СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка - Дипломная работа №33075

«Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка» - Дипломная работа

  • 50 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

Введение 3

Глава 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ 5

1.1. Дифференциальное уравнение второго порядка 5

1.2. Определения и свойства асимптотических рядов 8

1.3. Преобразование Лиувилля. 13

1.4. Асимптотика решения дифференциального уравнения второго порядка. 17

Глава 2.НАХОЖДЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 26

2.1. Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения 26

Заключение 23

Приложение 1 23

Приложение 2 43

Приложение 3 44

Литература 45


Введение

Теория асимптотических рядов, дремавшая в течении десятилетий, последние годы добилась больших успехов. Это обусловлено пониманием того факта, что успешное применение асимптотических рядов неразрывно связано с использованием определенного метода их суммирования. Ничего удивительного в этом нет: выписывая любой ряд, нужно отдавать себе отчет, как его суммировать. Очень редко наивная процедура сложения последовательных членов приводит к успеху. При вычислении даже сходящихся рядов часто приходится прибегать к различным приемам.

Обыкновенные дифференциальные уравнения применяются для описания многих процессов реальной действительности. Трудно представить себе область науки или производства, в которой не возникала необходимость использования дифференциальных уравнений. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы и т.д. Действительно, если некоторая физическая величина оказывается меняющейся со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон ее изменения по времени описывается именно дифференциальным уравнением, т.е. уравнением, связывающим исходную переменную как функцию времени и производные этой функции. Решение уравнения с анализом его зависимости от параметров задачи и начального состояния системы позволяет установить общие закономерности изменения исходной физической величины.

Постановка задачи. В данной выпускной квалификационной работе исследуется дифференциальное уравнение второго порядка:

(t) – t – µ =0, (1)

Требуется найти решение уравнения (1) удовлетворяющие условиям

(0) = 1, u 0 при t +∞. (2)

Понятия асимптотические разложения функции и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре в связи с задачами небесной механики. Частные случаи асимптотических разложений применялись еще в 18 в. Асимптотические разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотическое разложения решений. Кроме того, численные методы часто отказывают именно в тех случаях, когда асимптотические разложения удается сравнительно просто найти.

Асимптотические разложения заданных и искомых функций широко распространены при применении аналитических методов построения решения. Обычно это — разложения по целым положительным или отрицательным степеням независимой переменной либо параметра, входящего в уравнение. Такие разложения используются как для вычисления значений решения, так и для исследования его поведения.


Выдержка из текста работы

Глава 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ

1.1. Дифференциальное уравнение второго порядка

Уравнения

F )=0 (1)

называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Предполагается, что F(u, v, w, g) - заданная непрерывно дифференцируемая функция от точек (и, v, w, g) некоторой области Ω

четырехмерного пространства.

Любая функция у = у(х) имеющая на некотором интервале непрерывную производную второго порядка и удовлетворяющая

уравнению (1), называется решением этого уравнения или его интегральной кривой.

Каждое из них у = у(х) определено, вообще говоря, на некотором своем интервале а < < b. Конечно, для любого х из этого интервала точка

( Ω

Нередко на решение, которое ищут, накладывают дополнительные условия. Особый интерес представляют такие условия, которые гарантируют единственное решение уравнения. Обычно эти условия имеют вид

(2)

и называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения условия (2) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку ( , мы

выделяем определенную интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона

В уравнение (1) могут не входить явно все переменные х, у, но у" должно входить, иначе это уравнение не будет дифференциальным уравнением второго

порядка, например,

х2 + + = 0, + 1 = 0.

Разрешим уравнение (1) относительно у". Будем предполагать это возможным. Из теории неявных функций известно, что если функция F(u, v, w, g) равна нулю в некоторой точке (и0, v0, w0, g0) имеет непрерывные частные производные в окрестности этой точки и частная производная этой точке, то уравнение F (u, v, w,g) = 0 имеет в некоторой окрестности указанной точки решение g = f (u, v, w) и притом единственное.

Тогда уравнение (1) примет вид

, (3)

где функция f (u, v, w) задана на некоторой области Ω трехмерного пространства точек (и, v, w), непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные. Функция f может и не зависеть явно от некоторых из переменных x, у, у'. Например, это имеет место для уравнений

.

Пусть некоторая интегральная кривая у = у(х) проходит через точку ( ) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный

заданному числу (т.е. ).

Этим однозначно определяется вторая производная от у(х) в точке , равная

(

Однако возникает вопрос, если мы зададим х = х0 и произвольные числа , то существует ли на самом деле интегральная кривая у =у(х)

уравнения (3), для которой у(х0) = , у'(хо) = , и как много таких интегральных кривых. Следующая теорема показывает, что если функция f в окрестности точки ( , ,) достаточно гладкая, то такая интегральная кривая существует и притом одна [3].

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (3), рассматриваемая как функция трех переменных (х, у, у'), заданная на трехмерной области

ω, непрерывна и имеет на этой области непрерывные частные

производные

, .

Тогда, какова бы ни была точка ∊ ω, существует интервал (а, b) и определенная на нем дважды непрерывно дифференцируемая функция у = у(х), удовлетворяющая дифференциальному

уравнению (3) и начальным условиям у(х0) = , у'(хо) = ,

Функция, обладающая указанными свойствами, единственная.

Про функцию у(х) говорят, что она есть решение (интегральная кривая) дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (2). Или еще говорят, что она решает задачу Коши для указанных начальных условий.

Каждое такое решение удобно записывать в виде у(х)=у ,

где - параметры решения. Они независимы - их можно взять какими угодно, лишь бы точка ∊ ω.

Если зафиксировать х0, то каждой системе чисел ∊ ω, соответствует решение дифференциального уравнения

(3), которое можно записать (при фиксированном х0) в виде

у = у

где - произвольные постоянные - параметры [3].

1.2. Определения и свойства асимптотических рядов

Введем понятие асимптотического ряда. Рассмотрим некоторый ряд при

Определение 1.1. Пусть функция определена при всех достаточно больших . Будем говорить, что для функции справедливо асимптотическое представление при , если для этих

= ,

где каждый последующий член суммы по порядку меньше предыдущего, т.е.

Это определение весьма общее, и во многих задачах удобнее

конкретизировать вид функций .

И дадим определения асимптотического разложения по степеням

аргумента .

Определение 1.2. Пусть функция определена при для некоторого положительного А. Ряд

(1)

называется асимптотическим рядом функции при , если

для любого натурального и любого справедливо неравенство

(2)

где — некоторая положительная постоянная, вообще говоря зависящая от .

В случае выполнения неравенств (2) говорят также, что функция разлагается в асимптотический ряд (1) при , что записывается в виде

,

Определение 1.3. Пусть функция определена при для некоторого . Ряд

(3)

называется асимптотическим рядом функции при , если

для любого натурального и любого справедливо неравенство

(4)

где — некоторая положительная постоянная, вообще говоря

зависящая от .

В случае выполнения неравенств (4) говорят также, что функция разлагается в асимптотический ряд (3) при , что записывается в виде

, .

Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, то она разлагается в асимптотический ряд по степеням при . Это немедленно вытекает из известной формулы

0 𝛳

и из определения асимптотического ряда.

В частности, если функция аналитична в окрестности нуля, то она по определению разлагается в сходящийся степенной ряд

который одновременно является и асимптотическим [6].

Для асимптотических рядов справедливы свойства, аналогичные свойствам сходящихся рядов [6].

Теорема 2.1. Пусть последовательность функций является калибровочной системой при и

. .

Тогда линейная комбинация также разлагается в асимптотический ряд при .

Теорема 2.2. Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды при :

.

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд при

где коэффициенты ck вычисляются так же, как и при умножении многочленов, путем формального перемножения асимптотических

рядов:

Теорема 2.3. Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды, при

.

и

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд

при

где - некоторые постоянные.

Условие для функций , разлагающихся в асимптотический ряд вида

эквивалентно условию: функция , непрерывна в нуле и .

Ясно, что это условие является существенным, так как даже для такой

простой функции, как ≡ функция уже не разлагается в асимптотический ряд вида

,

Для того чтобы существенно расширить класс функций,

допускающих операцию деления, удобно ввести калибровочные функции с любыми целыми показателями и ряды вида

.

где — какое-нибудь целое число (возможно, и отрицательное). Так что этому классу функций принадлежат, например, функции , — это любой многочлен, не равный нулю тождественно [6].

Теорема 2.4.Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды вида при

.

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд вида при

Теорема 2.5. Пусть функция разлагается в асимптотический ряд вида при

и хотя бы один из коэффициентов Тогда функция также

разлагается в асимптотический ряд вида при

Теорема 2.6. Пусть функция определена и интегрируема по Риману на отрезке 0 разлагается е асимптотический ряд при

Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

Теорема 2.7. Пусть функция определена при 0 , интегрируема по Риману на отрезке при всех и разлагается в асимптотический ряд при

где < 0. Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

(Если , mo в этом равенстве первая сумма, естественотсутствует). Здесь постоянная

Теорема 2.8. Пусть функция определена и интегрируема по Риману при 0 и разлагается в асимптотический ряд при

где < 0. Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

1.3. Преобразования Лиувилля.

1.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1.1)

в котором - действительная или комплексная переменная, -заданная функция. Все однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка могут быть приведены к этому виду подходящей заменой зависимой или независимой переменной.

Простейшее приближение получается, если предположить, что -постоянная величина. Тогда + (1.2) где А и В — произвольные постоянные. Приближение имеет такой же вид, если функция непрерывна, а рассматриваемые интервал или область достаточно малы и не содержат начала координат. Другими словами, формула (1.2) дает описание локального поведения решений. В частности, можно ожидать, что в интервале, где функция действительна, положительна и медленно меняется, решения уравнения (1.1) имеют экспоненциальный характер, т. е. могут быть записаны в виде линейной комбинации двух

решении, величины которых монотонно изменяются, причем одно возрастает, а другое убывает.

Аналогично можно ожидать, что в интервале, где функция отрицательна, решения (1.1) имеют тригонометрический (или осцилляторный) характер.

1.2. Для большинства задач приближение (1.2) слишком грубо. Мы попытаемся улучшить его, предварительно преобразовав (1.1) в дифференциальное уравнение такого же типа, в котором функция заменена функцией, изменяющейся медленнее [4].

Теорема 1.1. Пусть w удовлетворяет уравнению (1.1), -произвольная трижды дифференцируемая функция и-

W= . (1.3)

Тогда функция W удовлетворяет уравнению

,

где точка обозначает дифференцирование по .

Это утверждение проверяется прямой подстановкой. Если рассматривать как независимую переменную, то уравнение (1.01) преобразуется в

Слагаемое с первой производной исчезает, если взять новую зависимую переменную в форме (1.3). При этом уравнение принимает вид (1.1).

Преобразование, указанное в теореме, известно под названием преобразования Лиувилля. Второе слагаемое в коэффициенте перед W в (1.4) часто записывают в виде

,

где производная в смысле Шварца,

1.3. Для заданной функции добиться, чтобы коэффициент перед W в (1.4) был постоянной величиной, не проще, чем точно решить первоначальное дифференциальное уравнение (1.1). Поэтому мы ограничимся тем, что выберем так, чтобы член был постоянным, причем мы можем без потери общности считать его равным единице [4]. Тогда

(1.4)

Если предположить, что функция дважды дифференцируема то можно вычислить производную в смысле Шварца, и уравнение (1.4) принимает вид

= (1.5)

где

φ== . (1.6)

До сих пор выкладки были точными. Если же теперь пренебречь вкладом φ, то независимыми решениями уравнения (1.6) будут функции .

Возвращаясь к первоначальным переменным и замечая, что мы получаем

(1.7)

где — произвольные постоянные. Это выражение называется приближением Лиувилля — Грина (ЛГ) для общего решения уравнения (1.1). Выражения в формуле (1.8) exp и exp называются ЛГ- функциями.

Очевидно, что точность приближения (1.8) связана с величиной отбрасываемой функции φ в рассматриваемой области. Отметим следующее: можно ожидать, что величина |φ| мала и, следовательно, приближение становится более точным, если величина | достаточно мала или медленно меняется. Этим условием охватывается и случай, когда применимо более простое приближение (1.2).

Отметим сразу же важный случай, когда указанное приближение становится неприменимым: интервалы или области содержат нули функции . Очевидно, что тогда функция φ обращается в бесконечность в этих точках и приближение теряет смысл. Нули называются точками поворота или точками ветвления дифференциального уравнения (1.1).

Основанием для таких названий — является то, что когда переменные действительны, а нуль — простой (или, в более общем случае, нечетного порядка), то он отделяет интервал, в котором решения имеют экспоненциальный вид, от интервала, где они осциллируют [4].

1.4. Другой формальный путь вывода ЛГ- приближения состоит в использовании уравнения Риккати

,

которое можно получить из (1.1) с помощью подстановки w=exp . Чтобы решить это уравнение, мы сначала отбросим слагаемое и получим, что . В качестве второго приближения имеем

при условии, что . Интегрирование последнего выражения приводит к формуле (1.8).

1.5. Преобразование, определяемое формулами (1.3) и (1.5), можно применить и к дифференциальному уравнению

. (1.8)

Тогда мы получим

(1.9)

где функция определяется равенством (1.7). Так же, как и раньше, если | | | | в интересующей нас области, то можно надеяться, что выражение (1.8) приближает решения (1.9).

Мы можем, конечно, рассматривать коэффициент в (1.9) как одну функцию переменной и использовать формулу (1.8), заменяя на . Однако когда коэффициент перед w разбивается на две части, часто можно получить лучшее приближение; кроме того, упрощается вычисление интеграла в (1.8) [4].

1.4 Асимптотика решения дифференциального уравнения второго порядка.

1.1. Рассмотрим уравнение

+ , (1)

где при Будем предполагать, что при справедливо асимптотическое разложение

. (2)

Учитывая это разложение, нетрудно построить формальные ряды,

которые на бесконечности ведут себя приблизительно как или

и формально удовлетворяют уравнению (1). Будем искать такой ряд

в виде

. (3)

Так как решение однородного уравнения (1) после умножения на

постоянную снова остается решением этого уравнения, то постоянную

0 можно выбрать произвольно. Будем считать, что

(4)

Подставим ряд (3) в уравнение (1), где заменим рядом (2). После сокращения на получается формальное равенство

+

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем

рекуррентную систему уравнений:

0= ,

0= ,

…. (5)

0= ,

Из этих соотношений последовательно определяются все .

Тем самым построен ряд (3). Вообще говоря, этот ряд расходится, но можно хотя бы ожидать, что он является асимптотическим (при ) рядом для какого-нибудь решения уравнения (1).

Теорема 22.1. Существует решение уравнения (1), которое при разлагается в асимптотический ряд (3), где коэффициенты определяются соотношениями (4), (5). Это означает, что

(6)

Проверим, что ряд (3) является асимптотическим решением уравнения (1) при . Это означает, что частичная сумма ряда (3)

(7)

приближенно удовлетворяет уравнению. Более точно:

L (8)

Здесь и далее используется обозначение

+

Действительно, при подстановке всего ряда (3) в уравнение (1)

обращаются в нуль коэффициенты при всех степенях t. А отсутствующие в члены

после подстановки в оператор L образуют степени с показателем, не

превышающим ).

Рассмотрим Леммы: Лемма 1. Пусть функция = при, , г > 1, . Тогда уравнение

(9)

имеет при единственное решение порядка и для этого решения справедлива формула

. (10)

Лемма 2. Пусть функция удовлетворяет условиям леммы 1, а функция , при , α > 1.

Тогда уравнение

+[ (11)

имеет при единственное решение порядка .

Доказательство теоремы : Надо показать, что существует решение уравнения (1), которое разлагается в построенный выше формальный ряд (3). Для этого рассмотрим частичную сумму ряда (7). Как отмечено выше,

L

Функция ≡1 Согласно лемме 2 существует

решение уравнения

такое что

Поэтому их разность удовлетворяет уравнению

(1), причем Тем самым доказательство

теоремы было бы завершено, если бы функция не зависела от n.

В этом довольно легко убедиться, опираясь опять-таки на лемму 2.

Действительно, функция также удовлетворяет однородному уравнению причем

=

Согласно лемме 2 решение однородного уравнения, которое так

быстро стремится к нулю при , тождественно равно нулю.

Следовательно, , чем и завершается доказательство

теоремы.

Равенство (6) означает существование решения уравнения (1), такого что

, ,

где — решение выписанной выше рекуррентной системы (5).

1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка [6]

+ , (1)

Известно, что при достаточно широких предположениях относительно функции Q(t) можно получить асимптотические разложения решений этого уравнения при больших значениях аргумента t. Так называемый метод ВКБ позволяет получать такие разложения.

Если к уравнению (1) применить сначала второе, а потом первое преобразования Лиувилля, то главный член асимптотики будет иметь как раз вид :

.

Рассмотрим применения преобразований Лиувилля.

Теорема 1. Пусть коэффициент в уравнении (1) обладает следующими свойствами:

1) ,

2) , такое что , при

3) ∃γ, такое что

4) Существует формальное асимптотическое решение уравнения (1) вида

,

- калибровочные функции.

Тогда существует решение уравнения (1), для которого это формальное асимптотическое решение является асимптотическим разложением при

Доказательство. Перейдем в уравнении (1) к новой независимой переменной:

, (2)

после чего уравнение (1) приобретает вид

или

при зависимости вида (2).

После замены ,

,

Получим новое уравнение для функции

где связана с формулой (2).

И так условие сформулированное в теореме, является достаточным для того, чтобы формальный ряд (если он существует) являлся асимптотическим разложением некоторого решения уравнения (1).

Теперь рассмотрим, как искать формальное асимптотическое решение уравнения (1), не переходя к новой переменной. Достаточно сделать замену неизвестной функции:

=

Решение получившегося уравнения

+ =0

зачастую можно найти в виде формального ряда, первый член которого

равен единице [6].

И так, рассмотрим в качестве примера уравнение

(3)

Приложение 1

Программа на языке Delphi

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

Label10: TLabel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Button1: TButton;

Memo1: TMemo;

Edit9: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

m:Real;

implementation

function u(x,y,z:real):real; begin

u:=z;

end;

function v(x,y,z:real):real;

begin

v:=x*z+m*ln(1+y);

end;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i: integer;

x,x0,y,z:real;

c,cl,c2:real;

h:real;

kl,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4:real;

s:array[1.5] of real;

d:array[1.5] of real;

e:array[1.5] of real;

begin

h:=-0.0001;

m:=strtofloat(edit5.text);

x0:=strtoint(edit9.text);

cl:=strtofloat(edit6.text);

c2:=strtofloat(edit7.text); repeat

c:=(cl+c2)/2;

x:=x0;

s[1]:=4;

s[2]:=-s[1]*s[1]/2;

s[3]:=(s[1]*s[1]*s[1]-3*s[1]*s[2])/6;

s[4]:=(4*s[1]*s[1]*s[2]-2*(s[2]*s[2]+2*s[1]*s[3])-s[1]*s[1]*s[1]*s[1])/12;

s[5]:=(-5*(s[2]*s[3]+s[1]*s[4])+5*(s[1]*s[2]*s[2]+s[1]*s[1]*s[3])-5*s[1]*s[1]*s[1]*s[2]+s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*s[1])/20;

d[1]:=-m*(m+1)*s[1]/2;

d[2]:=-(m*s[1]*d[1]-2*m*(-2*m-1)*s[2])/(m+2);

d[3]:=(3*m*(-3*m-1)*s[3]+m*s[1]*s[1]*d[1]-m*(s[1]*d[2]+s[2]*d[1]))/(2*m+2);

d[4]:=(4*m*(-4*m-1)*s[4]-m*(s[2]*d[2]+s[3]*d[1]+s[1]*d[3])-m*s[1]*s[1]*s[1]*d[1]+m*(s[1]*s[1]*d[2]+3*s[1]*s[2]*d[1]))/(3*m+2);

d[5]:=(-2*(-5*m)*(-5*m-1)*s[5]-m*(2*s[1]*s[1]*s[1]*d[2]+6*d[1]*s[1]*s[1])-2*m*(d[2]*s[3]+s[2]*d[3]+s[1]*d[4]+d[1]*s[4])+2*m*s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*d[1])+2*m*(s[1]*s[1]*d[3]+s[2]*s[2]*d[1]+3*s[1]*s[3]*d[1])/2*(4*m+2);

e[1]:=(m+2)*(-m-3)*d[1]/4;

e[2]:=(-m*(2*s[1]*e[1]+d[1]*d[1])+2*(2*m+2)*(-2*m-3)*d[2])/2*(m+4);

e[3]:=(3*m+2)*(-3*m-3)*d[3]-m*(d[1]*d[2]+e[2]*s[2]-s[1]*d[1]*d[1]-s[1]*s[1]*e[1])/(2*m+4);

e[4]:=(2*(4*m+2)*(-4*m-3)*d[4]-m*(2*s[1]*s[1]*s[1]*e[2]+3*d[1]*d[1]*s[2]*s[2])-m*(2*s[1]*e[2]+2*s[3]*e[1]+d[2]*d[2]+2*d[1]*d[3]+2*s[1]*e[3])+2*m*(s[1]*s[1]*e[2]+d[1]*d[1]*s[2]+3*s[1]*d[1]*e[1]+3*s[1]*e[1]*s[2]))/2*(3*m+4);

e[5]:=((5*m+2)*(-5*m-3)*d[5]-m*(s[1]*s[1]*e[3]+s[1]*d[2]*d[2]+d[1]*d[1]*s[3]+e[1]*s[2]*s[2]+2*s[1]*d[1]*d[3]+2*s[1]*e[1]*s[3]+2*s[1]*s[2]*e[2]+2*d[1]*s[2]*d[2]+4/3*s[3]*s[3]*s[3]*d[1]*d[1]+2/3*s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*e[1]))/(4*m+4);

y:=0;

for i:=1 to 5 do

y:=y+(s[i]/c*exp((-i*m)*ln(x0))+d[i]/c*exp((-i*m-2)*ln(x0))+e[i]/c*exp((-i*m-4)*ln(x0)));

z:=0;

for i:=1 to 5 do

z:=z+(-(i*m)*s[i]/c*exp((-i*m-1)*ln(x0))

-(i*m+2)*d[i]/c*exp((-i*m-3)*ln(x0))

-(i*m+4)*e[i]/c*exp((-i*m-5)*ln(x0))); repeat

kl:=h*u(x,y,z);

l1:=h*v(x,y,z);

k2:=h*u(x+h/2,y+kl/2,z+l1/2);

l2:=h*v(x+h/2,y+kl/2,z+l1/2);

k3:=h*u(x+h/2,y+k2/2,z+l2/2); // 12

l3:=h*v(x+h/2,y+k2/2,z+l2/2); // 12

k4:=h*u(x+h,y+k3,z+l3);

l4:=h*v(x+h,y+k3,z+l3);

y:=y+(kl+2*k2+2*k3+k4)/6;

x:=x+h;

z:=z+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;

until x<0;

Memo1.Lines.Add('c = '+FloatToStr(c)+' : ó='+FloatToStr(y)); if y<1 then c2:=c else cl:=c;

until (abs(cl-c2))<0.00000001;

edit1.Text:=floattostr(y);

edit2.Text:=floattostr(z);

edit3.Text:=floattostr(c);

edit4.Text:=floattostr(round(x*10)/10);

end;

end.


Заключение

В данной выпускной квалификационной работе была рассмотрена задача построения решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

(t) – t – µ =0,

удовлетворяющее условию (0) = 1, u 0 при t +∞.

Построено формальное асимптотическое разложение решения уравнения

(t) – t – µ =0 с условием (0) = 1, u 0 при t +∞. Формальное асимптотическое разложение имеет вид

+ + +…+

+ + +…+

+ + +…+

+ + +…+

+ + +…+

где коэффициенты


Список литературы

1. Ахметов Р.Г. Асимптотики решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка /Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №2. С.155-162.

2. Ахметов Р.Г. Существование и асимптотика решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка /Дифференциальные уравнения. 2005. Т.41, №6. С.723-729.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М.; Под редакцией Садовничего В.А. Высшая математики: т 3, 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004.-512с.

4. Вазов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968. – 464с.

5. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. – М.: Наука, 1989. – 336с.

6. Ильин А. М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. – М.: Физматлин, 2009.- 248с.

7. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения.-М.:МИР, 1966.-156с.

8. Найф А.Х. Методы возмущений .-М.:МИР, 1976.-456с.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для гос.университетов.-М.:Наука, 1972-735с.

10. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: 2-е изд.-М.: Наука, 1985.-448с

11. Ф.Ольвер Введение в асимтотические методы и специальные функции.-М.:Наука,1978-376с.


Тема: «Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка»
Раздел: Математика
Тип: Дипломная работа
Страниц: 50
Цена: 1750 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Методика исследования асимптотических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

    45 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 6
    1.2. Преобразование Лиувилля 9
    1.3. Определение асимптотического ряда 14
    1.4. Свойства асимптотических рядов 15
    1.5. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки 21
    Глава II. Нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 25
    2.1. Постановка задачи. Нахождение формального асимптотического разложения решения 25
    2.2. Численные решения 32
    Заключение 34
    Список использованной литературы 35
    Приложения 37
    Приложение 1. Программа на языке Delphi 37
    Приложение 2. Результаты вычислений 41
  • ВКР:

    Методика применения компьютерного моделирования для решения дифференциальных уравнений и в школьном курсе информатики

    85 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1 Линейные дифференциальные уравнения 6
    1.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11
    1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
    1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
    1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
    1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
    Выводы по первой главе 25
    2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
    2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
    2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
    Выводы по второй главе 31
    3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
    3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
    3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
    3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
    Выводы по третьей главе 55
    Заключение 57
    Список использованной литературы 59
    Приложения 62
  • Дипломная работа:

    Оценки решений краевой задачи для одного класса дифференциальных уравнений второго порядка

    32 страниц(ы) 

    Введение…. 3
    Глава I. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка
    1.1 Классификация дифференциальных уравнений второго порядка …. 5
    1.2 Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру ….…. 7
    1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений…. 8
    1.4 Теорема существования решения для эллиптических уравнений… 10
    1.5 Критерий компактности …. 12
    1.6 Теорема Лагранжа о конечных приращениях … 12
    Глава II. Оценки решений краевой задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка
    2.1 Постановка задачи …. 14
    2.2 Доказательство существования и единственности решения краевой задачи … 15
    2.3 Оценки решения краевой задачи …. 21
    Заключение …. 27
    Литература ….…. 28
    Приложение (графики)….…. 29
  • Дипломная работа:

    Асимптотическое разложение решения одномерной краевой задачи дирихле с быстроосциллирующимся потенциалом

    18 страниц(ы) 

    1.Введение….3
    2. Определение и основные свойства асимптотических разложений….4
    3. Постановка задачи…6
    4. Построение формального асимптотического решения по малому параметру.…7
    5. Построение асимптотического решения по малому параметру…12
  • Дипломная работа:

    Оценки решений краевой задачи для одного эллиптического дифференциального уравнения

    26 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    1 Краевые задачи для квазилинейных эллиптических дифференциаль-
    ных уравнений второго порядка.
    1.1 Класс функций . Определение непрерывности функции по Гельдеру….….….….5
    1.2 Принцип максимума для эллиптических уравнений ….…6
    1.3 Теорема существования решения для квазилинейных эллиптических уравнений….….….….….13
    1.4 Критерий компактности….….….15
    2 Оценки решения краевой задачи для одного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка.
    2.1 Постановка задачи….….16
    2.2 Существование и единственность решения краевой задачи и оценки решения….….….….17
    Заключение 23
  • Дипломная работа:

    Нахождение линейных законов сохранения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом компьютерной алгебры

    28 страниц(ы) 

    Введение 2
    Глава 1 Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4
    Глава 2 Базис Гребнера 12
    2.1 Общие понятия базисов Гребнера 12
    2.2 Решение системы полиномов 14
    2.3 Алгоритмические построения базисов Гребнера 16
    2.4 Улучшенная версия алгоритма 17
    Глава 3 Нахождение линейных первых интегралов с помощью матричных преобразований. 21
    Заключение 25
    Литература 26

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Рациональность как ключевая ценность английской лингвокультуры

    56 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ЦЕННОСТЕЙ В ЛИНГВОКУЛЬТУРОЛОГИИ 6
    1.1. Место лингвокультурологии в современном языкознании 6
    1.2. Проблема ценностей в лингвокультурологии 9
    1.3. Рациональность в системе ценностей английской лингвокультуры 14
    Выводы по главе I 19
    ГЛАВА 2. ЯЗЫКОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОСТИ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ДАННЫХ 21
    2.1. Анализ данных словарей 21
    2.2. Опрос информантов-британцев 24
    2.3. Анализ данных корпусов 27
    2.4. Ценность данной проблемы для образовательного процесса 45
    Выводы по главе I I 47
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
    ЛИТЕРАТУРА 52
  • Дипломная работа:

    Воспитание скоростно-силовых способностей у футболистов 12-13 лет, занимающихся в секции

    51 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА I. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВОСПИТАНИЯ СКОРОСТНО-СИЛОВЫХ СПОСОБНОСТЕЙ 5
    1.1. Характеристика средств и методов развития скоростно-силовых способностей 5
    1.2. Особенности развития скоростно-силовых способностей 11
    1.3. Скоростно-силовые способности и их значение для футболистов 15
    1.4. Методика воспитания скоростно-силовых способностей 19
    ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 25
    ГЛАВА II. МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 27
    2.1. Методы исследования 27
    2.2. Организация исследования 29
    ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 31
    3.1. Комплекс упражнений, направленный на воспитание скоростно-силовых способностей у футболистов 12-13 лет, занимающихся в секции 31
    3.2. Результаты исследования 35
    ВЫВОДЫ 45
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 47
  • ВКР:

    Методические рекомендации по оформлению кабинета детской художественной школы

    41 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОФОРМЛЕНИИ КАБИНЕТА ДЕТСКОЙ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ШКОЛЫ 5
    1.1. Исторические сведения о дизайне художественной школы 5
    1.2. Современное оформление кабинета художественной школы. Его оборудования 7
    ГЛАВА II. ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ ПРОЕКТА КАБИНЕТА В ДЕТСКОЙ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ШКОЛЕ 12
    2.1. Концепция дизайн-проекта интерьера кабинета детской художественной школы 12
    2.2. Этапы разработки оформления кабинета детской художественной школы 16
    2.3. План-конспект учебного занятия у студентов 1 курса колледжа по теме «Цвет - как элемент дизайна интерьера» в процессе изучения дисциплины «Дизайн проектирование» 18
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 30
  • Дипломная работа:

    Разработка электронного учебно-методического комплекса. Система очистки ореберных труб

    138 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 4
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА 7
    1.1. Сущность электронного учебно-методического комплекса 7
    1.2. Этапы проектирования электронного учебно-методического комплекса 8
    1.3. Основные типы технологий, применяемых в учебных заведениях нового типа 11
    Вывод по первой главе 20
    ГЛАВА 2. СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА «ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ». СИСТЕМА ОЧИСТКИ ОРЕБЕРНЫХ ТРУБ 21
    2.1. Элементы теории процесса прокатки 21
    2.2. Станы для прокатки изделии с винтовой поверхностью 28
    2.3. Инструмент для поперечно-винтовой прокатки резьб 34
    2.4. Технология прокатки 41
    2.5. Качество винтов с прокатанной резьбой 53
    2.6. Элементы теории прокатки 57
    2.7. Станы для прокатки ребристых труб 67
    2.8. Технологический процесс прокатки и отделки ребристых труб 74
    2.9. Проектирование и изготовление инструмента для прокатки ребристых труб 81
    ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА «ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ». СИСТЕМА ОЧИСТКИ ОРЕБЕРНЫХ ТРУБ 89
    3.1. Общие технические требования 89
    3.2. Разработка сценария электронного учебно-методического комплекса 91
    3.3. Условия выполнения программы 96
    3.4. Реализация основных разделов УМК в среде Moodle 98
    3.5. Разработка 3D модели системы очистки ореберных труб 110
    Вывод по третьей главе 114
    4. РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЕКТА 115
    4.1. Выбор и обоснование методики расчета экономической эффективности электронного учебно-методического комплекса 115
    4.2. Расчет показателей экономической эффективности использования электронного учебно-методического комплекса 120
    Вывод по четвертой главе 126
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 127
    ЛИТЕРАТУРА 129
    ПРИЛОЖЕНИЯ 132
  • Дипломная работа:

    Прагматические особенности речевого этикета в различных культурах и их изучение в практическом курсе английского языка

    108 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1. Прагматические особенности речевого этикета в сопоставительном аспекте 6
    1.1 Коммуникативная культура, прагмалингвистические характеристики межличностного взаимодействия 6
    1.2 Проблема нормативности межличностного взаимодействия 17
    1.3 Этикет межличностного взаимодействия: вербальные и невербальные аспекты нормативного коммуникативного поведения 23
    Выводы по Главе 1 35
    Глава 2. Сравнительно-контрастивный анализ этикетных коммуникативных ситуаций в различных культурных моделях 37
    2.1 Этнопрагмалингвистическая специфика этикетных форм речевого поведения 37
    2.2 Коммуникативно-прагматические особенности инициации коммуникативного взаимодействия 38
    2.2.1 Стратегии вежливости и речевые акты приветствия в русской лингвокультуре 38
    2.2.2 Стратегии вежливости и речевые акты приветствия в английской лингвокультуре 49
    2.3 Коммуникативно-прагматические особенности финализации коммуникативного взаимодействия: 54
    2.3.1 Стратегии вежливости и речевые акты прощания в русской лингвокультуре 54
    2.3.2 Стратегии вежливости и речевые акты прощания в английской лингвокультуре 66
    Выводы по Главе 2 69
    Глава 3. Опытно-экспериментальная работа по практической имплементации в практику образовательно-воспитательного процесса системы уроков, направленных на повышение уровня сформированности этикета межличностного межкультурного взаимодействия 70
    3.1 Состояние сформированности знаний, умений и навыков обучающихся (констатирующий этап опытно-экспериментальной работы) 70
    3.2 Интеграция разработанной системы уроков в практику обучения 81
    3.3 Развитие культуры этикета обучающихся в условиях опытно-экспериментальной работы 90
    Выводы по Главе 3 96
    Заключение 98
    Список использованной литературы: 102
  • Дипломная работа:

    Разработка информационной системы “виртуальная школа”

    62 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ
    Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗРАБОТКИ “ВИРТУАЛЬНОЙ ШКОЛЫ”
    1.1. Описание организационной структуры и видов деятельности виртуальной школы
    1.2. Обзор существующих аналогов проектируемой системы
    1.3. Анализ и выбор методологии и средств проектирования и разработки
    Вывод по главе 1
    Глава 2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ “ВИРТУАЛЬНАЯ ШКОЛА”
    2.1. Техническое задание
    2.2. Статистические диаграммы
    2.3. Динамические диаграммы.
    Вывод по главе 2
    Глава 3. РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ “ВИРТУАЛЬНАЯ ШКОЛА'
    3.1. Описание экранных форм
    3.2. Технико-экономическое обоснование
    Определение общей продолжительности работ
    Расчет стоимости машино-часа эксплуатации ЭВМ. Расчет затрат на разработку программного продукта
    Расчет эксплуатационных текущих затрат по программному продукту
    Расчет экономической целесообразности разработки программного продукта
    Вывод по главе 3
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    ЛИТЕРАТУРА
  • Дипломная работа:

    Организация работы и ведение документации по персоналу в администрации муниципального района шаранский район республики башкортостан

    86 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ЗАКОНОДАТЕЛЬНАЯ БАЗА ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ МУНИЦИПАЛЬНЫХ ОРГАНОВ ВЛАСТИ 8
    1.1 Федеральное и региональное законодательство в сфере муниципальной власти 8
    1.2 Нормативно-правовые основы ведения документации по персоналу в органах муниципальной власти 21
    ГЛАВА 2. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ С ДОКУМЕНТАМИ В СЛУЖБЕ КАДРОВ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ШАРАНСКИЙ РАЙОН 31
    2.1 Структура и состав Администрации муниципального района Шаранский район 31
    2.2 Формирование и хранение документов службы кадров 41
    ГЛАВА 3. НАПРАВЛЕНИЕ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ РАБОТЫ С ПЕРСОНАЛОМ В СЛУЖБЕ КАДРОВ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ШАРАНСКИЙ РАЙОН 51
    3.1 Использование информационных технологий в службе кадров 51
    3.2 Пути и методы совершенствования службы кадров Администрации муниципального района Шаранский район 63
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 68
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 71
    ПРИЛОЖЕНИЯ 76
  • Реферат:

    Интеракционизм в социологии

    19 страниц(ы) 

    Введение 3
    Символический интеракционизм 4
    Создание основ теории «Я» 5
    Другие концепции, символического интеракционизма 13
    Вывод 17
    Литература 18
  • Курсовая работа:

    Особенности речевого развития умственно отсталых детей

    40 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ …3
    1 Теоретические основы речевого развития у детей с интеллектуальной недостаточностью
    1.1 Анатомо-физиологические механизмы речи и основные закономерности ее развития у ребенка с ЗПР….….….6
    1.2 Основные направления логопедической коррекции детей с задержкой психического развития….12
    2 Экспериментальное исследование речевых психических функций и процессов у старших дошкольников с ЗПР
    2.1 Методика исследования….….19
    2.2 Организация экспериментального исследования дошкольников….24
    2.3 Анализ полученных результатов….26
    2.4 Обсуждение результатов. Импрессивная речь….…28
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ ….37
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …39
  • Дипломная работа:

    Деятельность социального педагога по реализации прав детей с ограниченными возможностями на образование в современных условиях

    77 страниц(ы) 

    Введение.3
    Глава I. Теоретические основы изучения проблемы реализации права детей с ограниченными возможностями на образование
    1.1. Дети с ограниченными возможностями как социально-педагогическая проблема….…7
    1.2. Возможности реализации права на образование детей с ограниченными возможностями в современных условиях….20
    1.3. Зарубежный опыт по реализации права на образование детей с ограниченными возможностями…. .31
    Выводы по первой главе….36
    Глава 2. Деятельность образовательных учреждений по реализации права ребенка с ограниченными возможностями на образование.
    2.1. Образовательное учреждение и его роль в реализации права на образование детей с ограниченными возможностями….38
    2.2. Деятельность социального педагога в реализации права на образование ребенка с ограниченными возможностями и анализ результатов опытной работы (на базе МОУ СОШ с. Старобаширово Чекмагушевского района РБ)….….46
    Выводы по второй главе….….….63
    Заключение….65
    Список литературы….….68