«Методическое обеспечение курса «алгебра и геометрия» для студентов направления «педагогическое образование»» - Дипломная работа

Содержание

Введение 4

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 6

§1. Понятие вектора. 6

§2. Сложение и вычитание векторов. 8

§3. Умножение вектора на число. 10

§4.Линейная зависимость векторов 12

§5. Понятие n-мерного векторного пространства. 15

§6 Линейные операции над векторами в координатах. 16

§7.Проекция вектора на ось. 18

§8.Скалярное произведение векторов 23

§ 9. Векторное произведение векторов. 27

§ 10.Смешанное произведение векторов. 32

Глава 2.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. 37

§ 11.Деление отрезка в данном отношении. 37

§ 12.Уравнения линии на плоскости. 38

§ 13.Общее уравнение прямой. 42

§14.Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 47

§15. Расстояние от точки до прямой. 48

§16. Угол между двумя прямыми. 50

§17. Кривые второго порядка. Окружность. 54

§18. Эллипс 56

§19. Гипербола 59

§20. Парабола. 63

Глава 3.ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 69

§21. Понятие матрицы. 69

§22.Действия над матрицами. 70

§23. Понятие определителя. 73

§24 Разложение определителя по элементам какой-либо строки(столбца)….76

§25.Обратная матрица. 77

§26.Ранг матрицы. 78

§27. Системы линейных уравнений. Основные понятия 80

§28. Метод Крамера. Решение невырожденных линейных систем….81

§29.Метод Гаусса. Решение общей системы линейных уравнений. 82

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИ В ПРОСТРАНСТВЕ. 86

§30.Уравнение плоскости 86

§31.Общее уравнение плоскости 89

§32.Взаимное расположение двух плоскостей 93

§33.Расстояние от точки до плоскости.Угол между двумя плоскостями. 96

§34. Уравнение прямой в пространстве. 98

§35.Взаимное расположение прямых в пространстве. 102

§36.Взаимное расположение прямой и плоскости 103

§37.Угол между двумя прямыми в пространстве 105

§38.Поверхности 2-го порядка.Цилиндрические поверхности 108

§39.Поверхности вращения 110

Глоссарий 120

Заключение 127

Литература….128

Введение

В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке студентов в ВУЗах. Задача образования не может сводиться только к вооружению студентов определённой суммой знаний. Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретёнными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях.

Актуальность исследования обусловлена тем, что необходима учебно-методическая литература нового поколения, удовлетворяющая ФГОС 3.

Актуальность проблемы, её теоретическая и практическая значимость обусловили тему данного исследования: «Методическое обеспечение курса «Алгебра и геометрия» для студентов направления «Педагогическое образование»».

Цель исследования.

- Систематизировать учебный материал по курсу «Алгебра и геометрия», что позволит студенту самостоятельно изучить соответствующий материал.

Исходя из цели исследования, были поставлены следующие задачи:

- изучить учебно-методическую литературу по курсу «Алгебра и геометрия»;

-систематизировать материал, касающийся лекционных и практических занятий курса «Алгебра и геометрия»;

- привить умение самостоятельно изучать литературу по курсу «Алгебра и геометрия»;

- разработать систему упражнений на закрепление после каждой темы.

Методы исследования. При выполнении работы использовались общенаучные методы исследования: анализ, синтез, обобщение; педагогические методы – работа с научно- педагогической и научно-методической литературой.

Исследование проводилось в три этапа:

I этап. Постановка целей и задач исследования. Сбор материалов по проблеме исследования.

II этап. Уточнение основных понятий, обобщение, систематизация и дополнение собранного материала по теме данного исследования.

III этап. Формулировка общих выводов. Оформление выпускной квалификационной работы.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть внедрена в ВУЗах в качестве некоторых внеурочных форм дополнительных занятий по математике, для углублённого изучения курса «Алгебра и геометрия».

Выдержка из текста работы

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

§1. Понятие вектора.

Определение 1.1 Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок у которого принимается во внимание порядок его концов.

Определение 1.2 Если начало и конец вектора совпадают, то мы имеем нуль вектор.

Определение 1.3 Модулем или длиной вектора называется длина отрезка его изображающего.

Определение 1.4 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой или лежат на одной и той же прямой.

Определение 1.5 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной и той же плоскости.

Определение 1.6 Параллельные лучи AB и BD называются сонаправленными, если они располагаются в одной и той же плоскости определяемой прямой AC. В противном случае противоположнонаправленными.

Определение 1.7 Два вектора называются сонаправленными, если лучи их содержащие сонаправлены, в противном случае противоположно направленными.

а)

б)

Определение 1.8 Два вектора и называются равными, если

1)

2)

§2. Сложение и вычитание векторов.

Пусть даны два вектора .Совместим начало вектора с концом (то есть построим вектор , равный , начало которого совпадает с концом отрезка ), тогда направленный отрезок , начало которого совпадает с началом и конец с концом , называется суммой направленных отрезков и .

Указанное выше правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Из правила треугольника легко вытекает правило сложения n векторов. Оно называется правилом многоугольника. Чтобы сложить векторов нужно от произвольной точки пространства отложить , и так далее. Тогда = будет отрезок с началом в начале и концом в конце

Если слагаемые векторы не коллинеарны, то для построения их суммы можно пользоваться другим способом – правилом параллелограмма.

, где - диагональ параллелограмма построенного на векторах .

Разностью векторов понимается вектор такой, что +

Свойство сложения векторов :

1)Для суммы векторов выполняется переместительный закон:

2)Для любых трех векторов имеет место ассоциативный закон:

3) Для любого вектора имеем:

4) Для каждого вектора существует противоположный вектор, т.е. вектор, удовлетворяющий условию:

§3. Умножение вектора на число.

Определение 3.1 Произведение вектора a на число называется такой вектор b удовлетворяющий следующим условиям:

a) , где –абсолютное значение действительного числа

б) и

Такой вектор обозначается через

Свойства операций над векторами:

Ассоциативность (сочетательный закон)

Распределительный закон, относительно сложения векторов

Дистрибутивность (распределительный закон)

Определение 3.1 Ортом вектора называется такой , который коллинеарен и сонаправлен и длина которого равна единице.

1)

2)

Теорема 3.1 Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , такое что

(1)

Доказательство: Так как векторы , то либо , либо . В первом случае положим , а во втором случае . По определению произведения вектора на число и в первом и во втором случае получаем равенство (1).

Единственность: Предположим, что каким-то другим способом мы нашли число такое, что . Отсюда из равенства (1) следует, что или . Так как , то , т.е. .

Теорема 3.2 Если векторы и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то существует единственные числа и такие, что

(2)

Доказательство: отложим от некоторой точки O векторы и . Эти векторы компланарны, поэтому точки O,A,B и C лежат в одной плоскости, причем точки O,A и B не лежат на одной прямой (векторы ).

Если точка C лежит на прямой (рис 3.1, а), то векторы и коллинеарны, поэтому по теореме 3.1 существует такое число , что или . Таким образом, имеет место равенство (2). Рассмотрим случай, когда точка C не лежит на прямой (рис 3.1, б). Проведем прямую , параллельную прямой , где – точка прямой . По правилу треугольника = . Но , , поэтому существуют числа и такие, что , . Следовательно, , т.е. имеет место равенство (2).

Единственность: Предположим, что каким-то другим способом мы нашли числа и такие, что . Из этого и равенства (2) следует или .Пусть и . В самом деле, если , то из предыдущего векторного равенства получаем : , что невозможно, так как по условию теоремы векторы и не коллинеарны.

§4.Линейная зависимость векторов.

Рассмотрим систему векторов (1) и зададим n действительных чисел , ,

Определение 4.1 Выражение вида , (2)

где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов .

Определение 4.2 Если хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля и такие, что = (3) то система векторов (1) называется линейно зависимой.

Определение 4.3 Если все числа , , в выражение (3) равны нулю одновременно то система векторов (1) называется линейно независимой.

При n=1 имеем систему, состоящую из одного вектора. Легко видеть, что такая система будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.

Рассмотрим некоторые свойства системы линейно зависимых векторов:

При n>1 система векторов (1) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой систем.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов (1) линейно зависима.Это значит, что имеет место равенство (2), где отлично от нуля по крайней мере одно из чисел , ,

Пусть (k-одно из чисел 1,2,…,n). Равенство (2) перепишем в виде

.

Следовательно, вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы (1).

Достаточность: Пусть в системе (1) вектор является линейной комбинацией остальных векторов:

.

Это равенство можно записать так:

и, следовательно, система векторов (1) линейно зависима (так как коэффициент при отличен от нуля).

. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство: Пусть дана система векторов (1) и известно, что система векторов (e = .Это равенство можно переписать так:

.

Таким образом, система векторов (1) также линейно зависима.

Система линейно зависимых векторов не содержит нулевого вектора.

Если система векторов линейно независима, то любая её часть также линейно независимо.

Теорема 4.1 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов линейно зависима. По свойству хотя бы один из векторов линейно выражается через другой. Следовательно, векторы и коллинеарны.

Достаточность: Пусть векторы и коллинеарны. Если система векторов , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Отсюда ,т.е. система векторов , линейно зависима.

Теорема 4.2 Система векторов , линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов , линейно зависима: , причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Докажем, что векторы , компланарны. Если хотя бы один из коэффициентов и равен нулю, то это утверждение очевидно. Действительно, если, например, , то и по теореме 4.1 векторы и коллинеарны, следовательно, векторы , и компланарны.

Рассмотрим случай, когда . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Так как , то , с другой стороны, , поэтому . Через точки и проходит плоскость . Так как , то из равенства и следует, что векторы , и параллельны плоскости , поэтому они компланарны.

Достаточность: Пусть , компланарны. Если , то по теореме 4.1 векторы и линейно зависимы и по свойству система , линейно зависима.Если векторы и не коллинеарны, то по теореме 3.2 . система , линейно зависима.

§5. Понятие n-мерного векторного пространства.

Рассмотрим множество векторов и множество

Определение 5.1 Не пустое множество V, на котором определены две операции :

1)сложение векторов:

2)умножение вектора на число:

И эти 2 операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1)аксиомы сложения векторов

а)

б)

в)

г) /

2)аксиомы умножения вектора на число

а)

б)

в)

г)

3)аксиомы размерности

а)существует n- линейно независимых векторов

б) n+1 линейно зависимых векторов

Определение 5.1 Число линейно независимых векторов называется размерностью векторного пространства.

Определение 5.2 Базисом n-мерного векторного пространства называется упорядоченная система n- линейно независимых векторов

Определение 5.3 Базисом 3-мерного векторного пространства называется упорядоченная совокупность 3 линейно независимых векторов или 3 некомпланарных векторов.

Теорема 5.1 Любой вектор можно разложить по векторам базиса

и притом однозначно

Определение 5.4 Коэффициенты в разложение вектора по векторам базиса называются его координатами т.е любому вектору ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел и наоборот.

Определение 5.5 Базисом 2-мерного векторного пространства называется упорядоченная система 2-х линейно независимых векторов или 2-х неколлинеарных векторов

Заключение

В обучении студентов некоторых тем курса «Алгебры и геометрии» всегда не хватает учебного времени. Эта тема выносится в основном на самостоятельное изучение. Студентам приходится перерабатывать очень много литературы, чтобы найти подходящий материал.

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой методическую разработку по изучению курса «Алгебры и геометрии». Все поставленные цели исследовательской работы выполнены.

Подробно рассматриваемые в данной работе все основные теоремы курса «Алгебры и геометрии» позволяют успешно овладеть теоретическим и практическими знаниями по наиболее сложному и основному – опорному разделу геометрии и алгебры. Данная работа содержит программу курса и вопросы для самостоятельного контроля знаний студентов. В основе концепции предлагаемого учебного пособия лежат идеи дальнейшего формирования и развития конструктивно-пространственного воображения, а также таких качеств студентов, как интеллектуальная восприимчивость, гибкость и независимость логического мышления. Работа завершается перечнем списка использованной литературы.

Данная работа будет полезна не только для студентов физико-математического факультета, а также для преподавателей ведущих практические занятия по данной дисциплине.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия: в 2ч.-Ч.1: учебное пособие / Л.С.Атанасян,В.Т.Базылев.-2-е изд., стер.-М.:КНОРУС,2011. -400с.

2. Атанасян Л.С. и Атанасян В.А.Сборник задач по геометрии.Ч.1. М., «Просвещение», 1973.

3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 496 с.

4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975.

5. Клетейник Д.В Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1986.

6. Письменный Д.Т.Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч.1-М.:Айрисс-пресс, 2008.-288 с.

7. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие.-Мн.: Выш.школа, 1982.-223 с., ил.