математической наукой.

В методическое пособие вошли следующие разделы: общая теория кривых второго порядка, преобразование плоскости и пространства, изображение плоских фигур при параллельном направлении.

В данном методическом пособии уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности, приложениям изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач.

Выдержка из текста работы

Глава 1. Общая теория кривых второго порядка

1.1Общее уравнение кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10 x+2a_20 y+a_00=0(1)

Или, используя правило суммирования по Энштейну:

a_ij x^i x^j+2a_10 x^i+a_00=0(1’)

i,j =1,2

a_ij x^i x^j=a_i1 x^i x^1+a_i2 x^i x^2=a_11 x^1 x^1+a_21 x^2 x^1+a_12 x^1 x^2+a_22 x^2 x^2

a_ij x^i x^j=a_11 (x^1 )^2+2a_12 x^1 x^2+a_22 (x^2 )^2

a_ij ,a_i0 ,a_00 - действительные числа

(x=x^1)¦(y=x^2 )|-переменные

1. Приведение уравнения криво 2-го порядка к каноническому виду,с помощью преобразования системы координат.

Если система координат выбрана так, чтобы оси координат были направлены по осям симметриикривой, то уравнение кривой принимает канонический вид (рис. 1)

x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

Рис.1

Если система координат выбрана произвольно (направление осей координат не совпадает с осями симметрии кривой, то уравнение кривой принимает общий вид (1)

Рис.2

Задача состоит в том, чтобы подобрать новую систему координат, оси, которой направлены по осям симметрии кривой (рис.2), а центр кривой совпадает с началом координат. И уже в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.

х^2/a^2 ±y^2/b^2 =1

y^2=2px

Зададим преобразование в системе координат в виде (2)(поворот на угол α):

{█(x=x^' cos∝-y^' sin∝@y^'=x^' sin∝+y^' cos∝)┤(2)

(2)→F(x,y)=a_11 (x^' cos∝-y^' sin∝)^2+2a_12 (x^' cos∝-y^' sin∝)(x^' sin∝+y^' cos∝)+a_22 (x'sin∝+y'cos∝)^2+2a_10 (x^' cos∝-y^' sin∝)+

+F(x^',y^' )=a_11 (x^('^2 ) 〖cos〗^2∝-2x^' y^' sin∝cos∝+y^('^2 )+2a_12 (x^('^2 ) sin∝cos∝+x^' y^' (〖cos〗^2∝-〖sin〗^2∝)-y^('^2 ) sin∝cos∝) )+a_22 (x^('^2 ) 〖sin〗^2∝+2x^' y^' sin∝cos∝+y^('^2 ) 〖cos〗^2∝+2a_10 (x^' cos∝-y^' sin∝)+〖2a〗_20 (x^' sin∝+y^' cos∝)+a_00=0

F(x^',y^' )=a_11^' x^('^2 )+2a_12^' x^' y^'+a_22^' y^('^2 )+2a_10^' x^'+2a^' y^'+a_00^'=0,

где

{█(〖a'〗_12=a_11 〖cos〗^2 α+2a_12 α cos⁡α+a_22 〖sin〗^2 α@〖a'〗_12=-a_11 sin⁡〖α cos⁡〖α+a_12 (〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α+a_22 sin⁡〖α cos⁡α 〗 〗 〗@〖a'〗_22=a_11 〖sin〗^2 α-2a_12 sin⁡〖α cos⁡α 〗+a_22 〖cos〗^2 α@〖a'〗_20=-a_10 sin⁡〖α+a_20 cos⁡α 〗@〖a'〗_00=a_00 )┤

Приведем квадратичную часть уравнения кривой к каноническому виду.Другими словами, подберем такой угол ∝, чтобы 〖a^'〗_12=0

a_12^'=-a_11 sin∝cos∝+a_12 (〖cos〗^∝∝-〖sin〗^2∝)+a_22 sin∝cos∝=0

〖-a〗_11 tg∝+a_12-a_12 〖tg〗^2∝+a_22 tg∝=0

k=tg∝

a_12 k^2+(a_22-a_11 )k+a_12= 0

k_1,2=(a_22-a_11+√((a_22-a_11 )^2+〖4a〗_12^2 ))/〖2a〗_12

Дискриминант

〖(a〗_22-a_11 )^2+〖4a〗_12^2>0,

∃ ∝,для которого 〖a'〗_12=0и уравнение кривой 2-го порядка примет вид:

γ^': 〖a'〗_11 x^('^2 )+〖a'〗_12 y^('^2 )+〖2a'〗_10 x^'+2〖a'〗_20+〖a'〗_00=0 (3)

Обозначим

〖a'〗_11=λ_1 〖a'〗_22=λ_2

Получим

γ^': λ_1 x^('^2 )+λ_2 y^12+〖2a^'〗_10 x^'+2〖a^'〗_20 y^'+a_00=0 (3^' )

Возможны следующие случаи:

Iλ_1 λ_2≠0 –центральныекривые

II λ_1 λ_2=0, одно из λ=0 – параболические кривые

Заметим, что оба λ одновременно не могут обращаться в нуль, т.к. квадратная часть обратится в нуль. Рассмотрим эти случаи подробно.

I Пусть〖 λ〗_1 λ_2≠0

Выберем новое начало системы координат, так чтобы линейная часть уравнения (3^' )обратилась в нуль.

{█(x^'=x^''+x_0@y^'=y^''+y_0 )┤(4)

Уравнение (4) подставляем в (3^' )

(3^' ) и (4)→ λ_1 (x^''+x_0 )^2+λ_2 (y^''+y_0 )^2+〖2a^'〗_10 (x^''+x_0 )+

+〖2a^'〗_20 (y^''+y_0 )=0

λ_1 (〖x^''〗^2+〖2a〗_0 x^''+x_0^2 )+λ_2 (〖y^''〗^2+〖2y〗_0 y^''+y_0^2 )+〖2a^'〗_10 (x^''+x_0 )+〖2a^'〗_20 (y^''+y_0 )+a_00=0

{█(〖a''〗_10=λ_1 x_0+〖a'〗_10=0@〖a'〗_20=λ_2 y_0+〖a'〗_20=0)┤

Так какни одно изλ_1 иλ_2 не равны нулю, система имеет единственное решение.

x_0=-〖a'〗_10/λ_1

y_0=-〖a'〗_20/λ_2

Существует единственная точка O^' (x_0,y_0 )-новое начало системы координат, в котором уравнение кривой принимает вид:

λ_1 〖x^''〗^2+λ_2 〖y^''〗^2+〖a^''〗_00=0,

где 〖a''〗_00=λ_1 x_0^2+λ_2 y_0^2+〖2a'〗_10 x_0+〖2a'〗_20 y_0+a_00

Возможныследующие варианты:

〖a) λ〗_1 и λ_2- имеют одинаковые знаки

λ_1 λ_2>0

〖a''〗_00- имеет противоположный знак с λ_i, уравнение приходит к виду

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=〖-a〗_00

Если оба λ>0 приходим к уравнению

〖x''〗^2/a^2 +〖y''〗^2/b^2 =1 – каноническое уравнение эллипса.

Если оба λ<0, получим уравнение

-〖x''〗^2/a^2 -〖y''〗^2/b^2 =1 - мнимый эллипс

Если 〖a''〗_00=0, то уравнение принимает вид:

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=0 - пара пересекающихся комплексно сопряженных прямых.

б) Пустьλ_1 λ_2≠0

λ_1 λ_2<0

Уравнение кривой приводится к виду:

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=〖-a''〗_00

〖x''〗^2/a^2 -〖y''〗^2/b^2 =1- каноническое уравнение гиперболы

Если〖a''〗_00=0, то мы приходим к уравнению

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=0

(√(λ_1 ) x^''+√(λ_2 ) y^'' )(√(λ_1 ) x^''-√(λ_2 ) y^'' )=0– пара действительных пересекающихся прямых

II Пусть дно из λ=0

λ_1 λ_2=0,

Например,

λ_2=0

λ_1 x^2+〖2a'〗_10 x+〖2a'〗_20 y+a_00=0

Это уравнение можно записать в виде:

y=px2+qx+к – уравнение параболы

Если 〖a'〗_20=0, то приходим к уравнению

λ_1 〖x'〗^2+〖2a'〗_10 x^'+a_00=0получаем квадратное уравнение относительно x'

Пусть〖x'〗_1 и 〖x'〗_2корни этого уравнения(действительные или комплексные) тогда уравнениекривой запишется в виде:

λ_1 (x-x_1 )(x-x_2 )=0

Парабола в этом случае распадается на пару параллельных прямых, если корни совпадают – на пару совпавших прямых.

Таким образом общее уравнение кривой 2-го порядка, с помощью преобразования системы координат всегда можно привести к каноническому виду.

1.2Инварианты кривой второго порядка

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0 (1)

δ-определитель квадратичной части.

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|

∆=|■(a_11&a_12&a_10@a_12&a_22&a_20@a_10&a_20&a_00 )|

S=a_11+a_22

Можно показать, что при переходе от ортонормированного репера R{0,(i,) ⃗j ⃗} к ортонормированному реперу R'{0’,(i',) ⃗j ⃗'}по формулам:

{█(x=x^' cos∝-y^' sin∝+x_0@y=y^' sin∝+y^' cos∝+y_0 )┤

δ=δ'

∆=∆'

S=S'

Это говорит о том, что δ,∆,S не зависит от выбора системы координат, т.е. являютсяортогональными инвариантами уравнениякривой второго порядка.

Раз эти величины не зависят от выбора системы координат, значит они отвечают за геометрию кривой.

С помощью поворота системы координат на угол ∝можно выбрать направление осей координат по главным направлениям кривой, и квадратичная часть уравнения приведется к каноническому виду:

Y’(x’,y’)=Y^' (x^',y^' )=〖a'〗_11 〖x'〗^2+〖a'〗_22 〖y'〗^2

Обозначим〖a'〗_11=λ_1

〖a'〗_22=λ_2

Получим,

Y^'=λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2

δ^'=|■(λ_1&0@0&λ_2 )| =λ_1 λ_2

S=a_11+a_22=〖a'〗_11+〖a'〗_22=λ_1 〖+λ〗_2

гдеλ_i-корни уравнения.

λ^2-Sλ+δ=0 (2)

Уравнение (2)- характеристическое уравнение кривой 2-го порядка.

Таким образом, любое уравнение кривой 2-го порядка с помощью поворота системы координат всегда можно привести к виду:

F’(x’,y’)=λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 x^'+〖2a〗_20 y^'+a_00=0 (1')

Дальнейшее исследование разбивается на два класса:

I Центральные кривые(δ≠0)

II Параболические кривые(δ=0)

I С помощью переноса начала координат в точку O^' (x_0,y_0)

{█(х=ξ+х_0@y=η+y_0 )┤

приведем уравнение (3) к виду(1)

a_11 (ξ+x_0 )^2+〖2a〗_12 (ξ+x_0 )(η+y_0 )+a_22 (η+y_0 )^2+〖2a〗_10 (ξ+x_0 )+

+〖2a〗_20 (η+y_0 )+a_00=0

Получим:

a_11 ξ^2+2a_12 ξη+a_22 η^2+2(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 )ξ +2(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 )η+a_11 x_0^2+〖2a〗_12 x_0 y_0+a_22 y_0^2+〖2a〗_10 x_0+〖2a〗_20 y_0+a_00=0

Для того чтобы линейная часть уравнения обратилась в нуль, необходимо и достаточно чтобы:

{█(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10=0@a_12 x_0+a_22 y_0+a_20=0)┤ (4)

Определитель системы (4)

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠0

Система (4) имеет единственное решение, т. е. другими словами существует единственная точкаO^' (x_0,y_0) в которой линейная часть уравнения кривой обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к уравнению:

λ_1 〖x^'〗^2+λ_2 〖y^'〗^2+a_00=0

а) Пусть λ_1 и λ_2 имеют разные знаки, т.е. λ_1 λ_2<0

λ_1 〖x^'〗^2+λ_2 〖y^'〗^2=〖a'〗_00 (5)

Откуда получаем

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 – каноническое уравнение гиперболы

В уравнении (5) найдем〖a'〗_00:

∆^'=|■(λ_1&0&0@0&λ_2&0@0&0&〖a'〗_00 )|=λ_1 λ_2 〖a'〗_00

δ^'=|■(λ_1&0@0&λ_2 )|=λ_1 λ_2=δ, получим

∆=δ〖a'〗_00 т.е.〖a'〗_00=∆/δ

Окончательно мы приходим к уравнениюкривой:

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+∆/δ=0

1)λ_1 λ_2>0 т.е. δ>0

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+∆/δ=0

Если знакиλ_iи ∆ совпадают, то

а) x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 – эллипс

или

б) x^2/a^2 +y^2/b^2 =-1 – мнимый эллипс

3) λ_1 λ_2<0 т.е. δ<0

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 – гипербола

в) Если ∆=0

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2=0– имеем пару комплексно-сопряженных пересекающихся прямых.

II.Параболический случай

δ=0, λ_1=0,〖 λ〗_2≠0

δ=λ_1 〖 λ〗_2=0

Уравнение кривой принимает вид

λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 x^'+〖2a〗_20 y^'+a_00=0

Перенесем новое начало в вершину параболы

∆^'=|■(0&0&a_10@0&λ_2&a_10@a_10&a_20&a_00 )| = -λ_2 a_10^2

а) ∆^'≠0 то a_10≠0〖 т.к y〗^2=2px

б) Пусть ∆^'=0,тогда a_10=0

Уравнение кривой принимает вид:

λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 y'+a_00=0

Если y1 и y2 – корни уравнения то, уравнение приводится к виду

λ_2 (y-y_1 )(y-y_2 )=0 – пара параллельных или совпавших прямых

По основным инвариантам можно классифицировать кривые:

Таблица 1.

№ δ ∆≠0 ∆=0

1 δ>0

криваяэллиптического типа Эллипс действительный или мнимый Пара пересекающихся комплексно-сопряженных прямых.

2 δ<0

кривая гиперболического типа Гипербола Пара пересекающихся действительных прямых.

3 δ=0

кривая параболического типа Парабола Пара параллельных илисовпавших прямых.

Геометрический смысл инвариантов кривой:δ- определяет тип кривой.

∆- отвечает на вопрос: распадается кривая или нет:

Если ∆≠0, то кривая не распадается, если ∆=0, то кривая распадается на пару прямых.

Общий вывод: с помощью inv кривой, не приводя уравнение кривой к каноническому виду, можно ответить на вопрос какая эта кривая.

1.3Асимптотические направления

Пусть дана кривая II порядка:

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Векторu ̅{u_1,u_2}определяет асимптотическое направление кривой 2-го порядка, если он обращает в нуль квадратичную форму кривой.

a_ij u^i u^J=0

a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2=0 (:u_1^2)

Пусть a_22≠0

Разделим обе части уравнения на 〖(u〗_1^2)

a_11+〖2a〗_12 u_2/u_1 +a_22 (u_2/u_1 )^2=0→

Обозначим u_2/u_1 через k

→a_22 k^2+〖2a〗_12 k+a_11=0 (1)

Приa_22≠0, мы получаем квадратное уравнение (1), которое имеет два действительных или комплексных корня

k_1,2=(〖-a〗_12±√(a_12^2-a_11 a_22 ))/a_22 =(〖-a〗_12±√(-δ))/a_22

При δ>0, т.е. для кривой эллиптического типа действительных асимптотических направлений не существует.

При δ<0, т.е. для кривой гиперболического типа существует два действительных асимптотических направления.

Приδ=0, т.е. для кривой параболического типа,∃одно асимптотическое направление.

Пример:γ: 〖2x〗^2-3xy+y^2+4x-y-1=0

Найти векторы асимптотического направления.

Квадратичная форма.

〖2u〗_1^2-〖3u〗_1 u_2+u_2^2=0 (:u_1^2 )

2- 〖2u〗_2/u_1 +(u_2/u_1 )^2=0

Сделаем замену

u_2/u_1 =k

k^2-3k+2=0

k_1=1k_2=2

k_1=1: U_2/U_(`1) =1

¯u_1 {1;1} – I вектор асимптотического направления,

k_2=1U_2/U_(`1) =2

¯u {1;2}– II вектор асимптотического направления.

1.4 Пересечение кривой с прямой

Пусть имеется прямая заданная своим общим уравнением

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0 (1)

и прямая заданная параметрическими уравнениями

l:{█(x=x_0+u_1 t@y=y_0+u_2 t)┤ (2)

Подставляя в (1) вместо x,yвыражение из системы (2) и получим

a_11 (x_0^2+u_1 t)^2+2a_12 (x_0+u_1 t)(y_0+u_2 t)+a_22 (y_0+u_2 t)^2+〖2a〗_10 (x_0+ut)+〖2a〗_20 (y_0+u_2 t)+a_00=0

a_11 (x_0^2+〖2x〗_0 u_1 t+ut^2)+〖2a〗_12 (x_0 y_0+(x_0 u_2+y_0 u_1 )t+u_1 u_2 t^2 )+〖+a〗_22 (y_0^2+〖2y〗_0 u_2 t+u_2^2 t^2 )+〖2a〗_10 (x_0+u_1 t)+〖2a〗_10 (y_0+u_2 t)+a_00=0

Полученное уравнение можно переписать в виде (4)

Pt^2+2Qt+R=0,

где

{█(P=a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2@Q=(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 ) u_1+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20)u_2@R=a_11 x_0^2+〖2a〗_12 x_0 y_0+a_22 y_0^2+〖2a〗_10 x_0+〖2a〗_20 y_0+a_00 )┤(3)

Вопрос пересечения кривой c прямой сводится к исследованию уравнения (4)

Пусть P≠0,прямаяlне асимптотического направления, уравнение (4) в этом случае имеет 2 действительных или комплексных корня.

Прямая неасимптотического направления пересекает кривую в двух действительных или комплексных точках.

t_1,2=(-Q±√(Q^2-PR))/P

Если P=0, Q≠0, l- асимптотического направления. Уравнение (4) имеет вид: 2Qt+R=0т.е. прямая асимптотического направления, может пересекать кривую только в одной точке.

Если P=0,Q=0, R≠0

Уравнение (4) не имеет решения.

l∩γ=∅, l-асимптота

Если Q2-PR=0,то прямая пересекает кривую в двух совпавших точках.

Точка M(x0,y0), l–касательная к кривой в т.М_0

P=Q=R=0, уравнение (4) будет справедливо для любого t, т.е. вся прямая lлежит на кривой.

l- асимптота. Из сказанного ясно, что асимптота- это прямая, которая либо не пересекает кривую, либо принадлежит ей.

1.5 Касательная к кривой

Прямая, пересекающая кривую в двух совпавших точках называется касательной к кривой.

L

Пусть M_0 (x_0;y_0)ϵγ, тогдав уравнении (4) R=0

a_ij x_0^i x_0^j+2a_i0 x_0^i+a_00=0 (1)

Пусть l:{█(x=x_0+u_1 t@y=y_0+u_2 t)┤ является касательнойк кривой в т.M_0, то Q=0:

(a_ij x_0^j+a_i0 ) u^i=0 (3)

ЕслиM(x^i) – произвольная точка касательной, то ∃t,что x^i-x_0^i=tu^i (4)

Умножая (3) на t и подставляя (4)получим, что для точек касательной выполняется условие:

(a_ij x_0^i+a_i0 )(x^i-x_0^i )=0

Таким образом, мы приходим к следующему уравнению касательной к кривой.

l:(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 )x+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 )y+a_10 x_0+a_20 y_0+a_00=0 (5)

M_0 (x_0;y_0) – точка касания

Иначе уравнение касательнойможно записать:

1/2 (∂F_0)/∂x (x-x_0 )+1/2 (∂F_0)/∂y (y-y_0 )=0

(∂F_0)/∂xи (∂F_0)/∂y частные производные от левой части уравнения кривой.

Пример:Дана кривая

γ: F(x,y)=〖2x〗^2-3xy+y^2+4x-y-1=0

Записать уравнение касательной в т.M_0 (-1;1)

Решение.

1/2 ∂F/∂x= 2x-3/2 y+2|_(M_0 )=-2-3/2+2=-3/2

1/2 ∂F/∂y=-3/2 x+y-1/2 |_(M_0 )=3/2-1-1/2=0

-3/2 (x-x_0 )=0

x+1=0 – уравнение касательной

1.6 Асимптота кривой 2-го порядка

Асимптотой называется прямая, которая не пересекает кривую или принадлежит ей.

Из уравнения (4):

{█(P=0@Q=0)┤

P=a_ij u^i u^j=0

Q=(a_ij x^i+a_i0)u^i=0

¯u-векторасимптотического направления

P=0→a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2=0

k=(u_1^2)/(u_2^2 )

a_22 k^2+〖2a〗_12 k+a_11=0

Q=0→(a_11 x+a_12 y+a_10 ) u_1+(a_12 x+a_22 y+a_20 ) u_2=0

Перегруппируем члены

(a_11 u'+a_21 u^2 )x+(a_12 u'+a_22 u^2 )y+a_10 u'+a_20 u^2=0–уравнение асимптоты

Асимптота существует, если коэффициенты при x иy одновременно в нуль не обращаются.

Если {█(a_11 u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+a_22 u_2=0)┤ , ¯u≠¯0

Определитель этой системы

|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠δ для эллиптического и гиперболического случая.

Для δ<0существует два асимптотических направления т.е., для кривой гиперболического типа, существуют две асимптоты.

δ>0, не существует асимптотических направлений, т.е. кривая эллиптического типа не имеет асимптот.

δ=0,∆≠0, парабола не имеет асимптот

δ=0,∆=0, парабола распадается на пару параллельных или совпавших прямых, асимптотой параболы будет всякая прямая, параллельная прямым, на которые распадается парабола.

Пример: Определить асимптоты кривой:

γ: 〖3x〗^2+2xy-y^2+8x+10y+14=0

Решение.

δ=|■(3&1@1&-1)|=-4<0 – существуют два асимптотических направления

3u_1^2+2u_1 u-u=0 (:u_1^2)

k=u_2/u_1

〖-k〗^2+2k+3=0 (-1)

k^2-2k-3=0

k_1=-1

k_2=3

u_2/u_1 =-1

¯u{1;-1} – вектор асимптотического направления.

v_2/v_1 =3v_2=3v_1

¯v{1;3}

1/2 ∂F/∂x u_1+1/2 ∂F/∂y u_2=0

1/2 ∂F/∂x=3x+y+4

1/2 ∂F/∂y=x-y+5

Получаем

(3x+y+4)*1+(x-y+5)(-1)=0

2x+2y-1=0 (I асимптота)

1(3x+y+4) +3(x-y+5) =6x-2y+19=0 (IIасимптота)

1.7 Диаметр кривой 2-го порядка

Пусть имеется кривая 2-го порядка и вектор ¯uне асимптотического направления. Проведем хорды параллельные вектору ¯u.

Найдем середины этих хорд. Можно доказать, что середины хорд лежат на одной прямой.

Диаметром, сопряженным вектору¯uотносительно кривой 2-го порядка,называется геометрическое место середин хорд,параллельных вектору¯u.

Уравнение диаметра:

(a_ij x_0^j+a_io)u^i

u^i- сопряженный вектор.

Пусть направления этого диаметра определяется вектором¯v. ¯u и ¯v – взаимно сопряженные векторы относительно кривой второго порядка, если выполняется условие a_ij u_1 v^j=0. Из этого выражения ясно, что ¯u и ¯v взаимно сопряженныевекторы. Зная одно из сопряженных направлений ¯u, легко найти другое ¯v.

Пример: Дана кривая〖3x〗^2+2xy+〖2y〗^2+3x-4y=0

Найти диаметр сопряжённый заданному диаметру d: x+2y-2=0

Направляющий вектор прямой имеет координаты ¯u{-2;-1}

1/2 ∂F/∂x=3x+y+3/2

1/2 ∂F/∂y=x+2y-2

Уравнение диаметра:

(3x+y+3/2)(-2)+(x+2y-2)1=0

1.8 Центр кривой

Опр.ЦентромC кривой γназывается точка, относительно которой кривая симметрична.

C(x_0,y_0)∈d

Запишем уравнение диаметра:

〖(a〗_11 x_0+a_12 y_0+a_10)u_1+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 ) u_2=0

C(x_0,y_0)- центр.

Центр лежит на любом диаметре, т.е. уравнение должно выполняться для любого вектора ¯u

{█(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10=0@a_12 x_0+a_22 y_0+a_20=0)┤ (1)

Система, определяющая центр кривой:

При

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠0, система имеет едипственное решение

а) При δ>0,∆≠0 эллипс имеет единственный центр.

При∆=0 эллипс распадается на пару комплексно-сопряженных прямых и точки пересечения этих прямых центр распавшегося эллипса.

б) δ<0,∆≠0 – гипербола. Гипербола имеет елипственный центр

При ∆=0 гипербола распадается на пару пересекающихся действительных прямых. Центр кривой – точка пересечения этих прямых.

в) При δ=0,∆≠0 система не имеет решения, т.е. парабола не имеет центра.

При ∆=0 парабола распадается на пару совпаших или параллельных прямых. Любая точка кривой будет центром. Если парабола распадается на пару параллельных прямых, то биссектриса полосы – линия центров.

Пример:Найти центр кривой〖γ:x〗^2-2xy+〖2y〗^2+4x-6y++3=0

{█(x-y-2=0@-x+2y-3=0)┤

δ=|■(1&-1@-1&2)|=1>0 – существует центр.

Кривая эллиптического типа.

∆=|■(1&-1&-2@-1&2&-3@-2&-3&3)|= -3-9-14≠0- эллипс.

C(7;5) – центр эллипса.

1.9Вид уравнения кривой, если начало координат совпадает с центром кривой.

Пусть дана кривая II порядка:

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Система определяющая центр кривой:

{█(a_11 x+a_12 y+a_10=0@a_12 x+a_22 y+a_20=0)┤

Подставляя вместо xи y нули, получим {█(a_10=0@a_20=0)┤

1.10 Вид уравнения кривой, если оси координат направлены по сопряженным направлениямкривой

Если ¯u{u_1;u}, ¯v{v_1;v_2} имеют сопряженные направления относительно кривой 2-го порядка, то a_ij u^i v^j=0

¯u{u_1;u_2}- вектор неасимптотического направления, тогда уравнение диаметра, сопряженного направления ¯u имеет вид:

(a_11 x+a_12 y+a_10 ) u_1+(a_12 x+a_22 y+a_20 ) u_2=0

Пусть направление оси (OX) совпадает с направлением¯u, т.е. ¯u{1;0}

Уравнение диаметра, сопряженного этому направления имеет вид:

a_11 x+a_12 y+a_10=0

Пусть этот диаметр совпадает с осью (Oy),(Oy):x=0

∀y, a_12=0, a_10=0

Cдругой стороны ¯u направлен по осиy, т.е.¯v{0;1}

Уравнение диаметра, сопряженного такому направлению имеет вид:

a_12 x+a_22 y+a_20=0будем считать что этот диаметр совпадает

с осью (Ox) .

(Ox):y=0

∀x,a_12=0,a_20=0

Общее, в обоих случаях,a_12=0.Таким образом, если оси координат, направлены по сопряженным направлениям кривой 2-го порядка, то коэффициент a_12 обращается в ноль.

1.11Главные направления кривой 2-го порядка

Пусть имеется кривая 2-го порядка, заданная уравнением (1)

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Направление ¯uназывается главным относительно кривой 2-го порядка, если оно сопряжено перпендикулярному ему направлению.

Пусть ¯u и¯v определяют главные направления кривой 2-го порядка, из определения следует, что эти направления должны быть перпендикулярными и сопряженными.

{█(u_1 v_1+u_2 v_2=0-условие перпендикулярности.@a_ij u^i v^j=0-условие сопряжения. )┤

Запишем в развернутом виде:

{█(u_1 v_1+u_2 v_2=0 @(a_11 u_1+a_12 u_2 ) v_1+(a_12 u_1+a_22 u_2 ) v_2=0)┤→

Эта система имеет решения только в том случае, когда уравнения пропорциональны.

→{█(a_11 u_1+a_12 u_2=〖λu〗_1@a_12 u_1+a_22 u_2=〖λu〗_2 )┤ отсюда {█((a_12-λ) u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+(a_22-λ) u_2=0)┤

Oтносительноu_1 и u_2 однородная система линейных уравнений. Известно, что однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, только в случае когдаее определитель равен нулю.

|■(a_11-λ&a_12@a_12&a_22-λ)|=0 (2)-характеристическое уравнение.

Теорема. Любая кривая 2-го порядка имеет два главных направления.

Доказательство.

Распишемуравнение (2)

(a_11-λ)(a_22-λ)-a_12^2=0

λ^2-(a_11+a_12 )λ+a_11 a_22-a_12^2=0

λ^2-sλ+δ=0 (2^' )

λ_1,2=(a_11+a_22±√((a_11+a_22 )^2-4(a_11 a_22-a_12^2)))/2

λ_1,2=(a_11+a_22±√((a_11-a_22 )^2+〖4a〗_12^2 ))/2

Данное уравнение имеет два действительных корня, дискриминант D≥0. Каждому λ будет соответствовать свое главное направление.

Возвращаемся к системе:

{█((a_11-λ) u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+(a_22-λ) u_2=0)┤

Для каждого λ будет определен свой вектор ¯u. Теорема доказана.

1.12Главные диаметры

Диаметры имеющие главные направления называются главными диаметрами.

Взаимно перпендикулярные диаметры, проходящие через центр кривой – оси симметрии - это главные диаметры.

Опр.Главным диаметром (главной осью) называется диаметр, сопряженный ортогональным ему хордам.

Следствие1.Главным диаметром является ось симметрии. Диаметр, являющийся осью симметрии, будет главным.

Следствие 2.При δ≠0 все диаметры проходят через центр, то прямые проходящие через центр и имеющие главные направления, являются главными диаметрами.

Заключение

Весь раздел «Евклидово пространство» играет первостепенную роль в профессиональной подготовке будущего учителя. Позволяет более тесно связать курс геометрии с курсом методики преподавания математики и с программой педагогической практики студентов по специальности.

Студенты, овладевшие этим курсом, смогут в дальнейшем, будучи учителями, грамотно преподавать геометрию в средней школе, уверенно вести факультативные занятия по геометрии.

Список литературы

ОСНОВНАЯ

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.I. – М.: – Изд-во КноРус, 2011.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. – М. Изд-во КноРус, 2011.

3. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1984.

4. C.Л. Атанасян, В.И. Глизбург. Сборник задач по геометрии, ч.I- Изд-во ЭКСМО, 2007.

5. C.Л. Атанасян, Н.В.Шевелева, В.Г.Покровский. Сборник задач по геометрии, ч.II- Изд-во ЭКСМО, 2008.

6. Сборник задач по геометрии / под редакцией Базылева В.Т. – М.: Просвещение, 1980.

7. Клетеник Д.В. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Физматгиз, 1970.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

2. Александров А.Д. Начало стереометрии. 9 кл.-М.: Наука, 1971.

3. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.1. – М.: Просвещение, 1973.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.II. – М.: Просвещение, 1973.

5. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: изд-во МГУ, 1955.

6. Бахвалов С.В. и др. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.

7. Парнасский И.В., Парнасская О.Е. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – М., Просвещение, 1978 г. – Учебное пособие по геометрии.