«Методика исследования асимптотических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава I. Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6

1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 6

1.2. Преобразование Лиувилля 9

1.3. Определение асимптотического ряда 14

1.4. Свойства асимптотических рядов 15

1.5. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки 21

Глава II. Нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 25

2.1. Постановка задачи. Нахождение формального асимптотического разложения решения 25

2.2. Численные решения 32

Заключение 34

Список использованной литературы 35

Приложения 37

Приложение 1. Программа на языке Delphi 37

Приложение 2. Результаты вычислений 41

Введение

В последние годы теория асимптотических рядов добилась больших успехов. Данный факт обуславливает, понимание того, что успешное применение асимптотических рядов неразрывно связано с использованием определенного метода суммирования, когда, выписывается любой ряд, то нужно отдавать отчет, как его суммировать. Простая процедура сложения последовательных членов в редких случаях приводит к успеху. А при вычислении суммы сходящихся рядов часто приходится пользоваться различными приемами.

В реальной действительности, для описания многих процессов на помощь приходят обыкновенные дифференциальные уравнения. Сейчас трудно представить область науки, в которой не возникала бы необходимость использования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Действительно, если некоторая физическая величина оказывается меняющейся со временем под действием тех, или иных факторов, то как правило, закон ее изменения по времени описывается именно дифференциальным уравнением, т.е. уравнением, которое связывает исходную переменную, как функцию времени и производные этой функции. Решение уравнения с анализом его зависимости от параметров задачи и начального состояния системы позволяет установить общие закономерности изменения исходной физической величины.

Многие физические задачи, как известно, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а так же некоторыми начальными условиями. Одним из универсальных методов решения смешанных задач является метод Фурье, предложенный им в 1807 г. Этот метод приводит к краевой задаче, описываемой граничными условиями и обыкновенным дифференциальным уравнением, содержащим некоторый параметр. Поскольку данные дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, то они, как правило, не интегрируются. Только в частных случаях Фурье удалось найти решение указанных дифференциальных уравнений.[13]

В 1838 г. Результаты Фурье были обобщены французским математиком Жозефом Лиувиллем. Он предложил метод разложения произвольной функции в ряд по фундаментальным функциям краевой задачи, заданной дифференциальным уравнением II порядка

где - большой параметр, с некоторыми граничными условиями. Фундаментальные функции полученные Лиувиллем для уравнения при больших значениях , обладают свойством ортогональности. Поэтому коэффициенты в разложении

определяются обычным образом.[13]

Постановка задачи. В данной выпускной квалификационной работе исследуется дифференциальное уравнение второго порядка:

Требуется найти решение уравнения удовлетворяющее условиям:

Теория асимптотических рядов ведет свое начало от Стилтьеса (1886) и А. Пуанкаре (1886). Эту теорию можно разделить на II части. В первой части, изучаются вопросы, «суммы» асимптотических рядов («асимптотические пределы», «асимптотическая сходимость»), операции над асимптотическими рядами (алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование и т.д.). Понятие асимптотическое разложение функции и асимптотический ряд были введены Анри Пуанкаре в связи с задачами небесной механики.[13]

Благодаря работам Фурье, Штурма и Лиувилля теория изображения решений дифференциальных уравнений, содержащих параметр, в виде асимптотических формул (такое изображение называют асимптотическим) стало очень быстро развиваться. Однако ее применение ограничивалось лишь выяснением характера сходимости разложения произвольной функции в ряд по фундаментальным функциям. В дальнейшем обнаружилось, что эта. Своего рода асимптотическая теория, может быть применена к решению многих задач совсем другого характера, в частности задач практики. Так, например, в работах Фаулера, Локка и Спарре результаты Лиувилля были применены к решению приближенных уравнений движения снаряда.[13]

Большой вклад в развитии асимптотических методов внес русский ученый В.А. Стеклов. Так, установив теорему «замкнутости» для функции Штурма-Лиувилля, Стеклов решил тем самым обе задачи о разложении функции в ряд по фундаментальным функциям уравнения с такой же степенью общности, как и для обыкновенных тригонометрических рядов Фурье.[13]

Асимптотические разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотическое разложение решений. Кроме того, численные методы часто применяются именно в тех случаях, когда асимптотические разложения удается найти.[13]

Выдержка из текста работы

Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ

1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение вида

(1)

называется дифференциальным уравнением II порядка.

Предполагается, что – заданная непрерывно дифференцируемая функция от точек в некоторой области четырехмерного пространства.[15]

Функция, имеющая на некотором интервале непрерывную производную второго порядка и удовлетворяющая уравнению (1), называется решением данного уравнения или интегральной кривой данного уравнения.

Каждая из функций , определена вообще говоря, на некотором интервале Для любого из этого интервала точка . На решение, которое ищут, накладывают дополнительные условия. Особый интерес представляют такие условия, которые гарантируют нам единственное решение уравнения. Обычно такие условия имеют следующий вид:

(2)

Данные условия называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющая начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения условия (2) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку . Мы выделяем определенную интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона (рис. 1).

Рис. 1

В уравнение (1) могут не входить все переменные , но должна входить обязательно, иначе это уравнение не будет дифференциальным уравнением второго порядка, например, , .[14]

Разрешим уравнение (1) относительно . Предположим, что это возможно. Из теории неявных функций известно, что если функция равна нулю в некоторой точке , имеет непрерывные частные производные в этой точке, то уравнение имеет в некоторой окрестности указанной точки решение и притом единственное.[15]

Тогда уравнение (1) примет вид

,

(3)

где функция задана на некоторой области ω трехмерного пространства точек , непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные. Функция может и не зависеть явно от некоторых из переменных . Например, это имеет место для уравнений , , .[15]

Пусть некоторая интегральная кривая проходит через точку и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный заданному числу (т. е. ).

Этим однозначно определяется вторая производная от в точке , равная

.

Однако возникает вопрос, если мы зададим и произвольные числа , то существует ли на самом деле интегральная кривая уравнения (3), для которой и , и как много таких интегральных кривых. Следующая теорема показывает, что если функция в окрестности точки достаточно гладкая, то такая интегральная кривая существует и притом одна.

Заключение

В данной выпускной квалификационной работе было рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

И построено формальное асимптотическое разложение решения данного уравнения при .

Используя формальное асимптотическое решение, найдены численные решения, удовлетворяющие граничным условиям.

Список литературы

1. Akhmetov R.G. The asymptotic expansions of the solution for the boundary value problem to a convective diffusion equation with volume chemical reaction near a spherical drop. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 15:6 (2011), CNSNS 1577, 2308-2312.

2. Ахметов Р.Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии с объемной химической реакцией в следе за частицей. Журнал вычислительной математики и математической физики, 46:5 (2006), 834-837.;

3. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939, 717 с.;

4. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1968, 464 с.;

5. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009, 248 с.;

6. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Издательство иностранной литературы, 1958, 474с.;

7. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. Москва: Лань, 2006, 367 с.;

8. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. Санкт-Петербург: Мир, 1983, 375 с.;

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974, 331 с.;

10. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009, 352 с.;

11. Федорюк М.В. Метод перевала. Москва: Наука, 1977, 368 с.;

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 1970, 720с.;

13. Шкиль Н.И., Вороной А.Н., Лейфура В.Н. Асимптотические методы в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Киев: ВИЩА ШКОЛА, 1985, 247 с.;

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Под редакцией Арамановича И.Г. – Москва: Наука 1984, 831с.;

15. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика Т.3. Учеб. Для вузов: В 3 Т. Под редакцией В.А. Садовничьего. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004, 512 с.

Примечания

Программа на языке Delphi.