«Оценки решения одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка» - Дипломная работа

Содержание

Введение….3

Глава I Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация дифференциальных уравнений второго порядка….5

1.2 Основные обозначения и термины. Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру….7

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений…8

1.4 Теоремы существования решений для эллиптических уравнений….10

1.5 Критерий компактности…12

1.6 Теорема Лагранжа о конечных приращениях….12

Глава II Оценки решений краевой задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка

2.1 Постановка задачи….15

2.2 Существование и единственность решения краевой задачи …15

2.3 Оценки решения краевой задачи….21

Заключение….27

Список литературы….….29

Приложение….31

Введение

Теория эллиптических уравнений с частными производными является важной, но еще не так хорошо изученной ветвью квазилинейных уравнений, так как почти во всех случаях задача прикладного характера для этих уравнений имеет особенности, которые не позволяют автоматически воспользоваться общей теорией (например, может случиться, что рассматриваемая область неограниченна, или граница имеет угловые точки, или коэффициенты имеют особенности, или сама краевая задача носит необычный характер). Помимо того, что эта теория представляет чисто математический интерес, она служит важным рабочим инструментом для многих приложений. Многие уравнения этого типа изучены весьма детально по той причине, что они часто встречаются в вопросах механики.

В данной работе в области рассматривается краевая задача:

(1)

с граничным условием:

(2)

где функция , , , и имеет оценку:

(3)

для некоторого  > 0, достаточно большого N и y стремящегося к нулю на бесконечности.

Уравнение (1) возникает при исследовании явления массообмена между частицей (каплей) и потоком жидкости в случае, когда вещество, диффундирующее от поверхности частицы, испытывает в потоке химическое превращение.

Цель данной работы - доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и установление оценки решения. Основная трудность состоит в том, что краевая задача рассматривается в неограниченной области. Известные теоремы и предложения доказаны для ограниченных областей. В данной работе они используются, но показывается, решение краевой задачи (1), (2) существует и единственно в классе ограниченных функций, стремящихся к нулю при равномерно относительно y, в неограниченной области. Сам прием доказательства нестандартен. Используются принцип максимума, барьерные функции, методы оценок, компактность. В чем и состоит научная новизна и актуальность данной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены ряд понятий и предложений, которые используются при исследовании задачи (1), (2). Во второй главе доказывается существование и единственность решения, а так же делается оценка решения задачи (1), (2).

Выдержка из текста работы

Глава I

Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Дифференциальные уравнения с двумя неизвестными

Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x и у называется соотношение между неизвестной функцией и(х,у) и ее частными производными до второго порядка включительно:

.

Будем пользоваться следующими обозначениями для производных:

, .

Аналогично записываются уравнения и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

, (1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, ux, ,, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху, иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных ux, :

, (1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициент уравнения (1.1.2) не зависит от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

, (1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения .

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

, (1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

, (1.1.5)

. (1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

.

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением:

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М .

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Основные обозначения и термины. Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру

-n-мерное евклидово пространство; x=( ) – произвольная точка в нем; всюду n 2.

- ограниченная область в , то есть произвольно открытое связанное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре большого радиуса.

S – граница . Иногда мы будем обозначать ее через .

- замыкание , так что .

.

.

Под символами и понимаем и соответственно. Иногда, желая подчеркнуть, что непрерывность u(x) не предполагается, будем писать и вместо и соответственно.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка m, непрерывные в G + Г.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций и из таких, что их производные порядка т удовлетворяют в G + Г условию Гельдера с показателем  ([8], гл. IV, § 7, стр. 330).

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной k и показателем , 0 << 1, на некотором множестве , если для любых двух точек х' и х" из этого множества:

, где .

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений

Пусть коэффициент уравнения

(1.3.1)

и свободный член f(х,у) определены в ограниченной области  и принадлежат пространству . Уравнение (1.3.1) называется эллиптическим, если выполняется условие:

(1.3.2)

([9], гл. 3, стр. 145).

Принцип максимума. Если функция u(х) удовлетворяет условию М[u]0, где

и функция u(x) принимает максимальное значение во внутренней точке, то и= const ([8], гл. IV, § 2, стр. 324).

Следовательно, максимум любой функции u(х), непрерывной в G+ Г и удовлетворяющей условию М[u]0 в G, достигается на границе G ([8], гл. IV, §2, стр. 324).

Следствие. Пусть функция и(х) удовлетворяет в G уравнению:

. (1.3.3)

Если u(х) достигает внутри области положительного максимума, то и=const. Следовательно, если функция u(х) непрерывна в G+Г, неположительная на Г и удовлетворяет условию L[u]0 в G, то u0 в G.

Для доказательства этого следствия предположим, что u(х) имеет положительный максимум во внутренней точке Р. Поскольку функция u(х) непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки Р, но в этой окрестности M[u=Lu + сu  0 , так как с  0 и поэтому, в силу принципа максимума, u = const. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G. С другой стороны, в силу непрерывности u(х), оно одновременно замкнуто в G и, следовательно, совпадает в G. Отсюда следует, что функция u(х) всюду в G равна некоторой положительной постоянной.

Из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяющая в G условию М(u)0 , принимает максимальное значение в граничной точке.

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1.З.З.), (следовательно, и уравнения Lu= f ), принимающего заданные граничные значения u =  на границе Г области G , но и для оценки функции u .

Справедлива следующая лемма.

Лемма. Если функция g(x) удовлетворяет условиям в G и в Г, то в G.

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительные. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция v(x) удовлетворяет условию:

L[]=L[u] - L[g]=f - L[g]0

и так как на границе: (x) = (x) — g(x) О.

Аналогично доказывается, что:

- и(х)— g(x) 0.

Теперь мы построим такую функцию g(x), предполагая для удобства, что область G лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные т, b, что всюду в G выполняются неравенства:

.

Положим:

,

причём в G, а  - положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла постоянным условиям. Ясно, что g  max||. Кроме того, при достаточно больших :

.

Выбор  зависит только от т и b.

Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.

Для решения u(x) уравнения (1.3.3), удовлетворяющего граничным условиям u=, справедлива оценка:

, (1.3.4)

где  - постоянная, зависящая только от т и b, а - постоянная, такая, что в G.

1.4 Теоремы существования решений для эллиптических уравнений

Рассмотрим квазилинейное уравнение:

. (1.4.1)

Имеют место следующие утверждения ([9], гл. 4,стр. 419- 427).

Теорема 1.1 Пусть u(х) есть обобщенное решение уравнения (1.4.1) из класса с

, .

Если уравнение (1.4.1) эллиптично на нем, т.е.

, >0, (1.4.2)

и если на множестве

функции дифференцируемы по всем своим аргументам, а , и частные производные по и ограничены какой-нибудь постоянной , то u(х) принадлежит классу с некоторым >0, причем  зависит лишь от , M1, M2, а нормы для зависят от тех же постоянных и расстояния до границы S. Если к тому же и , где то , причем  и , определяются постоянными , M1, M2, , q и границей S.

Если относительно а(х, и, р) предположить больше, именно, что а(х, и, р) на множестве принадлежит пространству , то решение u(x) будет принадлежать классу C2+().

Действительно, u(x) можно рассмотреть как решение линейного уравнения с коэффициентами , из . Это в свою очередь гарантирует принадлежность и к , и решение u(х) C2+().

Такими же рассуждениями выводится дальнейшее увеличение гладкости и(х) в  и в по мере увеличения гладкости функций и S. Сформулируем результат в виде теоремы.

Теорема 1.2. Пусть относительно u(х) и функций а(х, и, р), выполнены условии теоремы 1.1. Тогда, если дополнительно, то и(х) будет элементом C2+ при произвольных S и и при  и S C2+. Далее, если и , , то при произвольных S,  и при  и .

1.5 Критерий компактности

Множество М, расположенное в пространстве X , называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.

Компактное пространство называется так же компактом.

Функции из некоторого множества М называются равномерно ограниченными, если существует такая постоянная с, что для всех x(t)M при любом tD, и называют равностепенно непрерывными, если для любого  > 0 существует  > 0, зависящее только от , такое, что для любых t1 и t2 из D, удовлетворяющих неравенству (t1,t2)< и для любой функции x(t) из рассматриваемого множества имеет место:

.

Теорема Арцела. ([10], гл. V, стр. 236).

Для того, чтобы множество К C(D) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции x(t)К были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

1.6 Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Данная теорема связывает приращение f(x+h,y+k)-f(x,y) с частными

производными и . При выводе формулы, выражающей эту теорему предполагается, что эти частные производные непрерывны. Применим теорему о среднем значении к функции одной переменной F(t) для интервала от 0 до t:

(θt)

где θ есть какое-то промежуточное число 0 и 1.

Подставив сюда выражение функции F(t) и ее производной (t) получим: .

Полагая здесь t=1 получим следующую формулу, выражающую терему о среднем значении для функции двух переменных:

Теорема. Приращение функции f(x,y) при переходе от точки P(x,y) к точке Q(x+h,y+k) равно полному дифференциалу функции в некоторой промежуточной точке прямолинейного отрезка PQ.

При определении промежуточных значений обеих переменных x и y как и в , так и в все четыре раза участвует одно и тоже значение θ(0<θ<1).

Одним из самых простых следствий данной теоремы является:

Теорема. Функция f(x,y), частные производные которой и в некоторой области всюду существуют и равны нулю, есть постоянная.

В самом деле при выполнении этих условий правая часть формулы, выражающей теорему о среднем значении, обращается в ноль; стало быть f(x+h,y+k)=f(x,y) при произвольных значениях h и k, так что функция имеет всюду в рассматриваемой области одно и тоже значение.

Обратно, если функция f(x,y) сводится к постоянной, то обе ее частные производные и всюду существуют и равны нулю.

Следовательно, обращение в нуль производных и является необходимым и достаточным условием постоянства функции f(x,y) в данной области.

Заключение

В работе проведено подробное доказательство существования и единственности решения краевой задачи (2.1), (2.2). Получены оценки решения с использованием барьерных функций, которые затем были улучшены. Представляет интерес исследование асимптотики решения рассматриваемой задачи на бесконечности. Задача в такой постановке в данной работе не рассматривалась, исследованию аналогичных задач посвящены, например, работы [1], [2], [3], [4], [5].

Список литературы

[1] Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1997 , т. 33, №11, стр. 1552- 1554

[2] Ахметов Р.Г. Асимптотика задачи конвективной диффузии около сферы // ЖВМ и МФ, 1998, т. 38, №5, стр.801 – 806

[3] Ахметов Р.Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39, №4, с. 612-617.

[4] Ахметов Р.Г. Асимптотика решения задачи о конвективной диффузии с объемной химической реакцией // ЖВМ и МФ, 2002, Т. 42, №10, стр.1600-1608.

[5] Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифференциальные уравнения, 1983 , т. 19, №2, стр. 287- 294.

[6] Берс Л., Джон Ф, Шехтер М.,. Уравнения с частными производными.

-М.гМир, 1966.

[7] Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985, 336 с.24

[8] Курант Рихорд. Уравнение с частными производными. - М.Мир, 1974.

[9] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М. Наука, 1977.

[10] Люстерник Л.А., Соболев В.А. Элементы функционального анализа.

-М.:Мир, 1966.

[11] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.

- М.Наука ,1965.